理科数学2022届高考考前冲刺卷（五）教师版

这是一份理科数学2022届高考考前冲刺卷（五）教师版，共11页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知，，，则，，的大小关系为，考察下列两个问题，已知圆，圆等内容，欢迎下载使用。
2022届高考考前冲刺卷理 科 数 学（五）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（    ）A．  B．C．  D．【答案】D【解析】或，所以，所以得，故选D．2．复数（i为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以其共轭复数为，则其虚部为，故选B．3．若数列是等差数列，，，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】解：令，因为，，所以，，所以，所以，所以，故选A．4．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，解得，所以，故选B．5．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，，所以，故选B．6．若实数，满足不等式组，则的最小值是（    ）A． B．0 C．1 D．【答案】C【解析】作出可行域如图所示：记，可化为，看成斜率为的直线l，平移直线l经过点A时，纵截距最小，此时A满足，解得，即，代入可得，即的最小值是1，故选C．7．考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（    ）A．  B．C．  D．【答案】C【解析】问题①，由，解得，则．问题②，根据题意，事件B的可能情况有种，事件发生的可能情况为种，所以，，故选C．8．已知圆，圆（且），则圆与圆的公切线有（    ）A．4条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】C【解析】解法一：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，圆心之间的距离，因为，故两圆相交，有两条公切线．解法二：两圆有，两个公共点，故两圆相交，有两条公切，故选C．9．已知函数的图象如图所示，则下面描述不正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意：可得，，因为，所以，又，则，即，因为，则，所以函数，所以，，故选D．10．已知曲线的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，设点，则，有，由直线与的斜率之积等于2，得，所以C的离心率，故选B．11．设，若为函数的极小值点，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，令，则或．当，即时，若时，则在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不合题意；若时，则在，上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，可得，当时，，若时，在，上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极大值点，不合题意；若时，在，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，满足题意，此时由，，得，综上，一定成立，所以C正确，ABD错误，故选C．12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为（    ）A．  B．C．  D．【答案】A【解析】由题可得函数关于轴对称，又因为为奇函数，所以关于原点中心对称，由此可得函数是周期为2的函数，因为当是，令，所以，即在上单调递增，所以，即，又因为时，，所以，所以在上，，由函数的对称性和周期性，做出函数的草图及的图象，结合图象，可得不等式在上的解集为，故选A． 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量，，若，则实数__________．【答案】【解析】因为，所以由，可得，解得，故答案为．14．我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）．【答案】>【解析】令，则，令，则，所以，，根据题设知：，故答案为．15．如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则事件“质点位于的位置”的概率为_________．【答案】【解析】由图可知，若想通过6次移动最终停在的位置上，则必然需要向右移动2次且向左移动4次，记向右移动一次为R，向左移动一次为L，则该题可转化为RRLLLL六个字母排序的问题，故落在上的排法为，所有移动结果的总数为，所有落在上的概率为，故答案为．16．如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；②存在点H，使得GH⊥AE；③三棱锥B−GHF的体积为定值；④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为．其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，如下所示：因为分别为的中点，故可得，，根据已知条件可知：//，故//，故四边形为平行四边形，则//，又面面，故//面，故①正确；对②：因为面面，故，又四边形为矩形，故，则两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则，设，，若GH⊥AE，则，即，解得，不满足题意，故②错误；对③：，因为均为定点，故为定值，又//面，面，故//面，又点在上运动，故点到面的距离是定值，故三棱锥的体积为定值，则③正确；对④：取的外心为，过作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在上，因为面，面面，则，又，面，故面，又面，则//，故在同一个平面，则过作，连接如图所示．在中，容易知，则由余弦定理可得，故，则由正弦定理可得，设三棱锥的外接球半径为，则，在中，，，又，故由勾股定理可知，即，解得，则该棱锥外接球的表面积，故④正确，故答案为①③④． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列的前n项和为，，．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设的公差为d，由题意可得，解得，，可得．（2）由（1）知，所以，．所以，所以．18．（12分）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，已成为最火爆的商品，“一墩难求”．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：年龄/岁抽取人数102025151875有意向购买的人数10182291042（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关？ 年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数   无意向购买冰墩墩的人数   总计   （2）若从年龄在的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这三人中打算购买冰墩墩的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：，其中．【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关；（2）分布列见解析，．【解析】（1）解：由表格中的数据，可得年龄低于40岁的人数为人，其中有意向购买的人数为人，年龄不低于40岁的人数为人，其中有意向购买的人数为人，可得的列联表，如下表所示： 年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数502575无意向购买冰墩墩的人数52025总计5545100可得，所以有的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关．（2）解：表格中的数据，可得年龄在的人数为7人，其中有意向购买的人数为4人，无意向购买的人数为3人，从被调查人群中随机选出3人，打算购买冰墩墩的人数可能取值为，可得，，则随机变量的分布列为：0123所以期望为．19．（12分）如图所示，已知四棱锥中，底面是矩形，平面底面且，为中点，点P在平面ABCD上的投影在线段AD上．（1）求证：；（2）若与底面所成角的正切值为，求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）平面平面，且交线为，四边形是矩形，，所以平面，而平面，所以．因为，为中点，所以，由于，所以平面，由于平面，所以．（2）如图，作，垂足为，连接．因为平面平面，且交线为，所以平面，所以与平面所成角为，所以，解得，即为的中点．分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，设为平面的法向量，则，则，故可设，同理可求得是平面的法向量．设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以，故，所以二面角的正弦值为．20．（12分）直线交抛物线于，两点，过，作抛物线的两条切线，相交于点，点在直线上．（1）求证：直线恒过定点，并求出点的坐标；（2）以为圆心的圆交抛物线于四点，求四边形面积的取值范围．【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】（1）设，，，则，，直线为：，同理直线为：，把代入直线，得，∴，都满足直线方程，则为直线的方程，故直线恒过定点．（2）如图，设圆的半径为，，，，，把代入圆：，整理得，由题意知：关于的一元二次方程有两个不等实根，则，可得．，令，由，得，则，令且，则，故在上，，递增；在上，，递减，所以，又，，故的取值范围是，综上，的取值范围是．21．（12分）已知函数，．（1）若恒成立，求实数a的值；（2）若，求证：．【答案】（1）1；（2）证明见解析．【解析】（1）设，则．当时，，单调递增，，不满足恒成立；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．即，即．设，，所以在上单调递减，在上单调递增，即，故的解只有，综上，．（2）证明：先证当时，恒成立．令，，所以在上单调递增，又，所以．所以要证，即证，即证，即证．设，则，所以在上单调递减，所以，即原不等式成立，所以当时，． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，设点，求的值．【答案】（1），；（2）5．【解析】（1）将代入，得，所以直线l的普通方程为，由，得，即，所以曲线C的直角坐标方程为．（2）将代入方程，得，所以，，由直线参数方程中的几何意义得，，所以．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，等价于，解得，所以此时不等式无解；当时，等价于，解得，所以；当时，等价于，解得，所以，综上所述，不等式解集为．（2）由，得，当时，恒成立，所以；当时，恒成立，因为，当且仅当时取等号，所以，综上，的取值范围是．