安徽省合肥市瑶海区2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题

这是一份安徽省合肥市瑶海区2022-2023学年八年级下学期4月期中数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市瑶海区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A． B．（x﹣）2＝
C． D．
3．若方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，2
5．下列各式计算正确的是（　　）
A．+＝ B．4﹣3＝1 C．2×＝6 D．÷＝2
6．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．
B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
C．（x﹣1）（x+2）＝1
D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
7．若，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
8．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　）

A．+1 B．﹣+1 C． D．﹣1
9．已知（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，那么a2+b2的值是（　　）
A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．不确定
10．已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max＝81．当max时，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
11．y＝中实数x的取值范围是　 　．
12．已知，y＝+﹣2，则2x﹣y的值是 　 　．
13．若一元二次方程a（x﹣m）2＝n 的两个根分别是﹣4与1，则方程a（x﹣m+2）2＝n的两个根分别是 　 　．
14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为　 　．

三、解答题（本大题共2小题，共16分）
15．计算：
（1）﹣4+；
（2）（+）2﹣（2+）（2﹣）．
16．解下列方程
（1）x2+4x+2＝0
（2）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）
四、解答题（本大题共7小题，共74分）
17．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简+|a﹣c|+．

18．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

19．某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，若按照这样的绿化速度，问：该市2023年底绿化面积能达到多少公顷？
20．阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：　 　．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：．
（2）请仿照上述方法化简：．
（3）比较与 的大小．
21．如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：

（1）图案④中黑色五边形有 　 　个，白色五边形有 　 　个；
（2）图案n中黑色五边形有 　 　个，白色五边形有 　 　个；（用含n的式子表示）
（3）图案n中的白色五边形可能为2022个吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值．
23．如图，四边形ABCD是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．



参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）
A． B．（x﹣）2＝
C． D．
【分析】根据等式的性质、完全平方公式解答即可．
解：2x2﹣3x﹣1＝0，
则x2﹣x﹣＝0，
∴x2﹣x＝，
∴x2﹣x+＝+，
∴（x﹣）2＝，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
3．若方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】先根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，再解不等式得到m的取值范围，然后对各选项进行判断．
解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜，
即m的取值范围为m＜．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，2
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、12+（）2＝22，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．下列各式计算正确的是（　　）
A．+＝ B．4﹣3＝1 C．2×＝6 D．÷＝2
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
解：A、原式不能合并，错误；
B、原式＝，错误；
C、原式＝6×3＝18，错误；
D、原式＝＝＝2，正确，
故选：D．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．
B．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
C．（x﹣1）（x+2）＝1
D．3x2﹣2xy﹣5y2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，分别判断即可．
解：根据一元二次方程的定义可知，
A选项不是整式方程，故A不符合题意；
B选项，当a＝0时，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C选项符合题意；
D选项是二元二次方程，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
7．若，则（　　）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即3﹣b≥0．
解：∵＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．
故选：D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，表示a的算术平方根；当a＝0时，＝0；当a小于0时，二次根式无意义．2、性质：＝|a|．
8．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（　　）

A．+1 B．﹣+1 C． D．﹣1
【分析】根据数轴上点的特点和相关线段的长，利用勾股定理求出斜边的长，即知表示﹣1的点和A之间的线段的长，进而可推出a的值．
解：图中直角三角形的两直角边为1，2，
∴斜边长为＝，
那么﹣1和A之间的距离为，
那么a的值是：﹣1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中主要利用了：已知两点间的距离，求较大的数，就用较小的数加上两点间的距离．
9．已知（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，那么a2+b2的值是（　　）
A．2 B．﹣4 C．2或﹣4 D．不确定
【分析】设a2+b2＝y，则原方程可化为（y+2）y＝8，解方程即可得到结论．
解：设a2+b2＝y，
则原方程可化为：（y+2）y＝8，
解得：y1＝﹣4，y2＝2，
∵a2+b2＞0，
∴a2+b2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，利用换元法解方程是解题的关键．
10．已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max＝81．当max时，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用已知分别分析得出符合题意的答案．
解：当max时，
①＝，解得：x＝，此时＞x＞x2，符合题意；
②x2＝，解得：x＝；此时＞x＞x2，不合题意；
③x＝，＞x＞x2，不合题意；
故只有x＝时，max．
故选：C．
【点评】此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
11．y＝中实数x的取值范围是　x≥﹣1，且x≠2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
解：由题意得：x+1≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣1，且x≠2，
故答案为：x≥﹣1，且x≠2．
【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
12．已知，y＝+﹣2，则2x﹣y的值是 　10　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解，确定x和y的值，然后代入求值．
解：由题意可得，
解得：x＝4，
∴y＝+﹣2＝﹣2，
∴2x﹣y＝8+2＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．
13．若一元二次方程a（x﹣m）2＝n 的两个根分别是﹣4与1，则方程a（x﹣m+2）2＝n的两个根分别是 　x1＝﹣1，x2＝﹣6　．
【分析】设b＝x+2，根据题意得出b1＝1，b2＝﹣4，计算即可．
解：设b＝x+2，
则方程a（x﹣m+2）2＝n变形为方程a（b﹣m）2＝n，
∵一元二次方程a（x﹣m）2＝n 的两个根分别是﹣4与1，
∴方程a（b﹣m）2＝n的两根为：b1＝1，b2＝﹣4，
∴x1+2＝1，x2+2＝﹣4，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣6，
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣6．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，灵活运用整体思想解题是解答本题的关键．
14．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为　　．

