2023届山东省东明县第一中学高三下学期二轮复习联考（一）数学试题含解析

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2023届山东省东明县第一中学高三下学期二轮复习联考（一）数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】先解绝对值不等式和二次不等式，再求集合交集即可.【详解】解：解得或，故或，解不等式得，故，所以或.故选：C2．若，则（    ）A．1 B． C． D．i【答案】B【分析】利用复数的除法运算可得，然后求出可得答案.【详解】若，则，所以，所以.故选：B.3．在边长为2的正三角形中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，利用数量积运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则设，则，因为，所以，解得，即，则，所以，故选：D4．已知角的终边过点，若，则实数m的值为（    ）A． B．4 C．或3 D．或4【答案】D【分析】先根据二倍角公式求出，再利用三角函数的定义可求答案.【详解】因为，所以，所以，解得．故选：D．5．如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所构成的．已知圆台的上、下底面直径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得，圆台，圆锥的高均为，再计算体积即可.【详解】解：根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图，所以即为圆台母线与底面所成角，即，因为圆台的上、下底面直径分别为和所以，过作，垂足为，则，，所以，圆台，圆锥的高均为，所以，该工业部件的体积为.故选：A6．若函数同时满足：①；②函数与函数的单调性一致，则称函数为“鲁西西函数”．例如：函数在上单调递减，在上单调递增．同样在上单调递减，在上单调递增．若函数为“鲁西西函数”，则在上的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“鲁西西函数”，研究函数的单调性即可得的单调性，进而求最值即可.【详解】解：因为函数为“鲁西西函数”，所以函数与的单调性一致，因为，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，在上单调递增，在上单调递减，所以，在上的最大值为.故选：D7．已知直线与拋物线交于A，B两点，若（为坐标原点）的面积为，则（    ）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】根据抛物线过焦点的弦长公式得，再求得原点到直线的距离，根据面积解方程即可.【详解】解：由题知直线过抛物线的焦点，所以，联立方程得，显然，设，则，所以，因为原点到直线的距离为，所以，，解得.故选：D8．如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体．从它的棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面；两条直线都位于上下底面时；两条直线都不在上下底面时计数，再根据古典概型公式求解即可.【详解】解：当一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面时，共有对异面直线，当两条直线都位于上下底面时，有对异面直线，当两条直线都不在上下底面时，有对异面直线，所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为故选：B 二、多选题9．下列结论正确的有（    ）A．若变量y关于变量x的回归直线方程为，且，，则B．若随机变量的方差，则C．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则B组数据比A组数据的相关性较强D．样本数据和样本数据的四分位数相同【答案】AC【分析】利用回归直线过样本中心点判断A；利用方差的性质计算判断B；比较相关系数绝对值大小判断C；利用四分位数的意义判断D作答.【详解】对于A，将代入回归直线方程，得m=2，A正确；对于B，因为，则，B错误；对于C，因为，所以B组数据比A组数据的相关性较强，C正确；对于D，设样本数据的四分位数为M，则样本数据的四分位数为M+2，D错误．故选：AC10．将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．若是的一个单调递增区间，则以下结论正确的为（    ）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．函数的最大值为 D．方程在上有个实数根【答案】ACD【分析】首先根据三角函数的变换规则得到的解析式，根据的单调递增区间得到，从而求出的值，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一分析即可.【详解】将函数（）的图象向右平移个单位长度后得到，最小正周期，因为是的一个单调递增区间，所以，即，，解得，．因为，所以，故，的最小正周期为，故A正确；令，,解得，，即的单调递增区间为，，故在上单调递增，故B错误；又，所以，所以的最大值为，故C正确；当时，令，则或或或或，即与直线在上有个交点，又所以与直线在上有个交点，即方程在上有个实数根，故D正确．故选：ACD．11．已知双曲线（，）的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线l与C的上支交于点P，垂足为A，且，O为坐标原点，则（    ）A．双曲线C的渐近线方程为 B．双曲线C的离心率为C．三角形的面积为 D．直线l被以为直径的圆截得的弦长为【答案】BC【分析】利用双曲线的定义、渐近线方程、离心率公式及平面几何的相关知识解决本题.【详解】设焦距为2c，不妨取C的一条渐近线，则直线，垂足为A，易知，，因为，由双曲线的定义可知，设线段的中点为E，则，所以，，在中，，即，得，故双曲线的渐近线方程为，A错误；，解得，B正确；，C正确；设直线l被以为直径的圆截得的弦为MN，易知点A即为MN中点，故，D错误．故选：BC．12．已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（    ）A．为奇函数 B． C． D．【答案】BCD【分析】根据函数定义换算可得为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.【详解】因为为奇函数，所以，故又，所以，故，所以，为偶函数，A错误；为奇函数，所以，，所以，B正确；，又的图象关于点对称，所以，所以，C正确；又，所以是以4为周期的函数，，D正确．故选：BCD． 三、填空题13．已知，则的最小值为______．【答案】【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合均值不等式求解作答.【详解】，，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：14．的展开式中，含的项的系数为______．【答案】【分析】的展开式中，含的项有以下两类，第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2；第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，结合组合数即可求解.