2021-2022学年广东省佛山市南海区听音湖学校八年级（下）期中数学试卷(解析版)

这是一份2021-2022学年广东省佛山市南海区听音湖学校八年级（下）期中数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了解答题写出必要的解题过程，解答题写出必要的解题过程，等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年广东省佛山市南海区听音湖学校
八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是正确的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．下列垃圾分类的标志中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．对于①（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，②x﹣4xy＝x（1﹣4y），从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
3．下列运动属于旋转的是（　　）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
4．+的运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．a+b
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）

A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
6．如图，已知AB＝AC，AB＝14，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（　　）

A．16 B．20 C．22 D．26
7．已知多项式x2﹣2kx+16是一个完全平方式，则k（　　）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
8．如图，一次函数y＝ax和y＝kx+4的图象相交于点（1，3），则不等式ax＞kx+4的解集为（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
9．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x
C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
二、填空题（本大题7小题，每题4分，共28分）请将下列各题正确答案填写在答题卡相应位置上
11．因式分解：x2﹣4x＝　 　．
12．要使分式有意义，则字母x的取值范围是　 　．
13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 　 　．
14．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a﹣3）（b+3）的值等于　 　．
15．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转　 　度，可与其自身重合．

16．用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设　 　．
17．已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C′与点B重合，如图1所示．△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．直到点B'移动到与点C重合时停止，设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则△ABC的直角边长是 　 　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每题6分，共18分）写出必要的解题过程。
18．解分式方程：+＝1．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．

20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）△ABC关于原点O的对称图形为△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积是 　 　；
（3）若点P为y轴上一动点，则PA+PC的最小值为 　 　．

四、解答题（二）（本大题3小题，每题8分，共24分）写出必要的解题过程，
21．已知A＝（1+）÷．
（1）直接写出当x取什么值时，A有意义；
（2）化简A；
（3）当x是不等式组的整数解时，求A的值．
22．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．

23．某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了400元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．
（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？
（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？

A型智能手表
B型智能手表
进价
800元/只
1000元/只
售价
今年的售价
1500元/只
24．等边三角形△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△ACD，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点、满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与EC、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．
（1）求证：△CEF是等边三角形．
（2）△AEF的周长最小值是 　 　．
（3）若BE＝3、求证：BM＝MN＝DN．

25．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．



参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是正确的．请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．下列垃圾分类的标志中，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．对于①（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，②x﹣4xy＝x（1﹣4y），从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
解：从左边到右边变形，①是整式乘法，②是因式分解，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．下列运动属于旋转的是（　　）
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
解：A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；
B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；
C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；
D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．
故选：B．
【点评】本题考查旋转的概念．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
4．+的运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．a+b
解：+
＝+
＝
故+的运算结果正确的是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）

A．30，2 B．60，2 C．60， D．60，
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝60°，AC＝BC×cot∠A＝2×＝2，AB＝2BC＝4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC＝CD＝AB＝2，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，
∴∠DCF＝30°，∠DFC＝90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD＝AB＝2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF＝BC＝×2＝1，CF＝AC＝×2＝，
∴S阴影＝DF×CF＝×＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：
①对应点到旋转中心的距离相等；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前、后的图形全等．
6．如图，已知AB＝AC，AB＝14，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（　　）

A．16 B．20 C．22 D．26
解：∵AB＝AC，AB＝14，
∴AC＝14，
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝14+6＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决问题的解是掌握线段垂直平分线的性质．
7．已知多项式x2﹣2kx+16是一个完全平方式，则k（　　）
A．4 B．±4 C．8 D．±8
解：∵多项式x2﹣2kx+16是一个完全平方式，
∴﹣2kx＝±2•x•4，
解得：k＝±4，
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
8．如图，一次函数y＝ax和y＝kx+4的图象相交于点（1，3），则不等式ax＞kx+4的解集为（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
解：由图象可知，当x＞1时，ax＞kx+4，
即不等式ax＞kx+4的解集为x＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题，一组人平分90元钱，每人分得若干，若再加上6人，平分120元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A．90x＝120（x+6） B．90（x﹣6）＝120x
C． D．
解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为（x﹣6）人，
依题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE边平分∠ABC，得到如下结论：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，则BE的取值范围为0＜BE＜x，那么以上结论正确的是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
故①小题正确；
如图，延长AE交BC延长线于F，

∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小题正确；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即点E为CD的中点，
∵BE与CE不一定相等
∴BE与CD不一定相等，故③小题错误；
若AD＝BC，则CE是Rt△BEF斜边上的中线，则BC＝CE，
∵AD与BC不一定相等，
∴BC与CE不一定相等，故④小题错误；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范围为0＜BE＜x，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明BE⊥AF并作出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
二、填空题（本大题7小题，每题4分，共28分）请将下列各题正确答案填写在答题卡相应位置上
11．因式分解：x2﹣4x＝　x（x﹣4）　．
解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案为：x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．要使分式有意义，则字母x的取值范围是　x≠2　．
解：要使分式有意义，
则2x﹣4≠0，
解得x≠2．
故答案是：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为 　19或20　．
解：根据题意得x﹣6＝0，y﹣7＝0，
解得x＝6，y＝7，
①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19．
②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20．
故答案为19或20．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个非负数都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
14．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a﹣3）（b+3）的值等于　﹣2　．
解：解不等式组的解集为2b+3＜x＜，
因为不等式组的解集为﹣1＜x＜1，所以2b+3＝﹣1，＝1，
解得a＝1，b＝﹣2代入（a﹣3）（b+3）＝﹣2×1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母a，b表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母a，b的一元一次方程求出字母a，b的值，再代入所求代数式中即可求解．
15．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转　120　度，可与其自身重合．

解：∵360°÷3＝120°，
∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故答案为：120．
【点评】本题考查旋转对称图形的知识，难度不大，注意正三角形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．
16．用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设　∠B一定不是锐角（是直角或钝角）　．
解：∠B与90°的大小关系有∠B＞90°，∠B＝90°，∠B＜90°三种情况，
因而∠B＝90°的反面是∠B＞90°或∠B＜90°．
因此用反证法证明“∠B＝90°”时，应先假设∠B＞90°或∠B＜90°．
即∠B一定不是锐角（是直角或钝角）．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
17．已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C′与点B重合，如图1所示．△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．直到点B'移动到与点C重合时停止，设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则△ABC的直角边长是 　　．

解：函数图象可知，当x＝m时，点B'到达点B，如图1，
当x＝m+4时，点C'到达点C，如图2，

∴B'C'＝m，BC＝m+4，
∴A'B'＝A'C'＝B'C'＝m，AB＝BC，
由函数图象可知当m＜x＜m+4时，重合部分的面积为1，
∴S△A′B′C′＝A′B′•A′C′＝×m×m＝1，
∴m＝2，
∴BC＝2+4＝6，
∴AB＝×6＝3，
∴△ABC的直角边长度为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了图形的平移、等腰直角三角形的性质、函数的图象，解题的关键是通过函数图象得到△A'B'C'平移过程中重合部分的形状．
三、解答题（一）（本大题3小题，每题6分，共18分）写出必要的解题过程。
18．解分式方程：+＝1．
解：去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
移项合并得：2x＝4，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．

【解答】证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠CBA．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）△ABC关于原点O的对称图形为△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）△A1B1C1的面积是 　3　；
（3）若点P为y轴上一动点，则PA+PC的最小值为 　2　．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积＝×3×2＝3．
故答案为：3．

（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交Y轴于点P，此时PA+PC的值最小，最小值＝CA′＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称把最短问题转化为两点之间线段最短．
四、解答题（二）（本大题3小题，每题8分，共24分）写出必要的解题过程，
21．已知A＝（1+）÷．
（1）直接写出当x取什么值时，A有意义；
（2）化简A；
（3）当x是不等式组的整数解时，求A的值．
解：（1）∵A＝（1+）÷，
∴x2﹣1≠0，x≠0，
∴x≠0，±1，
即x≠0，±1时，A有意义；
（2）A＝（1+）÷
＝
＝
＝4（x﹣1）
＝4x﹣4；
（3）由不等式组，得﹣2＜x＜3，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝﹣1，0，1，2，
由（1）知，x≠0，±1，
∴x＝2，
当x＝2时，原式＝4×2﹣4＝4．
【点评】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和解一元一次不等式的方法．
22．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．