【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，根据全等三角形的对应边相等，即可得出PC+PD的最小值为2．
解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，
则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∠CBE＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝BC＝2，
∴BE＝2，
∵PC+PD＝PC+PE，
∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，
∵AC＝BC＝4，D为BC的中点，
∴CD＝DB＝BE，
又∵∠ACD＝∠CBE＝90°，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴CE＝AD＝2，
∴PC+PD的最小值为2．
故答案为：2．

【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题（本大题共2小题，共16分）
15．计算：
（1）﹣4+；
（2）（+）2﹣（2+）（2﹣）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．
解：（1）﹣4+
＝4﹣+
＝4；
（2）（+）2﹣（2+）（2﹣）
＝3+2+2﹣4+5
＝6+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．解下列方程
（1）x2+4x+2＝0
（2）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）
【分析】（1）利用配方法得到（x+2）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项得到（2x+1）2+3（2x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2+4x＝﹣2，
x2+4x+4＝2，
（x+2）2＝2，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）（2x+1）2+3（2x+1）＝0，
（2x+1）（2x+1+3）＝0，
2x+1＝0或2x+1+3＝0，
所以x1＝﹣，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
四、解答题（本大题共7小题，共74分）
17．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，化简+|a﹣c|+．

【分析】根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置确定a、b、c的符号以及绝对值的大小，进而确定b+c，a﹣c，b﹣a的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可．
解：根据实数a，b，c在数轴上对应点的位置可得：b＜a＜0＜c，且|b|＞|a|＞|c|，
∴b+c＜0，a﹣c＜0，b﹣a＜0，
∴原式＝|b+c|+|a﹣c|+|b﹣a|
＝﹣b﹣c+c﹣a+a﹣b
＝﹣2b．
【点评】本题考查实数与数轴以及二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质是正确解答的前提．
18．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．
解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝•AD•AB+DB•BC，
＝×4×3+×12×5＝36．
所以需费用36×200＝7200（元）．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
19．某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，若按照这样的绿化速度，问：该市2023年底绿化面积能达到多少公顷？
【分析】先根据题意列出一元二次方程，求出增长率，再计算223年的产量．
解：设绿化面积的年平均增长率是x，
由题意得：500（1+x）2＝605，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去），
所以2023年底绿化面积为：605+605×10%＝665.5（公顷），
答：该市2023年底绿化面积能达到665.5公顷．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．
20．阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：　+2与﹣2（答案不唯一）　．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：．
（2）请仿照上述方法化简：．
（3）比较与 的大小．
【分析】（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；
（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（3）分母有理化后再比较．
解：（1）+2与﹣2互为有理化因式，
故答案为：+2与﹣2（答案不唯一）；
（2）
＝
＝+；
（3）＝，＝，
∵＜，
∴＜．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．
21．如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：

（1）图案④中黑色五边形有 　4　个，白色五边形有 　13　个；
（2）图案n中黑色五边形有 　n　个，白色五边形有 　（3n+1）　个；（用含n的式子表示）
（3）图案n中的白色五边形可能为2022个吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由．
【分析】（1）不难看出后一个图形中黑色五边形比前一个图形中黑色五边形多1个，后一个图形中白色五边形比前一个图形中白色五边形多3个，据此可求解；
（2）结合（1）进行总结即可；
（3）根据（2）中的规律进行求解即可．
解：（1）∵第1个图形中黑色五边形的个数为：1，白色五边形的个数为：4，
第2个图形中黑色五边形的个数为：2，白色五边形的个数为：7＝4+3＝4+3×1，
第3个图形中黑色五边形的个数为：3，白色五边形的个数为：10＝4+3+3＝4+3×2，
∴第4个图形中黑色五边形的个数为：4，白色五边形的个数为：4+3×3＝13，
故答案为：4，13；
（2）由（1）可得：第n个图形中黑色五边形的个数为：n，白色五边形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
故答案为：n，（3n+1）；
（3）不可能，理由如下：
由题意得：3n+1＝2022，
解得：n＝673……2，
故图案n中的白色五边形不可能为2022个．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图案中所需白色地砖数量的变化，找出变化规律“an＝3n+1”是解题的关键．
22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2，再由完全平方公式的变形得到（2m﹣1）2﹣2m2＝7，由此解方程即可得到答案．
解：（1）根据题意，得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，即﹣4m+1≥0，
∴m≤；
（2）由根与系数的关系，得x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1x2＝m2，
∵＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝7，
∴（2m﹣1）2﹣2m2＝7，即m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝3（舍去），m2＝﹣1．
∴m的值为﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．如图，四边形ABCD是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积．

【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时，
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab，
∵a2+b2＝c2，
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
即△≥0，
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c，
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6，
∴3c＝6，
∴c＝，
∴a2+b2＝c2＝2，a+b＝c＝×＝2，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴ab＝1，
∴S△ABC＝ab＝．
【点评】本题考查四边形综合体，读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题是解题的关键．