湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）

2022年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高二期中联考

数学试题

命题学校：钟祥一中  命题人：胡雷15872957565

李铠峰13477573871   审题人：王登清13971960678

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z满足，则（    ）

A．       B．       C．      D．

2．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（    ）

A．       B．       C．      D．

3．己知直线l经过，且在x轴上的截距的取值范围为，则直线l的斜率k的取值范围为（    ）

A．或     B．或     C．或     D．

4．如图在平行六面体中，AC，BD相交于O，M为的中点，设，，，则（    ）

A．   B．   C．   D．

5．同时抛掷两枚质地均匀的相同骰子，则两枚骰子的点数和为5的概率是（    ）

A．       B．       C．      D．

6．直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线l的条数为（    ）

A．10          B．11         C．12        D．13

7．O是的外心，，，则（    ）

A．       B．       C．      D．或

8．已知椭圆的左右焦点为，过的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，，则该椭圆的离心率为（    ）

A．       B．       C．      D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．PM2.5是衡量空气质量的重要指标．下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（    ）

A．这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数

B．这10天中PM2.5日均值的中位数是32

C．这10天中PM2.5日均值的众数为33

D．这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差

10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（    ）

A．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是 B．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是

C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是        D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是

11．已知点，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为

B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：

C．当最大时，的面积为

D．的面积的最大值为

12．在中，A，B，C所对的边为a，b，c，，AB边上的高为，则下列说法中正确的是（    ）

A．    B．    C．的最小值为2    D．的最大值为21

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．样本数据8，7，6，5，4，3，2，1的分位数是__________．

14．向量在向量方向上的投影向量的坐标为__________．

15．己知椭圆的一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为2，则该椭圆的标准方程为__________．

16．已知在菱形ABCD中，，平面ABCD外一点P满足，，设，过O作交AP于H，平面BCH与线段DP交于点M，则四棱锥体积的最大值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）

（1）设与是两个不共线向量，，若A，B，D三点共线，求k的值．

（2）己知的顶点，AB边上的中线CM所在的直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为，求直线BC的方程；

18．（本小题12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足

（1）求角B的大小；

（2）若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积．

19．（本小题12分）某厂为了提高产品的生产效率，对该厂的所有员工进行了一次业务考核，从参加考核的员工中，选取50名员工将其考核成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，

回答下列问题：

（1）利用频率分布直方图中的数据估计本次考核成绩的众数，中位数和平均数；

（2）己知考核结果有优秀、良好、一般三个等级，其中考核成绩不小于90分时为优秀等级，不少于80且低于90分时为良好等级，其余成绩为一般等级．若从获得优秀和良好等级的两组员工中，随机抽取5人进行操作演练，其中考核获得良好等级的员工每人每小时大约能加工80件产品，优秀员工每人每小时大约能加工90件产品，求本次操作演练中，产品的人均生产量不少于84件的概率．

20．（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知点与直线，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．

（1）若点在圆C上，求圆C的方程：

（2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．

21．（本小题12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，P，BD是的平分线，且．

（1）若点E为棱PC的中点，证明：平面PAD：

（2）已知二面角的大小为，求平面PBD和平面PCD所成锐角的余弦值．

22．（本小题12分）如图，已知点分别是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆C上不同的两点，且，连接，设交于点Q．

（1）当时，求点B的横坐标；

（2）若的面积为，试求的值．

2022年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高二期中联考数学参考答案

选择题：1-4．ABAC   5-8．CADB   9．BC   10．ABC   11．BD   12．ABD

填空题：13．6.5   14．   15．    16．

解答题：

17．（1）,         1分

又因为，若A，B，D三点共线，则存在实数使得，

则，解得：．                               5分

（2）由题意知，B在直线上，设，则AB的中点，

在直线CM上，所以，解得：，故．         7分

，故AC的直线方程为，即，

联立解得                        9分

由两点式得BC的直线方程为                          10分

18．（1），3分

又，则，

即，                                5分

又，则；                            6分

（2）由BD平分得：

则有，即              8分

在中，由余弦定理可得：

又，则

联立                      10分

可得

解得：（舍去）                   11分

故                12分

19．（1）由频率分布直方图可知，众数为75                           2分

中位数设为m，则，                 4分

平均       6分

（2）考核良好的人数为：人，可记为A，B，C，D；考核优秀的人数为：

人，可记为a，b，c；

设考核优秀的人数为n，，               8分

考核优秀的3人中最多1人不参加操作演练．

则从7人中任取2人不参加演练，有，

，

共21种情况；                                                     9分

考核优秀的3人中最多1人不参加演练的情况有：，

，

共18种情况；                                  10分

∴本次操作演练中，产品的人均生产量不少于84件的概率．        12分

20．（1）因为圆心在直线上，不妨设圆心C的坐标，

因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为：，          1分

因为点在圆C上，所以或，           3分

故圆C的方程为：或．           5分

（2）不妨设，则，

又由

故，化简得，

从而在以圆心，半径为的圆上，               8分

故为圆与圆的公共点，

即圆与圆相交或相切，

从而，                                 10分

即或，

故圆心C的横坐标a的取值范围为．         12分

21．（1）

延长CB，DA交于点F，连接PF，在中，

QBD是的平分线，且，

是等腰三角形，点B是CF的中点，

又是PC的中点，

，

又平面PAD，平面PAD，

∴直线平面PAD．                                     5分

（2）在中，，

则，即，

由已知得，

又平面平面ABCD，平面ABCD

所以平面PAD，即，

所以以为二面角的平面角，

所以，

又，所以为正三角形，                8分

取AD的中点为O，连OP，则，平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，

则，

所以，

设分别为平面PBD和平面PCD的法向量，则

，即，即，则，

，即，即，则，               10分

所以，则平面PBD和平面PCD所成夹角的余弦值为    12分

22．（1）设，依题意，，由，得

，                     2分

即，由得，两式相减得，

即有，则，

即，                         4分

由得，所以点B的横坐标为．          6分

（2）由题知：，，从而

不妨设A、B均在x轴上方，由，可得

又           8分

设，由，可知，．将A、B坐标代入椭圆方程得，

①

，即②                 10分

②-①得，，代入②得，

，                     12分