高考数学二轮强化练习04 概率与统计（2份打包，原卷版+教师版）

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查补易混易错点04 概率与统计1．关于两个计数原理应用的注意事项分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件．3．二项式定理应用时的注意事项(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.4．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．5．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．6．易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．7．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．8．(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布．1．（2023·河南·校联考模拟预测）数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为（    ）A．240 B．480 C．360 D．720【答案】A【解析】有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，则5名同学分成2，1，1，1四组，共有种情况，再将四组学生分配给四种曲线，一共有种情况，则可能的安排方案的种数为种，故选：A.2．（2023·河南·校联考模拟预测）若的展开式中的系数为40，则k＝（    ）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】因为的展开式的通项公式为，且的系数为40，所以，即，解得.故选：C3．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的系数为（    ）A．85 B．5 C．-5 D．-85【答案】A【解析】的展开式的通项为，则，，从而的展开式中的系数为．故选：A．4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知随机变量 分别满足，，且期望，又，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，，故，由，知，故，故选：C5．（2023·江苏·统考一模）某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（    ）A．0.9 B．0.7 C．0.3 D．0.1【答案】D【解析】由题得：，故，因为，所以根据对称性得：.故选：D.6．（2023·江苏·统考一模）“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可得，,所以.故选：D.7．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则（    ）A． B． C． D．e【答案】C【解析】因为，所以，令，所以，即.故选：C8．（2023·贵州毕节·统考二模）某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下结论中正确是（    ）A．若，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差B．若，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C．若，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差D．若，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数【答案】C【解析】对于A：甲地区考核得分的极差为，乙地区考核得分的极差为，即甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差，故A错误；对于B：甲地区考核得分的平均数为乙地区考核得分的平均数为，即甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数，故B错误；对于C：甲地区考核得分从小到大排列为：75，78，81，84，85，88，92，93，94乙地区考核得分从小到大排列为：74，77，80，83，84，87，91，95，99由以上数据可知，乙地区考核得分的波动程度比甲地区考核得分的波动程度大，即甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，故C正确；对于D：由茎叶图可知，甲地区考核得分的中位数为，乙地区考核得分的中位数为，则甲地区考核得分的中位数大于乙地区考核得分的中位数，故D错误；故选：C9．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】传球的结果可以分为：分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为故选：D.10．（2023·陕西西安·统考一模）某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（    ）A．甲获得冠军的概率最大 B．甲比乙获得冠军的概率大C．丙获得冠军的概率最大 D．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等【答案】C【解析】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为 ②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，因此，甲最终获得冠军的概率为；（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为；（3）丙获得冠军，概率为，由此可知丙获得冠军的概率最大，即A，B，D错误，C正确，故选∶C．11．（多选题）（2023·江苏泰州·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（    ）A． B．为互斥事件C． D．相互独立【答案】AC【解析】正确；可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；不独立，D错误；故选：AC.12．（多选题）（2023·山东淄博联考二模）在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）进行统计，其成绩都在区间内.按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示.其中，成绩落在区间内的人数为40，则下列结论正确的是（    ）A．B．图中C．估计该市全体学生成绩的平均分为84分（同一组数据用该组区间的中点值作代表）D．若对80分以上的学生授予“优秀学生”称号，则该市约有14000人获得该称号【答案】BCD【解析】对于A项，因为成绩落在区间内的人数为40，所以，故A项错误；对于B项，由，得，故B项正确；对于C项，学生成绩平均分为：，故C项正确；对于D项，因为，故D项正确.故选：BCD.13．（多选题）（2023·山东临沂二模）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（    ）A．常数项是 B．各项的系数和是64C．第4项二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为【答案】AC【解析】二项式的展开式通项为.令，可得，故常数项是，A正确；各项的系数和是，B错误；二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；奇数项二项式系数和为，D错误.故选：AC14．（多选题）（2023·辽宁·校联考一模）随机变量且，随机变量，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为且，所以，故，，选项A正确，选项B错误；因为，所以，所以，解得，选项C正确；，选项D正确.故选：ACD.15．（多选题）（2023·雅礼中学高三预测）2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重召开，这是在全党全国各族人民迈上全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的关键时刻召开的一次十分重要的大会.某单位组织大家深入学习、领会党的二十大精神，并推出了10道有关二十大的测试题供学习者学习和测试.已知甲答对每道题的概率都是，乙能答对其中的6道题，规定每次测试都是从这10道题中随机抽出4道，答对一题加10分，答错一题或不答减5分，最终得分最低为0分，甲、乙两人答对与否互不影响，则（    ）A．乙得40分的概率是 B．乙得分的数学期望是C．甲得0分的概率是 D．甲、乙的得分都是正数的概率是【答案】ABD【解析】A，B选项：设乙的得分为，则的所有可能取值为0，10，25，40，且， ，，，因此，故A，B正确；C，D选项：记“甲得分为正数”为事件，“乙得分为正数”为事件，则，，，，因此甲得0分的概率是，甲、乙的得分都是正数的概率是，故C错误，D正确.故选：ABD16．（2022·天津红桥·天津三中校考二模）某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.【答案】【解析】由题意，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，所以随机变量，因为，可得，解得或，又因为，可得，所以，所以.17．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）的展开式中，含的项的系数为______．【答案】【解析】的展开式中，含的项有以下两类：第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2，即第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，即所以的展开式中含的项为，故含的项的系数为.18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6… 经计算得：，，，.(1)利用最小二乘法估计建立y关于x的线性回归方程；(2)该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致.（i）求这两条直线的公共点坐标.（ii）比较与的斜率大小，并证明.附：y关于x的线性回归方程中.，，【解析】（1）由题意可知，；，，故回归方程为；（2）设，的斜率分别为，，x关于y的线性回归方程为， ，，，（i）根据回归直线的求解过程可知两条直线都过，且，故公共点只有一个 ；（ii）∵，，，，∴ ，若，则，即恒成立，代入表格一组数据得：，矛盾，故.19．（2023·四川成都·川大附中校考二模）2022年12月2日晚，神舟十四号、神舟十五号航天员乘组进行在轨交接仪式，两个乘组移交了中国空间站的钥匙，6名航天员分别在确认书上签字，中国空间站正式开启长期有人驻留模式.为调查大学生对中国航天事业的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为，统计得到以下列联表，经计算，有97.5%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关，但没有99%的把握认为该校学生对中国航天事业的了解与性别有关. 男生女生合计了解  不了解  合计   (1)求n的值；(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取5人，记其中了解中国航天事业的人数为X，求X的分布列及数学期望.附表：0.100.050.0250.010.0012.7063.8415.0246.63510.828.【解析】（1）由已知，完成列联表， 男生女生合计了解不了解合计将数值代入公式可得的观测值：，根据条件，可得，解得，因为，所以.（2）由（1）知，样本的男生中了解中国航天事业的频率为，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，了解中国航天事业的概率为，则，，，，，，.则X的分布列为X012345P.20．（2023·陕西汉中·统考二模）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.【解析】（1）由小矩形面积和等于1可得：，解得.平均年龄（岁）.（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30根据分层抽样可得：第1组抽取人，第2组抽取人再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.（3）由题意可知：，则有：，，，. ∴X的分布列为：X0123P可得的数学期望.