2023年湖南省岳阳市平江县中考数学质检试卷（一）（含解析）

2023年湖南省岳阳市平江县中考数学质检试卷（一）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列几何体中，同一个几何体的主视图与左视图不同的是(    )

A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D. 球

4.  如图，直线，的顶点在上，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是：，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如果将个大小重量完全要样的乒乓球放入一个袋中，其中个白色的，个黄色的，个绿色的，个红色的，那么随机摸出一个乒乓球是红色的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法错误的是(    )

A. 平行于同一条直线的两直线平行 B. 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 相似三角形的周长比等于相似比的平方 D. 直角三角形的外心是斜边的中点

8.  已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程有两个根，其中一个根是，则关于的方程有两个整数根，这两个整数根是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9.  若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是        ．

10.  因式分解： ______ ．

11.  年月日，国家统计局发布，年我国全年出生人口为人，创下建国以来出生人口的新低将数据用科学记数法表示为______ ．

12.  如图，在中，，点是的中点，，，则          ．

13.  若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．

14.  若，则代数式的值为______．

15.  孙子算经是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则可列方程组______．

16.  如图，在中，为直径，于点，点为上一点，点关于的对称点恰好在直径上，连接，，，．
若，，则的长为______ 结果保留．
若，：：，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，、是▱的对角线所在直线上两点，且，求证：四边形是平行四边形．

19.  本小题分
如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴，．
求反比例函数解析式；
求的值．

20.  本小题分
“满目金黄香百里，一方春色醉千山”月正是赏花时，为了推动乡村振兴战略实施，带动群众共同致富，年月日平江县政府举办了第六届“油菜花节”，为了了解市民喜欢的活动项目，随机对若干名市民进行调查，每人只选择一项活动并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

请根据图中信息，解答下列问题：
本次共调查市民共______ 人；
请补全条形统计图，并计算亲子乐园项目所占圆心角度数；
“春光明媚，惹人心醉花遇知音，绿野仙踪”“油菜花节”当天，各种活动在花海华彩绽放其中有名外地游客参加活动，请你根据调查情况估计当天参加摄影大赛活动的外地游客是多少人．

21.  本小题分
年月日，湖南省第一条智慧高速“平益高速”已全线通车运营，它的通车为人们提供了便利近日，有一个旅游团从益阳到平江幕阜山森林公园游玩，他们搭乘的大巴车全程走平益高速到达幕阜山森林公园用的时间比原路线所用的时间缩短了，已知大巴车在平益高速上的平均速度比原路线的平均速度提高了，益阳与平江幕阜山森林公园相距约，求大巴车在平益高速上的平均速度．

22.  本小题分
“洞庭天下水，岳阳天下楼”小刚为实地测量岳阳楼主楼的高度，站在它正前方的处，测得楼处此时仰角为，接着小刚笔直往后退米至处，测得楼顶处此时仰角为已知小刚目高米，长米，求岳阳楼主楼的高度结果保留一位小数参考数据：，，
 

23.  本小题分
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图，在边长为的正方形各边上分别截取，当时，求正方形的面积．
小明发现，分别延长，，，交，，，的延长线于点，，，，可得，，，是四个全等的等腰直角三角形如图
请回答：
若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形无缝隙不重叠，则这个新正方形的边长为______；
求正方形的面积．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图，在等边各边上分别截取，再分别过点，，作，，的垂线，得到等边若，则的长为______．
 

24.  本小题分
如图，抛物线与轴、轴分别交于点，，三点，已知点，点，点是抛物线的顶点．

求抛物线的解析式及顶点的坐标；

如图，抛物线的对称轴与轴交于点，第四象限的抛物线上有一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在抛物线的对称轴上，求点的坐标；

如图，设交抛物线的对称轴于点，作直线，点是直线上的动点，点是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的相反数是．
故选：．
根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：．
分别根据二次根式的加减法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法则、合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆柱体的主视图是长方体．左视图是圆形．
故选：．
根据主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形即可得到结论．
本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，
故选：．
再根据两直线平行，同位角相等即可得，根据角的和差得到．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为，，，，，，，，，
这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，掌握众数与中位数的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为袋中共有乒乓球个，其中个是红色的，
所以随机摸出一个乒乓球是红色的概率为．
故选：．
让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

7.【答案】 

【解析】解：、平行于同一条直线的两直线平行，正确，故A不符合题意；
B、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，故B不符合题意；
C、相似三角形的周长比等于相似比，故C符合题意；
D、直角三角形的外心是斜边的中点，正确，故D不符合题意．
故选：．
由平行公理的推论，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，相似三角形的性质，三角形的外心的定义，即可判断．
本题考查平行公理的推论，轴对称图形，中心对称图形，相似三角形的性质，三角形的外心，掌握以上知识点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象经过与两点，
当时，的两个根为和，函数的对称轴是直线，
又关于的方程有两个根，其中一个根是，
方程的另一个根为，
关于的方程 有两个整数根，
抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和与之间，
关于的方程有两个整数根，这两个整数根是和，
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于的方程 的两个整数根，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，
解得，
实数的取值范围是．
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得，据此求出实数的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：中，，点为的中点，
，
中，．
故答案为：．
依据直角三角形的斜边上中线的性质，即可得到的长，再根据勾股定理，即可得到的长．
本题主要考查了勾股定理和直角三角形的斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
 

