湖北省新高考I卷2023届高三四模数学试题

这是一份湖北省新高考I卷2023届高三四模数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省新高考I卷2023届高三四模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．集合，不为空集，，若中的元素之和为奇数，则满足条件的集合的个数为（    ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ）
A．2 B． C．4 D．
3．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．
4．展开式中无理项的个数为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得24000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（    ）
A．甲12000元，乙12000元 B．甲16000元，乙8000元
C．甲20000元，乙4000元 D．甲18000元，乙6000元
6．已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为
A． B． C． D．
7．已知双曲线，，过点可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数，都有，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．2023年3月25日至26日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南州台江县台盘村举行.这件赛事就是最近火爆全网的“村”.1800多人的村，观赛人数高达3万，而且台盘村做到了停车不要钱，门票不要钱，吃饭不涨价，所有保障服务到位.其中的亮点之一就是中场休息的啦啦操不是漏腿的舞蹈，而是穿着民族服装的“蹦苗迪”.3月26日，在黔东南州队和遵义市队进行冠亚军总决赛中，黔东南州队以，险胜遵义市队，夺得总决赛冠军.赛后经观众回忆，得到黔东南州队的5名球员的得分如下：
球员
1
2
3
4
5
得分
8
12
14
14
20
下面对黔东南州队5名球员所得分数的数据分析正确的是（    ）
A．这5个数据中位数是14
B．这5个数据的方差是15
C．这5个数据的第80分位数是17
D．假设这5名球员每名再得2分，则其方差比原来的方差大
10．已知函数，则（    ）
A．若的最小正周期为，则
B．若，则在上的最小值为
C．若在上单调递增，则
D．若在上恰有2个零点，则
11．在正四棱柱中，已知，为棱上的动点（不含端点），则（    ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得平面平面
C．设，若，则
D．设，与相交于点，则当最小时，
12．已知且，函数，则（    ）
A．若，则有个零点
B．若，则在区间上单调递减
C．若有两个零点，则
D．若，则存在，使得当时，有

三、填空题
13．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，若，则两点横坐标之和的最小值为_________．
14．已知圆与圆有三条公切线，则_________．
15．在中，，，，且，若为的内心，则_________．

四、双空题
16．在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，，点为棱的中点，则三棱锥的体积为_________；若四棱锥所有顶点均在球的球面上，过点的平面截球所得的截面面积的最小值为_________．

五、解答题
17．在中，内角A，，的对边分别为，，，已知．
(1)判断的形状；
(2)已知为上一点，则当，，时，为的几等分点？
18．设对任意，数列满足，，数列满足．
(1)证明：单调递增，且；
(2)记，证明：存在常数，使得．
19．如图，四棱锥的底面为筝形，于点，为的五等分点，，，，且．

(1)求证：；
(2)作出平面与平面所成二面角的任意一条棱，并求该二面角的余弦值．
20．2022年底以来，发放消费券在全国多个地区流行，此举助力消费复苏．记发放的消费券额度为（百万元），带动的消费为（百万元）．下表为某省随机抽查的一些城市的数据：

3
3
4
5
5
6
6
8

10
12
13
18
19
21
24
27
(1)根据表中的数据，请用相关系数说明与有很强的线性相关关系，并求出关于的线性回归方程；
(2)（i）若该省城市在2023年4月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？
（ii）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省城市4月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因．
说明：对于线性回归方程的相关系数说明：当时，两个变量之间具有很强的线性相关关系．
参考数据：．
21．如图，在矩形中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，分别是线段，上的动点，且满足．设直线与相交于点．

(1)证明：点始终在某一椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；
(2)设，为该椭圆上两点，关于直线的对称点为，设，且直线，的倾斜角互补，证明：为定值．
22．函数 ．
(1)证明在单调递减；
(2)是否存在使得在定义域上为单调函数，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】先根据题干得出集合A,再分个数讨论B集合，即可得出满足条件集合个数.

