湖北省荆荆襄宜四地七校2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2023 年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

高二期中联考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知函数，则（   ）

A．-1  B．5  C．4  D．3

2.若随机事件，则（   ）

A．  B．  C．  D．

3.已知直线为曲线在点处的切线，则点到直线的距离为（   ）

A．  B．   C．  D．10

4.已知随机变量的分布列如右表，

则的均值等于（   ）

A．  B． C．1   D．2

5.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（   ）

A．  B．  C．  D．

6.设（是自然对数的底数），，，则的大小关系为（   ）

A．  B． C． D．

7.已知数列为等差数列，其首项为1，公差为2，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的取值可以是下面选项中的（   ）

A．9  B．10  C．11  D．12

8.若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为（   ）

A．                B．                C．               D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．

9.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱，，，，则下列结论正确的有（   ）

A．四面体是鳖臑          

B．阳马的体积为 

C．若，则          

D．到平面的距离为

10.在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是（   ）

A．曲线的方程为           B．直线与曲线的位置关系无法确定 

C．若直线与曲线相交，其弦长为4，则   D．的最大值为3

11.关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递增                      

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得恒成立 

D．对任意两个正实数，且，若，则

12.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（   ）

A．点在抛物线的准线上                         B． 

C．                                    D．若，则的值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.在等比数列中，，则______________.

14.的展开式中的系数是______（用数字作答）.

15.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为__________________.

16.黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题

（1）_____；（其中表示不超过的最大整数，如）

（2）已知正项数列的前项和为，且满足，则

_________.（参考数据：）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（10分）已知函数（，是自然对数的底数）.

（1）若，求的极值；

（2）若在上单调递增，求的取值范围.

18.（12分）手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险.为方便手机用户，某品牌手机厂商针对两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：

（1）某人分别为款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为，求的分布列和数学期望.

（2）已知在该手机厂商在售出的两款手机中，分别有24000部和10000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元.若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求款手机的碎屏险费最低应定为多少？（业务收入=碎屏险收入—屏幕更换成本）

19.（12分）如图，已知三棱柱中，，四边形是菱形.

（1）求证：；

（2）若，求二面角

的正弦值.

20.（12分）已知数列的前项和为，.

（1）求的值，并求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为，证明：.

21.（12分）已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆上异于椭圆右顶点的四个不同的点，直线、直线均不与坐标轴垂直，直线过点且与直线垂直，，证明：直线和直线的交点在一个定圆上.

22.（12分）已知函数（是常数，是自然对数的底数）.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）当时

①证明：函数存在唯一的极值点.

②若，且，证明：.

2023 年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”

数学试题参考答案

一、选择题

1.D 

2.D  ，

故     

3.B  ，，切线，即，则点到直线的距离为

4.C  ，得，则

5.D  法1：

法2：

6.A  有，得

由，得，，即，故

7.A  ，，

当时，

当时

8.C  

设，则，得在上单增

则

设，则，得在上单增，在

上单减，则，故

9.BCD  

A错

B对，

C对，

D对，，由，得

10.AD

A对，设动点，则，即

B错，直线过定点，点在圆内

C错，圆心在上，代入得.

D对，

11.ABD

A对，，在上单减，在上单增

B对，设，，在上单减，

又，则在上有且只有一个零点.

C错，，设，则

，在上单减.当时，，

则无最小值，故不恒成立.

D对，设由得，即，

即

设则在上单

减，，故

12. ACD

A对，设点，则有，得，

，又，得

则点，即，故点在准线上

B错，点在以为直径的圆上，则，即

C对，设点在准线上得射影分别是，则，得，即

D对，由，得，，则，

得   

三、填空题：

13.   3            14.   35            15.  0.07           16.（1）  1  （2）  88 

13.   3 

，，得，

14.   35 

15.  0.07

，

16.（1）  1  （2）  88 

（1），

，

所以，所以；

（2）当时，，解得，因为，所以，

当时，，所以，即，

所以是以为首项，为公差的等差数列，

所以，因为，所以，所以，

当时，，即，

所以，

令，

则，

因为，，，

所以，

，

因为，，，

所以，

所以，即

四、解答题

17.（1），当时， ………………………………1分

由，得

当时，，在上单增

当时，，在上单减 ………………………………………………3分

故当时，有极大值，无极小值. ……………………………………………………5分

（2）在上恒成立

即在上恒成立， ………………………………………………7分

又 …………………………………………………………………………………8分

则.        …………………………………………………………………………………10分

（说明：结果不带等号的只扣1分）

18.（1）的可能取值为、、

  …………………………………………………………………4分

的分布列为

故次数的数学期望为0.13.   ……………………………………………………………………6分

（2）依题意，可知、款手机发生屏幕意外损坏分别有24000×0.05＝1200部，10000×0.08＝800部 ………………………………………………………………………………………………8分

屏幕更换总成本为1200×400+800×600＝960000元

碎屏险总收入为24000+10000×50

业务收入为24000+10000×50－960000＝24000－460000 …………………………………10分

则24000+10000×50－960000≥500000，得，

故款手机的碎屏险费最低应定为40元.………………………………………………………12分

19.（1）由四边形是平行四边形，，得四边形是矩形，则

………………………………………………………………………………………………………1分

由，，，、面，得面，又面，则  ……………………………………………………………3分

由四边形是菱形，得

由，，，、面，得面

………………………………………………………………………………………………………5分

（2）由（1）可知，面，又面，得面面

由四边形是菱形，，得是正三角形.

取、的中点分别为、，连，，则，.

由面面，，＝

得面…………………………………………………………………………………6分

以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示

则

，，  ……………………………………7分

面的一个法向量为 ………………………………………………………8分

设面的一个法向量为

由，令，得…………………………10分

设二面角的大小为

则  …………………………………………11分

故二面角的正弦值为.…………………………………………………………12分

20.（1）当时，，又

得，即 ……………………………2分

当时，， ……………………………………………………………3分

又，得，

当时，

当时，符合上式

综上，得………………………………………………………………………………6分

（2）…………………………………………………………………8分

……………10分

由，得，，即.………………………………12分

21.（1）依题意，得，解得

则椭圆.………………………………………………………………………………4分

（2）设直线，点，

由，消，得

得，且…………………………………………6分

由，得，即，

即

则

即，

即，或 ………………………………………………9分

当时，直线过定点，不合题意，故舍去.

当时，直线过定点 ……………………11分

又，故直线与的交点在以和所连线段为直径的定圆上 .…12分

22.（1）当时，，…………………………1分

得当时，，在上单增

当时，，在上单减 

则当时，有最大值 ……………………………………………………………4分

（2）当时，，

①，，在上单减……………………6分

由，得，，则

又，

（说明：也可以）

由零点存在性定理可知，存在唯一使，即………………7分

得当时，，，在上单增

当时，，，在上单减

则在处取得极大值，即存在唯一的极值点.…………………………………8分

②由①可知，，即

由，且，得

由，得，

两式相除，得 ………………………………………………………………………9分

由（1）可知，，即，则，

则，， ……………10分

法一

设，则

得在上单减，则，

得，则………………11分

又

得

故成立. 证毕………………………………………………………12分

法二

（同上）………………………………………………………………………………………………10分

设，则

得在上单减，则，

得，则

故成立. 证毕………………………………………………………12分