13.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
故答案为：且．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了因式分解的运用和整体代入求值法，重点掌握提取公因式法．将原式变形为，代入，可继续变形为，即可求出代数式的值为．
【解答】
解：，







故答案为  

15.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据题意可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

16.【答案】  

【解析】解：连接，，

，
，
为的直径，，
，
，
，
的长，
故答案为：；
连接，

：：，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得：或舍去，
，
在中，，
点关于的对称点恰好在直径上，
，
为的直径，，
是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理可得，再利用垂径定理可得，从而可得，然后利用弧长公式进行计算，即可解答；
连接，根据已知可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，根据垂直定义可得，从而可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，根据轴对称的性质可得，最后根据已知易得是的垂直平分线，从而可得，进而可得是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，轴对称的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】证明：连接，交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，．
又，
，
即．
又，
四边形是平行四边形． 

【解析】连接，交于点由平行四边形的性质推知，；再结合已知条件证得，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：点在上，
，
，
把代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的解析式为：；

、两点关于原点成中心对称，
；
如图所示，作于，设交轴于点，

，

轴，轴
，
，
即． 

【解析】用待定系数法即可求解；
作于，如图，利用等角的余角相等得到，进而求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形等，证得是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次共调查市民共：人，
故答案为：；
“亲子乐园”的人数所占百分比为：，
样本中“亲子乐园”的人数为：人，
补全条形统计图如下：

亲子乐园项目所占圆心角度数为：；
人，
答：估计当天参加摄影大赛活动的外地游客大约有人．
由“绘画”的人数除以占的百分比得到调查的总人数；
总人数乘成绩类别为“亲子乐园”的人数所占百分比即可得出其人数，即可补全条形统计图；用乘“亲子乐园”的人数所占百分比可得亲子乐园项目所占圆心角度数；
用乘样本中“摄影大赛”所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：设大巴车在原路线的平均速度为，则在平益高速上的平均速度为，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：大巴车在平益高速上的平均速度为． 

【解析】设大巴车在原路线的平均速度为，则在平益高速上的平均速度为，由题意：搭乘的大巴车全程走平益高速到达幕阜山森林公园用的时间比原路线所用的时间缩短了，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图：

由题意得：，米，米，，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
米，
米，
岳阳楼主楼的高度约为米． 

【解析】根据题意可得：，米，米，，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】；
四个等腰直角三角形的面积和为，正方形的面积为，
；
． 

【解析】

解：四个等腰直角三角形的斜边长为，则斜边上的高为，
每个等腰直角三角形的面积为：，
则拼成的新正方形面积为：，即与原正方形面积相等，
这个新正方形的边长为，故答案为；

见答案；

如答图所示，分别延长，，，交，，的延长线于点，，．

由题意易得：，，均为底角是的等腰三角形，其底边长均等于的边长．
不妨设等边三角形边长为，则．
如答图所示，过点作于点，则，

在中，，
．
过点作于点，设，
则，，
．
三个等腰三角形，，的面积和，
，
，得，
解得或不合题意，舍去
，即的长为．
故答案为：．
【分析】
四个等腰直角三角形的斜边长为，其拼成的正方形面积为，边长为；
如题图所示，正方形的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形的面积；
参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图所示，三个等腰三角形，，的面积和等于等边三角形的面积，故阴影三角形的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出的长度．
本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．  

24.【答案】解：将点、点的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：，．
抛物线的解析式为．
，

将代入抛物线的解析式得：，解得或，
．
，
抛物线的对称轴为，
，
将沿直线折叠，使点的对应点落在抛物线的对称轴上，
为的角平分线，
，
设直线的解析式为，
将点的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为，
将代入抛物线的解析式得：，
解得：或，
点在第四象限，
，
，

设的解析式为，将点的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为．
设直线的解析式为，将点的坐标代入得：，解得：．
直线的解析式为．
将代入直线的解析式得：，
．
设点的坐标为．
当时，，整理得：，解得：．
点的坐标为
当时，，整理得：，解得：或．
点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或． 

【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、翻折的性质、两点间的距离公式或勾股定理，依据两点间的距离公式或勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
将点、点的坐标代入抛物线的解析式可求得、的值，从而得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点的坐标；
将代入抛物线的解析式求得点的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可求得点的坐标，由折叠的性质可求得，设直线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而可求得直线的解析式，最后将直线的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可；
先求得直线的解析式，然后再求得直线的解析式，从而可求得点的坐标，设点的坐标为，然后分为、两种情况列方程求解即可．