【详解】,
不为空集且,
若中的元素之和为奇数，
当集合B有四个元素则可以为，
当集合B有三个元素则可以为，
当集合B有两个元素则可以为，
当集合B有一个元素则 可以为，
则满足条件的集合的个数为8.
故选:D.
2．B
【分析】设，根据复数的模的公式及相等复数的定义求出参数，再根据共轭复数的定义及虚部的定义即可得解.
【详解】设，则，
则，即，
所以，解得，
所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故选：B.
3．C
【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解
【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则，
∴，.
设为平面AEC1F的法向量，，
由，得，
令z=1，∴，
所以.
又，
∴点C到平面AEC1F的距离d=.
故选：C.
4．C
【分析】先根据题意得出展开式中的通项为，则要求展开式中无理项的个数，需求出不是整数的个数即可．
【详解】由，
则其通项为，
其中，，
若不是整数时，即得到展开式中的无理项，
当，时，的值为；
当，时，的值为；
当，或时，的值为或；
当，或时，的值为或；
当，或或时，的值为或或；
当，或或时，的值为或或，
综上，展开式中无理项的个数为8．
故选：C．
5．D
【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配.
【详解】乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为，所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理，所以甲元，乙元，
故选：D
6．B
【分析】本题首先可以将正四面体放入正方体中，然后借助正方体的性质得出外接球的球心，通过正四面体的表面积为即可计算出长，从而求得外接球的半径，利用截面圆的性质求得最小截面圆的半径径，问题得解．
【详解】如图所示，

将正四面体放入正方体中，则正方体的中心即为其外接球的球心，
因为正四面体的表面积为，
所以，
因为是正三角形，所以，，
设正方体的边长为，则：，解得：
所以正四面体的外接球直径为，
设过点的截面圆半径为，球心到截面圆的距离为，正四面体的外接球半径为，
由截面圆的性质可得：
当最大时，最小，此时对应截面圆的面积最小.
又，所以的最大值为，此时最小为
所以过点的最小截面圆的面积为，故选B．
【点睛】本题考查截面圆的相关性质，主要考查几何体与球的外接问题，可将几何体放入正方体中并借助正方体的相关性质得出球心，考查推理能力，是难题．
7．B
【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.
【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为，
由已知易知，若在双曲线内部（如位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；
若在双曲线与渐近线之间（如位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满足题意；
故P只能在双曲线的渐近线上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线平行的直线，该两条直线均与左支无交点；
同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线平行的直线符合要求；
即，
故，
故选：B

8．A
【分析】由，都有，转化为直线与相切，设切点坐标为，根据导数的几何意义可得，构造，利用导数可求其最大值.
【详解】由题意知，都有，可转化为直线与相切.
设切点坐标为，则可得，可得.
令，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以，即的最大值为.
故选:A.
9．AC
【分析】利用中位数，方差，百分位数公式判断各选项正误即可.
【详解】A选项，由中位数定义可知，5个数据中位数是14，故A正确；
B选项，由表可得，数据的平均数为，
则数据的方差为：，故B错误；
C选项，由第80分位数定义与可知，这5个数据的第80分位数是，故C正确；
D选项，由方差定义可知，方差不变，故D错误.
故选：AC
10．AC
【分析】根据正弦函数的周期公式可判断A；求在上的值域可判断B；由可得，求解可判断C；由可得，求解可判断D.
【详解】对于A，若的最小正周期为，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
时，，所以，
故在上的最小值为，故B错误；
对于C，时，，
因为在上单调递增，则，解得，故C正确；
对于D，时，，
若在上恰有2个零点，则，解得，故D错误.
故选:AC.
11．ACD
【分析】建立空间直角坐标系,A.由求解判断；B.分别求得平面BDP的一个法向量为，平面的一个法向量为，由求解判断；C.由求解判断；D.易得，由求解判断.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：

