2023年湖南省长沙市开福区中考数学质检试卷（含解析）

2023年湖南省长沙市开福区中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “生态环境保护就是为民造福的百年大计”，下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年月日，长沙统计局发布了年国民经济和社会发展统计公报，公报显示：年末长沙市常住总人口约为万人，比上年末增长，其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，是的直径，是上一点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，在矩形中，角线与相交于点，添加下列条不能判定矩形是正方形的是(    )

A.  B.  C.  D. 平分

7.  如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某校为了了解某班开展学习党史情况，该校随机抽取了名学生进行调查，他们读书的本数分别是、、、、、、、、，则这组数据的众数和中位数是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

9.  对于反比例函数，下列结论错误的是(    )

A. 函数图象分布在第一、三象限
B. 函数图象经过点
C. 若点在其图象上，那么点也一定在其图象上
D. 若点，都在函数图象上，且，则

10.  一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从到的自然数若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设(    )

A. 五位 B. 四位 C. 三位 D. 二位

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  若一元二次方程有两个不相等的实数根和，则 ______ ．

13.  如图，在中，点，分别在边，上，若，，，则的长为______．

14.  如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为______ ．

15.  如图，菱形的对角线、相交于点，是的中点，连接，若，，则 ______ ．

16.  勾股定理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为，则其弦是        ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，，按照下列步骤作图：
以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于、两点；
分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
作射线，交于点．
试根据作图过程，说明是的平分线的理由；
若，求的度数．

20.  本小题分
月日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．

______ ， ______ ，补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，“”这组的扇形圆心角为______ ；
若成绩达到分以上为优秀，请你估计全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数．

21.  本小题分
如图，▱中，对角线，相交于点，，，．
求证：是正三角形；
求▱的面积．

22.  本小题分
如图，是的直径，是上的一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，．
求证：平分；
若，求阴影部分的面积．

23.  本小题分
六一前夕，某幼儿园园长到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比品牌服装每套进价多元，用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．
求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？
该服装品牌每套售价为元，品牌每套售价为元，服装店老板决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的倍还多套，两种服装全部售出后，要使总的获利不低于元，则最少购进品牌的服装多少套？

24.  本小题分
如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，交于，连接、．
证明：；
填空：直接将结果写在相应的横线上 ______ ， ______ ， ______ ；
如图，过点作，垂足为，若，求的值；
记，，试用含，的式子表示．
 

25.  本小题分
定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线为常数对称，则称该函数为“函数”．
在下列数中，是“函数”的有______ 填序号
；
；
；
．
若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于、两点，函数图象的顶点为，当时，求，的值．
若关于的函数是函数，当时，函数有最大值，当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
利用倒数的定义判断．
本题考查了倒数，解题的关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由直角三角形的性质得出结论．
此题考查了圆周角定理及直角三角形的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
B、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；
C、正确．四边形是矩形，
，，

，
矩形为正方形，故不符合题意；
D、正确，平分，
，，
，
矩形是正方形，故不符合题意．
故选：．
根据正方形的判定方法即可一一判断．
本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
先根据平行线的性质求出的度数，再由邻补角的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据数据可知：出现的次数最多，因而众数是；
一共是个数，从小到大排列是、、、、、、，，，处在第位的数是，因此中位数是．
故选：．
根据众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数就是把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数进行解答即可求出答案．
此题考查众数、中位数的意义及求法，一组数据出现次数最多的数就是众数，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数．
 

9.【答案】 

【解析】解：、，图象分布在第一，三象限，此选项不符合题意；
B、，
函数图象经过点，此选项不符合题意；
C、反比例函数的图象关于原点对称，
若点在其图象上，那么点也一定在其图象上，此选项不符合题意；
D、虽然点，都在函数图象上，且，
但不知道，所在的象限，故，不能判断大小，此选项符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质和相应的取值得到正确选项即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为．
故密码的位数至少需要位．
故选：．
分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：
本题首先提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据得∽，再根据相似三角形对应边成比例即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长



