2023年湖南省岳阳市中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省岳阳市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，可以得到的立体图形是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  义务教育课程标准年版首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  如图，直线，相交于点，，垂足为若，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题是真命题的是(    )

A. 相等的角是对顶角
B. 三角形的外心是三条边中线的交点
C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等
D. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

7.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于，的二元一次方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知点，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9.  已知函数，则自变量的取值范围是______ ．

10.  年月日，“天宫课堂”正式开课，我国航天员在中国空间站首次进太空授课，本次授课结束时，网络在线观看人数累计超过人次．把“”用科学记数法表示为______．

11.  如图，已经在锐角中，，是的角平分线，是上一点，连接，若，，则的面积是______ ．

12.  若关于的方程的解是，则的值为           ．

13.  已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值为______ ．

14.  年月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过分钟某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成不完整的统计图表则频数分布表中的值为______ ．

15.  如图，某学习小组在教学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为，信号塔顶部的仰角为，已经教学楼的高度为，则信号塔的高度是______
 

16.  如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接，，，的长为______ ； ______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
已知，求代数式的值．

19.  本小题分
如图，▱中，，是边，的点，，添加下列条件之一使▱成为菱形；；．
添加的条件是：______ ；填序号
添加条件后，请证明▱为菱形．

20.  本小题分
月日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级一班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的张卡片如图，除编号和内容外，其余完全相同，放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程．

 

21.  本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
求反比例函数和一次函数的关系式；
设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，，点在点的上方，且，求点的坐标．

22.  本小题分
为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多元，购买吨甲种有机肥和吨乙种有机肥共需元．
甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共吨，且总费用不能超过元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？

23.  本小题分
如图，在中，，，点为边上的动点点不与点，重合以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
 

求证：∽

当时如图，求的长

点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得若存在，求出此时的长若不存在，请说明理由．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．
求抛物线的解析式；
若面积是面积的倍，求点的坐标；
如图，交于点，交于点记，，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
运用乘积为的两个数是互为倒数进行求解．
此题考查了求一个数倒数的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，可以得到圆柱体，
故选：．
根据“面动成体”进行判断即可．
本题考查认识立体图形，理解“面动成体”是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据去括号法则判断选项；根据单项式乘多项式判断选项；根据完全平方公式判断选项．
本题考查了整式的混合运算，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
根据众数和中位数的定义判断即可．
【解答】
解：这个数据中出现次数最多的数据是，
这组数据的众数是．
把这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，
位于中间的数据为，
这组数据的中位数为．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
首先利用垂直的定义得到，然后利用平角的定义即可求解．
本题主要考查了垂直的定义和平角的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点．
 

6.【答案】 

【解析】解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，是真命题，符合题意；
故选：．
根据对顶角的概念、三角形的外心的概念、全等三角形的判定、角平分线的性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：由可得，
，
整理，得：，
且，
当时，则，
即，
解得，

当时，则，此时无解
由上可得，，
故选：．
本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

10.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：，是的角平分线，
，，
在中，，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解．
把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【解答】
解：把代入方程得：
，
解得：，
故答案为：．  

13.【答案】或 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，
，，
，
，
，
，
，
，
解得或．
，
故的值为或．
故答案为：或．
根据根与系数的关系即可得出，，再由，求出，，进而根据得出，解之即可得出的值．
本题考查了一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的根与系数的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，样本容量为：，
．
故答案为：．
用组的频数除以组所占百分比可得样本容量，再用样本容量减去其它三组的频数可得的值．
本题考查了扇形统计图，频数分布表等知识，求出样本容量是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

由题意得：米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
信号塔的高度是米，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：如图，连接、．
为的直径，
，即，
，，
，
．
，
，
的长为．
故答案为：；
如图，连接，
为的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
．
故答案为：．
连接、，由圆周角定理得出，即，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用圆周角定理得出，再根据弧长公式即可求出的长；
连接，证明是等腰直角三角形，求出由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，进而得出，利用证明≌，得出．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，弧长的计算，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识．熟练掌握各定理与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂和绝对值的性质化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：

，
，
，
当时，原式


． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：添加能使▱成为菱形．
故答案为：；
证明：，，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
由菱形的判定方法可得出答案；
证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，证明≌是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：这三名同学讲故事的顺序是：、、；、、；、、；、、；、、；、、；共种等可能的情况数；

根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有种，
则、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是． 

【解析】根据题意列出所有等可能的情况数即可；
画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：把代入得：
，
，
反比例函数关系式为；
把代入得：
，
，
将，代入得：
，
解得，
一次函数的关系式为；
答：反比例函数关系式为，一次函数的关系式为；
在中，令得，
，
设，，而，
，且，
四边形是平行四边形，
、为对角线，它们的中点重合，
，
解得或，
或； 

【解析】把代入可得，即得反比例函数关系式为，从而，将，代入即可得一次函数的关系式为；
在中得，设，，而，由、中点重合列方程组可得或
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用等，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题．
 

22.【答案】解：设甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元．
设购买甲种有机肥吨，则购买乙种有机肥吨，
依题意得：，
解得：．
答：小姣最多能购买甲种有机肥吨． 

【解析】设甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元，根据“甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多元，购买吨甲种有机肥和吨乙种有机肥共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买甲种有机肥吨，则购买乙种有机肥吨，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：证明：，
，
，，
，
∽；
如图，过点作交于点，

在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或舍弃，
，，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
点在边上运动的过程中，存在时，使得．
理由：过点作交于点，过点作交于点、作交于点，
则，

四边形为矩形，
，，
由知，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
．
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时． 

【解析】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
解直角三角形求出，由∽，推出，可得，由，推出，求出即可；
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得过点作交于点，过点作交于点、作交于点，则，由∽，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
 

24.【答案】解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为：
设直线的解析式为：，
将，代入，
，
解得，
，，
，
，即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，

，
，
设点的横坐标为，
，，
．
解得或；
或．
，
∽，
：：：，
，，
，
设直线交轴于点则，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，

，
，
，
，
，
：：，
设，
由可知，，
．
，
当时，的最大值为． 

【解析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．
将点，的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，可分别表达和的面积，根据题意列出方程求出的长，设出点的坐标，表达的长，求出点的坐标即可；
根据三角形面积推出再证明，得出：：，进而得出，表示出，求最值即可．