【详解】的展开式中，含的项有以下两类：第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2，即第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，即所以的展开式中含的项为，故含的项的系数为.故答案为：15．如图，在正方体中，，若为棱上动点，为线段上的点，且，若与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球表面积为______．【答案】【分析】连接，则为与平面所成角的平面角，从而求得，进而求得，而三棱锥的外接球等价于长为宽为高为的长方体的外接球，从而可求得外接球的半径，进而求得表面积.【详解】如图，连接因为平面，则为与平面所成角的平面角，即，所以.因为平面，所以，又，所以平面，则所以，而，所以，则，所以.因为三棱锥的外接球等价于长为宽为高为的长方体的外接球.所以外接球的直径为长方体的体对角线，即半径，故三棱锥的外接球表面积为.故答案为：16．已知数列的前n项和为，，且，则______．【答案】【分析】令，然后由条件可得，然后求出数列的通项公式，然后可算出答案.【详解】令，因为，且，所以，，所以，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列，所以，即，所以，故答案为： 四、解答题17．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，，且．(1)求角的大小；(2)若的外接圆面积为，求边上的中线长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，从而得到，再逆用和角余弦公式，即可求解；（2）先求得的外接圆半径，再根据正弦定理求得，最后利用余弦定理即可求解.【详解】（1）因为，根据正弦定理可得：，所以，所以，因为，所以.故.（2）如图，取中点，连接，记的外接圆的半径为，则，解得.根据正弦定理可得，因为，所以，即.根据余弦定理可得：所以，故边上的中线长为18．已知递增等比数列的前项和为，，，且．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设的公比为，依题意可得，即可求出，再根据求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设的公比为，显然，由，则，即，解得，又，整理得，解得或，由得，当时，由，得，不合题意，舍去，故，所以，所以的通项公式为．（2）由（1）可得，所以所以．19．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面平面．平面平面，E为的中点，三棱锥的体积为．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）首先证明平面，然后由三棱锥的体积为可求出，然后证明、即可；（2）以为原点建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，再求出二面角的正弦值.【详解】（1）由题意可知，平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，同理，由平面平面，可得平面，，因为，所以平面，因为三棱锥的体积为，所以，因为，所以，因为E为的中点，所以，即，所以，因为，所以，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面.（2）以原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，即，所以，所以，所以二面角的正弦值为.20．某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收．为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量（单位：吨），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；(2)若该品种水稻的亩产量近似服从正态分布，其中为（1）中平均亩产量的估计值，．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于的亩数；(3)将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于的亩数为，求随机变量的期望．附：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】(1)(2)万亩(3)1.2亩 【分析】（1）先求出的值，再根据频率分布直方图平均数的计算方法求解；（2）利用正态分布的对称性求解；（3）根据求随机变量的期望．【详解】（1）.平均亩产量的估计值为:（吨）.故平均亩产量的估计值为0.75吨.（2）由于，所以，故，利用正态分布的对称性得..估计亩产量不低于的亩数为（万亩）.（3）由直方图知亩产量不低于的概率为，由于亩产量不低于的亩数，故其期望（亩）.21．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点（异于的左、右顶点）的周长为6，且面积的最大值为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若为直线与椭圆的另一个交点，求内切圆面积的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题知，，，进而解方程即可得答案；（2）根据题意，将问题转化为求解的面积最大值，进而设出方程，，与椭圆方程联立，结合韦达定理，，函数单调性求最值等计算即可.【详解】（1）解：设椭圆的焦距为，因为为椭圆上的动点（异于的左、右顶点）的周长为6，所以①，因为面积的最大值为，所以，由椭圆性质得当为短轴端点时，面积的最大，即②，因为③，所以，由①②③解得，所以，椭圆的标准方程为.（2）解：设内切圆的半径为，所以，根据等面积法，所以，内切圆面积的最大时，的面积最大，由题知，设，与椭圆联立方程得，设，则，所以，，令，则，设，则由对勾函数单调性可知，在上单调递增，所以，当时，即时，的面积最大，最大值为，此时，所以，内切圆面积的最大值为22．已知函数．(1)求的最小值；(2)若对，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据导数研究函数单调性，结合单调性求解最值即可；（2）根据题意将问题转化为恒成立，进而结合的单调性转化为研究恒成立，再求函数最小值即可.【详解】（1）函数的定义域为，，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，函数在处取得极小值，，该极小值也是最小值.所以，的最小值为.（2）因为对，恒成立，所以，即恒成立，令，所以，当时，单调递增，因为所以，当时，，恒成立，当时，由得，即恒成立，设，所以，当时，单调递减，当时单调递增，所以，，所以，要使恒成立，只需，解得，因为，由题可知，，所以，实数的取值范围为【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合函数同构，将问题转化为恒成立，再构造函数求解即可.