湖北省荆荆襄宜四地七校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

湖北省荆荆襄宜四地七校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知函数，则(   )

A.-1  B.5  C.4  D.3

2、若随机事件，,则(   )

A.  B.  C.  D.

3、已知直线l为曲线在点处的切线，则点到直线l的距离为(   )

A.  B.   C.  D.10

4、已知随机变量X的分布列如表，则X的均值等于(   )

A.  B. C.1   D.2

5、某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为(   )

A.  B.  C.  D.

6、设（e是自然对数的底数），，，则a,b,c的大小关系为(   )

A.  B. C. D.

7、已知数列为等差数列，其首项为1，公差为2，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的取值可以是下面选项中的(   )

A.9  B.10  C.11  D.12

8、若存在正实数，使得不等式成立（e是自然对数的底数），则a的最大值为(   )

A.                B.                C.               D.

二、多项选择题

9、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面ABCD，，，，则下列结论正确的有(   )

A.四面体是鳖臑

B.阳马的体积为

C.若，则         

D.D到平面PAC的距离为

10、在平面直角坐标系xOy中，已知定点，，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C，直线，则下列结论中正确的是(   )

A.曲线C的方程为

B.直线l与曲线C的位置关系无法确定 

C.若直线l与曲线C相交，其弦长为4，则

D.的最大值为3

11、关于函数，下列说法正确的是(   )

A.在上单调递增                     

B.函数有且只有1个零点

C.存在正实数k，使得恒成立 

D.对任意两个正实数，且，若，则

12、已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线于A,B两点，B在第一象限，过A,B分别作抛物线的切线，且,相交于点P，若BP交x轴于点Q，则下列说法正确的有(   )

A.点P在抛物线的准线上          B. 

C.                      D.若，则的值为

三、填空题

13、在等比数列中，，则_________.

14、的展开式中的系数是______（用数字作答）.

15、设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为,,.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为___________.

16、黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题

（1）_____；（其中表示不超过x的最大整数，如,,）

（2）已知正项数列的前n项和为，且满足，则

_________.（参考数据：,,）

四、解答题

17、已知函数（，e是自然对数的底数）.

（1）若，求的极值；

（2）若在上单调递增，求m的取值范围.

18、手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险.为方便手机用户，某品牌手机厂商针对A,B两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：

（1）某人分别为A,B款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为X，求X的分布列和数学期望.

（2）已知在该手机厂商在售出的A,B两款手机中，分别有24000部和10000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元.若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求A款手机的碎屏险费a最低应定为多少？（业务收入=碎屏险收入—屏幕更换成本）

19、如图，已知三棱柱中，，四边形是菱形.

（1）求证：；

（2）若，,求二面角的正弦值.

20、已知数列的前n项和为，,.

（1）求的值，并求数列的通项公式；

（2）若数列的前n项和为，证明：.

21、已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）M,N,A,B为椭圆上异于椭圆右顶点P的四个不同的点，直线MN、直线AB均不与坐标轴垂直，直线MN过点且与直线AB垂直，，证明：直线MN和直线AB的交点在一个定圆上.

22、已知函数（a,b是常数，e是自然对数的底数）.

（1）当,时，求函数的最大值；

（2）当,时

①证明：函数存在唯一的极值点.

②若，且，证明：.

参考答案

1、答案：D

解析：

2、答案：D

解析：，

故     

3、答案：B

解析：，，切线，即，则点到直线l的距离为

4、答案：C

解析：，得，则

5、答案：D

解析：

6、答案：A

解析：有，得

由，得，，即，故

7、答案：A

解析：，，

当时，

当时

8、答案：C

解析：

设，则，得在上单增

则

设，则，得在上单增，在

上单减，则，故

9、答案：BCD  

解析：A错

B对，

C对，

D对，，

由，得

10、答案：AD

解析：A对，设动点，则，即

B错，直线过定点，点D在圆C内

C错，圆心在上，代入得.

D对，

11、答案：ABD

解析：A对，，在上单减，在上单增

B对，设，，在上单减，

又，则在上有且只有一个零点.

C错，，设，则

，在上单减.当时，，

则无最小值，故不恒成立.

D对，设由得，即，

即，，

设则，在上单

减，，故

12、答案： ACD

解析：A对，设点，，则有，得，

，又，得

则点，即，故点p在准线上

B错，点p在以AB为直径的圆上，则，即

C对，设点A,B在准线l上得射影分别是，则，得，即

D对，由，得，，则，

得   

13、答案： 3

解析：，，得，

14、答案：35

解析：

15、答案：0.07

解析：，，，，

16、答案：（1）1（2）88

解析：（1），

，

所以，所以；

（2）当时，，解得，因为，所以，

当时，，所以，即，

所以是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以，因为，所以，所以，

当时，，即，

所以，

令，

则，

因为，，，

所以，

，

因为，，，

所以，

所以，即

17、答案：(1)有极大值，无极小值

(2)

解析：（1），当时，

由，得

当时，，在上单增

当时，，在上单减

故当时，有极大值，无极小值.

（2）在上恒成立

即在上恒成立，

又

则.

18、答案：(1) 0.13

(2) 40元

解析：（1）X的可能取值为0、1、2

X的分布列为

故次数X的数学期望为0.13.

（2）依题意，可知A、B款手机发生屏幕意外损坏分别有部，部

屏幕更换总成本为元

碎屏险总收入为

业务收入为

则，得，

故A款手机的碎屏险费a最低应定为40元.

19、答案：(1)见解析

(2)

解析：（1）由四边形是平行四边形，，得四边形是矩形，

则

由，，，、面，

得面，又面，则

由四边形是菱形，得

由，，，AB、面，得面

（2）由（1）可知，面，又面，得面面

由四边形是菱形，，得是正三角形.

取BC、AC的中点分别为O、M，连，OM，则，.

由面面，，＝

得面

以点O为坐标原点，OM,OC,OB所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示

则,,,,

，，

面的一个法向量为

设面的一个法向量为

由，令，得

设二面角的大小为

则

故二面角的正弦值为.

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）当时，，又

得，即

当时，，

又，得，

当时，

当时，符合上式

综上，得

（2）

由，得，，即

21、答案：(1)

(2)见解析

解析：（1）依题意，得，解得

则椭圆.

（2）设直线，点，

由，消y，得

得，且

由，得，即，

即

则

即，

即，或

当时，直线过定点，不合题意，故舍去.

当时，直线过定点

又，故直线AB与MN的交点在以和所连线段为直径的定圆上

22、答案：(1)有最大值

(2)见解析

解析：（1）当，时，，

得当时，，在上单增

当时，，在上单减 

则当时，有最大值

（2）当，时，，

①，，在上单减

由，得，，则

又，

由零点存在性定理可知，存在唯一使，即

得当时，，，在上单增

当时，，，在上单减

则在处取得极大值，即存在唯一的极值点.

②由①可知，，即

由，且，得

由，得，

两式相除，得

由（1）可知，，即，则，

则，，

设，则

得在上单减，则，

得，则

又

得

故成立. 证毕