设，则，
所以，则时，，即，即点P为的四分之一点（靠近点C）时，，故A正确；
，
则，
设平面BDP的一个法向量为，
则，即，
令，得，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
若平面平面，则，
即，解得，此时点P与重合，故B错误；
由，得，
所以，即，
解得或（舍去），故C正确；
易得，则，所以，当，即时，最小，故D正确；
故选：ACD
12．ABD
【分析】对于选项，构造函数，结合单调性和最值判断解的个数，对于选项，利用零点存在性定理判断函数单调性，结合单调性和区间端点函数值得符号，对选项进行判断，对于选项，利用指数函数增长速度快于幂函数增长速度即可判断.
【详解】对于：，时，.
则，即，
令，，时，，
在上，，单调递增，在上，，单调递减.
，
因为，所以，
在上，单调递增，，
在上，单调递减. ，
所以在上必有两个解，
所以有两个零点，所以正确；
对于：，，
令，，为增函数，
，
因为，所以，则，
所以，
所以在存在，使在上，在上，
所以在递减，在递增，且，
因为，所以，所以，
所以在上，所以在上递减.所以B正确.
对于：，时，同项有，
令，，时，，
在上，，单调递增，在上，，单调递减.
，
当时，，有两个零点，
当时，，有两个零点，
所以项错误；
对于：因为，所以中，一直以倍的速度增长.而中
的增长倍数无限趋近于.所以存在，使得当时，有.
所以项正确.
故选：.
【点睛】思路点睛：（1）利用导数研究函数的单调性、零点等问题，往往要先构造函数，再利用导数研究函数的有关性质，例如本题涉及指数函数和幂函数常常构造形如形式的函数.
（2）对于超越方程无法直接求根，往往需要二次求导.
13．
【分析】设过点F直线为，，将其与抛物线联立由韦达定理可得，又由抛物线定义可得，由基本不等式可得，即可得答案.
【详解】由题可得，，设过点F直线为.
.将其与抛物线联立：，
消去得，.
则由韦达定理可得.
则 .
由抛物线定义可知，
由基本不等式，.
当且仅当时取等号.，
因函数在上递增，则.
则两点横坐标之和的最小值为.
故答案为：
14．或
【分析】根据两圆有三条公切线可知两圆外切，然后由两圆心距等于两半径之和列式，分类讨论可得.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以两圆外切，
所以
即
当时，，即
解得或（舍去）
当时，，即
解得或（舍去）
当时，，即
解得（舍去）
综上，或
故答案为：或
15．
【分析】根据数量积的定义和三角形的面积公式和余弦定理求，证明为直角三角形，再求内切圆半径，结合向量运算公式求.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，又，，
所以，所以，
由余弦定理可得，又，
所以，又，所以，
所以为以为斜边的直角三角形，
设的内切圆与边相切于点，内切圆的半径为，
由直角三角形的内切圆的性质可得，故，
因为，所以，
因为，所以，所以
所以.
故答案为：.

16．
【分析】根据已知条件作出图形，利用等体积法求体积；利用补全法得出四棱锥外接球即为长方体的外接球，当时，截面积最小，再利用圆的面积公式即可求解.
【详解】依题意，作出图形如图所示

因为底面，点为棱的中点，
所以.
将四棱锥补形为长方体，易知该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，如图所示

因为为长方体的体对角线，
所以球心在的中点上，
设平面为过点的球的截面，则当时，截面积最小，
因为点为棱的中点，在球面上，
所以过点的球的截面圆的半径，
所以过点的平面截球所得的截面面积的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问利用等体积法；第二问利用补全法，得出长方体的外接球即为四棱锥的外接球，当时，截面积最小，再利用圆的面积公式求解.
17．(1)等腰三角形
(2)为的三等分点

