新高考数学考前冲刺试卷五（学生版+教师版）

这是一份新高考数学考前冲刺试卷五（学生版+教师版），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高考数学考前冲刺卷05
新高考地区专用
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则z的虚部为（    ）
A． B． C．2 D．
2．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
3．已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（    ）
A． B． C． D．
4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（    ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
5．如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．1
6．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．
7．已知数列满足：当时，，其中为正整数，则使得不等式成立的的最小值为（    ）
A． B． C． D．
8．已知，，.其中为自然对数的底数，则（    ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9． “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据（单位：秒）服从正态分布，且．现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（    ）
A． B．
C． D．
10．如图，在直角梯形ABCD中，，，，是的中点，则（    ）
A． B．
C． D．
11．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（    ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
12．设，当时，规定，如，．则（    ）
A．
B．
C．设函数的值域为M，则M的子集个数为32
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为________________kg．
14．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．则动圆圆心的轨迹的方程为___________.

15．随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升．经调查，A公司的股价在去年年初（时）的股价是每股5元人民币，到了年末（时）涨到了每股6元人民币．经过建立模型分析发现，在第t个月的时候，A公司的股价可以用函数来表示，其中k为常数．假设A公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当A公司的股价涨到10元时，t的值约为______（结果精确到个位数，参考数据：，，．）
16．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求角C的大小；
(2)若，求c的取值范围．
18．（12分）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
19．（12分） “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
20．（12分）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线，使得，求的取值范围.
22．（12分）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
高考数学考前冲刺卷05
新高考地区专用
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则z的虚部为（    ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】设，则，因为，即有，
整理得，解得，
所以z的虚部为2．
故选：C
2．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，，∴.
故选:D．
3．已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据
，
可得，故，
所以，故的周期为24，所以，，
故选：A．
4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：
高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），
高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）
若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（    ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】C
【详解】由，可得第25百分位数分别为和，则；
由，可得第90百分位数分别为和，
则，解得；
故.
故选：C.
5．如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】连接交于点，连接，
∵分别为的中点，则，
且平面，平面，
∴平面，
则点到平面的距离相等，设为，则，两点之间距离的最小值为，
即点到平面的距离为，
∵的中点在上，则点到平面的距离为，
由题意可得为，
由，则，解得，
故，两点之间距离的最小值为.
故选：A.

6．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

由题意知：，，，，
则直线，即，
设，则，
点到直线的距离，解得：，
，即；
设直线，即，
点到直线的距离，解得：或，
又直线，，即直线，
令，解得：，即，
，即；
由得：，椭圆离心率.
故选：D.
7．已知数列满足：当时，，其中为正整数，则使得不等式成立的的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记数列的前项和为，当时，，
即数列中值为的项数为，
则
，
令，可得，
因为，所以，满足不等式的的最小值为．
因为，，
，故的最小值为．
故选：C.
8．已知，，.其中为自然对数的底数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，令，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，
所以，又，
所以，在成立，
所以，即，
所以，即，
令，所以，
因为，所以，即，
所以在上单调递减，
所以，即
令，所以，
因为，所以，即，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以，在成立，
令，则上式变为，所以，即，
综上，.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9． “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据（单位：秒）服从正态分布，且．现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为服从正态分布，
故，，
则，故A错误，B正确；
5人“50米跑”的测试数据符合二项分布，即，故C正确；
，故D错误；
故选：BC.
10．如图，在直角梯形ABCD中，，，，是的中点，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，

对A，，正确；
对B，，，正确；
对C，，正确；
对D，，，错误.
故选：ABC.
11．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（    ）
A． B． C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【详解】设边上的高为，则
，，
，即，A正确；
由余弦定理得：，
又，，
，B正确；
，，，，
；
，，，
，C错误，D正确.
故选：ABD.
12．设，当时，规定，如，．则（    ）
A．
B．
C．设函数的值域为M，则M的子集个数为32
D．
【答案】BCD
【详解】对于A中，例如，则，
可得，所以A错误；
对于B中，由，所以，
所以，所以，所以B正确；
对于C中，因为，可得，
当时，可得，
即函数的值域为，
所以集合的子集个数为，所以C正确；
对于D中，设，
若，可得，所以，，
则，
所以的周期为，
又当时，可得，此时；
，此时；

，此时；
，此时，
所以，结合周期为，即恒为，所以D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为________________kg．
【答案】54.5
【详解】，，
故，解得：，
故回归直线方程为，则当时，(kg).
故答案为：54.5
14．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．则动圆圆心的轨迹的方程为___________.

【答案】
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
设动圆的半径为，
因为动圆与圆内切，与圆外切，
所以，，
于是，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
从而，所以.
所以动圆圆心的轨迹的方程为．
故答案为：.
15．随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升．经调查，A公司的股价在去年年初（时）的股价是每股5元人民币，到了年末（时）涨到了每股6元人民币．经过建立模型分析发现，在第t个月的时候，A公司的股价可以用函数来表示，其中k为常数．假设A公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当A公司的股价涨到10元时，t的值约为______（结果精确到个位数，参考数据：，，．）
【答案】42
【详解】解：因为A公司的股价在时是每股5元人民币，所以，所以．
经过12个月后，得到，所以．
根据题意，要股价涨到10元，则，所以，
所以．
故答案为：42.
16．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.

【答案】         
【详解】解：设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，设第一个阴影三角形面积为,后续阴影三角形面积为
由题意知，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以；
所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故图中阴影部分面积为，
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求角C的大小；
(2)若，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理，得，
即，
∴．
又∵，
∴；
（2）由（1）及正弦定理得，
∵，
∴，
∴．
∵，∴，，
∴，
∴．
18．（12分）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
【答案】(1)，
(2)186
【详解】（1）因为，当时，
，                        
因为，所以，故．
当时，适合上式，
所以，.
（2）（方法1）因为，，
所以当时，．
所以
所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设，则，
因为，所以.                       
所以的前100项是由14个1与86个2组成．
所以.                             
（方法2）设，则，
因为，所以.                             
根据数列的定义，知

.
19．（12分） “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；
(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；数学期望
(3)
【详解】（1），.
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：










数学期望.
（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，当时，取得最大值.
20．（12分）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．

(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）过点作的平行线，由题意可知以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，．
设平面的法向量为，，，，，令，则，
∵，
∴，平面.
（2）根据图形易知平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则.
所以平面与平面夹角的余弦值.
（3），入射角为，
，因为，
所以，.
故这束光在玻璃窗上的入射角的正切值为.
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为直线过原点时，，设，
由可得：，即设不妨点在第一象限，
所以，
代入椭圆的方程，可得，
又由题意可知，，且，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）易知直线的斜率存在，设：，
与椭圆的方程联立，
消去，整理得，
由题意可知，，
整理得，解得，
设，，则，，①
由题意，，
将①代入上式，整理得，有，
由，则，故，即.
22．（12分）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．
注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．
(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；
(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析.
(2)
【详解】（1）解：由函数，可得，
则且，
所以的方程为，即
因为函数的零点的近似值，即，所以，
可得
又因为，所以的直线方程为
令
其中，则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，
所以在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方.
（2）解：由曲线且，
令，
要使得两条运货总干线、分别在各自的区域内，则满足恒成立，
又由，令，可得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，函数取得最小值，
最小值为，
令，即，
即，
即，
因为，可得，
又因为函数的零点的近似值，即，所以，
则，
又由，所以，
所以实数的取值范围是.