【解答】证明：（1）
过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ＝PT，PS＝PT，
∴PQ＝PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
在△AED和△AEC中

∴△AED≌△AEC，
∴CE＝ED．
【点评】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ＝PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
23．某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了400元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．
（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？
（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？

A型智能手表
B型智能手表
进价
800元/只
1000元/只
售价
今年的售价
1500元/只
解：（1）今年A型智能手表每只售价x元，去年售价每只为（x+400）元，
根据题意得，
解得：x＝1200，
经检验，x＝1200是原方程的根，
答：今年A型智能手表每只售价1200元；
（2）设新进A型手表a只，全部售完利润是W元，则新进B型手表（100﹣a）只，
根据题意得，W＝（1200﹣800）a+（1500﹣1000）（100﹣a）＝﹣100a+50000，
∵100﹣a≤3a，
∴a≥25，
∵﹣100＜0，W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W增大＝﹣100×25+50000＝47500元，
此时，进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，
答：进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是47500元．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用、一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
24．等边三角形△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△ACD，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点、满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与EC、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．
（1）求证：△CEF是等边三角形．
（2）△AEF的周长最小值是 　6+3　．
（3）若BE＝3、求证：BM＝MN＝DN．

【解答】（1）证明：∵等边三角形△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△ACD，
∴△ABC，△ACD是全等的等边三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，
∵AF＝BE，
在△CBE和△CAF中，
，
∴△BEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，
∴∠ECF＝∠BCA＝60°，
∴△CEF是等边三角形；

（2）解：∵△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，
∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，
∵△ECF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∴当CE⊥AB时，CE的值最小，此时BE＝AB＝3，CE＝＝3，
∴△AEF的周长的最小值为6+3，
故答案为：6+3；

（3）证明：如图：

∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，AC⊥BD，
∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵BE＝3，AB＝AC＝6，
∴BE＝AF＝3，
∴点E为AB中点，点F为AD中点，
∴AO＝AB＝3，
∴BO＝＝3，
∴BD＝6，
∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，
∴CE⊥AB，
∴BM＝2EM，
∴32+（BM）2＝BM2，
∴BM＝2，
同理可得DN＝2，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2，
∴BM＝MN＝DN．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．【模型建立】
（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D的坐标，若不能，请说明理由．

解：（1）如图1所示：

∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC＝180°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BEC＝90°，
又∵∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△CDA和△BEC中，
，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）过点B作BC⊥AB交AC于点C，CD⊥y轴交y轴
于点D，如图2所示：

∵CD⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°，
又∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
又∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝CB，
在△ABO和∠BCD中，
，
∴△ABO≌∠BCD（AAS），
∴AO＝BD，BO＝CD，
又∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴AO＝2，BO＝3，
∴BD＝2，CD＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，5），
设l2的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
点A、C两点在直线l2上，依题意得：
，
解得：，
∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；
（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，
①若点P为直角时，如图3甲所示：

设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，
∵∠CPD＝90°，CP＝PD，
∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，
∴∠CPM+∠PDH＝90°，
又∵∠CPM+∠DPM＝90°，
∴∠PCM＝∠PDH，
在△MCP和△HPD中，
，
∴△MCP≌△HPD（AAS），
∴CM＝PH，PM＝HD，
∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，
解得：m＝，
即点D的坐标为（，﹣）；
②若点C为直角时，如图3乙所示：

设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，
CA＝CD，
同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），
∴PM＝CH，MC＝HD，
∴点D的坐标为（4+n，﹣7），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，
解得：n＝0，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（4，﹣7）；
③若点D为直角时，如图3丙所示：

设点P的坐标为（3，k），则PB的长为4+k，
CD＝PD，
同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，
∴点D的坐标为（，），
又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，
∴﹣2×＝，
解得：k＝，
∴点P与点A重合，点M与点O重合，
即点D的坐标为（，﹣）；
综合所述，点D的坐标为（，﹣）或（4，﹣7）或（，﹣）．
【点评】本题综合考查了垂直的定义，平角的定义，全等三角形的判定与性质，一次函数求法，待定系数等知识点，重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法，难点是构造符合题意的全等三角形．