【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等变化计算即可；
（2）结合（1）的结论可得，由余弦定理计算即可.
【详解】（1）由正弦定理得：，
因为，所以，即，
由，则有，
整理得．
所以，
而，则，即为等腰三角形．
（2）由（1）可得．
由正弦定理可得，故．
余弦定理可知：，即，
解之得或，所以为的三等分点．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析

【分析】（1）由可证明单调性，由反证法即可证明，
（2）由裂项求和即可求解.
【详解】（1）证明：由于，则，
所以，即单调递增．
假设存在，使得，则，
所以．
不妨取，即，即，则，这与任意，恒成立相矛盾，故假设不成立，所以．
（2）由（1）有，又，所以
．
于是，
故可取，即有．
19．(1)证明见解析
(2)作图见解析，

【分析】（1）根据三角形相似证明，再由线面垂直的判定定理及性质定理得证；
（2）分别延长，交于点，连接，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）由题意得．
因为，所以，．
又因为，易得，即为直角三角形，所以．
因为，，，平面，
所以，平面，
又平面，所以．
（2）分别延长，交于点，连接，则即为平面与平面所成二面角的一条棱，并且二面角为锐二面角．

由（1）可得，且平面与平面和平面三面垂直．（不知道这是什么性质，查阅网上答案也是如此，请审核老师删除此处）
如图所示建立以为轴、以为轴、以为轴的空间直角坐标系．

各点坐标如下：，，，，．
设平面的一个法向量为，因为，，所以
，令，可得，取．
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，令，可得，
故取．
所以，
故该二面角的余弦值即为．
20．(1)，由于且非常接近1，所以与具有很强的线性相关关系；

(2)（i）35.25；（ii）不理想，发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量．

【分析】（1）根据相关系数的公式计算出的值即可说明；根据回归直线方程的求法，求解即可；
（2）（i）将代入回归方程计算即可；
（ii）根据题意计算出实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值，即可判断及说明原因.
【详解】（1）解：因为，
．
，
，
，
所以；
由于且非常接近1，所以与具有很强的线性相关关系．
经计算可得
，
，
所以所求线性回归方程为；
（2）解：（i）当时，，所以预计能带动的消费达35.25百万元．
（ii）因为，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的．
发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量．（只要写出一个原因即可）．
21．(1)证明见解析，
(2)证明见解析.

【分析】（1）设，，，求直线的方程，结合条件消去参数可得点的轨迹方程，由此证明结论；
（2）先证明点在椭圆上，利用点差法证明，，结合条件证明结论.
【详解】（1）由题意，，，设，，．
直线的方程为，①
直线的方程为，②
联立①②，得，
即，整理得．
因为，所以，因此得到．
这就证明了点在椭圆上，椭圆的标准方程为．
（2）因为，所以在椭圆上．
记．设，，则，
故．
因为直线，的倾斜角互补，所以，③
即．④
由，，
得，所以．⑤
同理，由，，
得．⑥
⑤⑥，并结合③，可得．
整理得．⑦
④⑦，得，
故．
所以，即为定值．

【点睛】根据点点睛：本题第一小问通过求两直线方程，利用交轨法求其交点的轨迹方程，第二小问利用设点法，结合点差法确定点的坐标的关系，由此完成证明.
22．(1)证明见解析
(2)存在，

【分析】（1）求导，构造函数，利用导数求解导函数的正负即可求解.
（2）由（1）得在定义域上为单调递减函数只需要时即可，构造函数，利用导数即可求解.
【详解】（1）由题得
，记，则
，记，则
，
所以在递减，又，所以，故在递减．因为，所以，所以在递减．
（2）当时，，则．
令，，，所以在上单调递增．又因为，所以，若要在定义域上为单调函数，需恒小于等于0，故．
因为，所以对任意成立．
令，，因为，为满足必要性需，得．
下面验证充分性，即证明时对任意的成立．
当时，，所以递减，．
当时，记，，在上单调递增．
又因为，，故在上单调递减，．
综上的取值范围为使得在定义域上为单调函数．
【点睛】思路点睛：导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.