，
故答案为：．
利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据等量代换可得的周长，进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线、相交于点，
，，，
由勾股定理得，，
又点为中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
根据菱形的对角线是互相垂直平分的，求出，，，再利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．
本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记性质与定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意可得，如果，，是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且，则另一条直角边，弦．
则弦为．
故答案为：．
根据题意可得，如果，，是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且，根据所给的二组数找规律可得结论．
此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】根据零指数幂法则、特殊角的三角函数值、绝对值的意义、负整数指数幂法则进行计算即可得到答案．
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：连接、，
根据作图知：，，
在与中，
，
≌，
，
是的平分线．

由题意得，是的平分线，
，
，
，
，
． 

【解析】连接、易证≌，可得；
依据角平分线的性质和平行线的性质可求得，最后依据三角形内角和求解即可．
本题考查了全等三角形的证明和性质、角平分线的证明和性质、平行线的性质以及三角形内角和定理；解题的关键是熟练运用相关性质转换求值．
 

20.【答案】     

【解析】解：条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，
，即本次抽样的总量是人，
，
条形图中的有人，
条形图中的有人，
，
，
故答案为：，；
补全补全频数分布直方图如图所示，

“”的人数为人，
所占比例为，
所对圆心角的度数为，
故答案为：．
达到分以上的人数有人，
所占比例为，
全校名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数大约为人．
条形图中，的有人，扇形图中所占比例是，由此即可求解；
扇形的圆心角等于该组所占比例乘以，由此即可求解；
先计算出达到分以上的人所占的比例，即可求解．
本题主要考查统计的相关知识，理解条形图，扇形图的意义，掌握计算总量的方法，圆心角的计算方法，用样本估算总体的计算方法是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
是等边三角形；
解：四边形是矩形，
，
，
▱的面积． 

【解析】由平行四边形的性质可得，可证是等边三角形，可得，可得结论；
由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，如图，

与相切于点．
．
．
，
．
．
．
．
即平分；
解：，
，
，
是等边三角形，
设半径为在中，，
，
，
，
在中，，
，
，，
， 

【解析】连接，如图，根据切线的性质得，则可得，根据平行线的性质可得，由，得，即可得出结论．
因为，由圆周角定理可知，得是等边三角形，根据勾股定理可列出方程，根据即可求解．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解此题的关键．
 

23.【答案】解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：品牌服装每套进价为元，品牌服装每套进价为元；
设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，
由题意得：，
解得：，
答：至少购进品牌服装的数量是套． 

【解析】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出、两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．”列出方程，解方程即可；
首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过元”可得不等式，再解不等式即可．
 

24.【答案】   

【解析】证明：是的直径，
，
为的角平分线，
，
；
解：，
，
，，
，，
；
，，
∽，
，
，，
∽，
，
，
．
故答案为：，；
解：，，
，，
∽，
，
，
，
设，，则，
，
整理得：，
解得：或负数舍去，
在中，，
在中，，
即；
在中，平分，
，

，
在中有．
联立解得，
又，，
∽，
，
即．
由圆周角定理可得出结论；
由勾股定理可得出；证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；
证明∽，由相似三角形的性质得出，求出的长，由锐角三角函数的定义可得出答案；
求出和，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是相似形综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：根据定义，满足条件的函数图象是轴对称图形，直线是对称轴，
是轴对称图形，但是对称轴不是直线，此选项不符合题意；
的图象是轴对称图形，但是对称轴不是直线，此选项不符合题意；
的图象是轴对称图形，但是对称轴不是直线，此选项不符合题意；
图象关于直线即轴对称，此选项符合题意；
故答案为：；
关于的函数是“函数”，
，
，
顶点，
函数的图象与直线相交于、两点，
设，，
由得，
，，且，
，
根据该函数图象关于直线对称得，
，
是等腰直角三角形，
点到的距离为，
，
由得，舍去，
；
关于的函数是函数，
，即，
，对称轴为直线，
，
当时，函数有最大值，
若，则，
；
若，，，
又，
，
当时，，
，
解得：，不符合题意，舍去；
综上所述，的值为．
根据“函数”的定义判断即可；
根据定义可得，则，，设，，由得，证明是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求得，由，求解即可；
由题意得，即，进而可得，对称轴为直线，分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质建立方程求解即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质，涉及到一次函数、反比例函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程、一元二次方程的根与系数关系等知识，理解新函数定义，解的关键是证明为等腰直角三角形，根据题意列方程求解；解关键是利用二次函数的性质和分类讨论思想求解．