探索规律——小学数学六年级下册人教版小升初专项突破学案

小升初七大专题：探索规律（专项突破）-小学数学六年级下册人教版

一、选择题

1．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（    ）。

A．82 B． C． D．

2．按照下面3幅图的规律，如果每个圆的直径都是10厘米，那么第10个图形长（    ）厘米。

A．50 B．55 C．95 D．100

3．找规律0.7、（    ）、、。

A． B． C． D．

4．仔细观察图中数的排列规律。照这样排下去，处在（6，4）位置的数是（    ）。

A．30 B．33

C．39 D．40

5．如图，用同样的小棒摆正方形，照这样的摆法，摆第n个图形需要小棒（    ）根。

A．4n B．4n＋1 C．4n－1 D．3n＋1

6．1，，，…这一列数中，第6个数应该是（    ）。

A． B． C． D．

7．将整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2023应排在第几行；第几列，（    ）。

A．第673行第1列 B．第673行第4列 C．第675行第4列 D．第675行第1列

8．下列图形都是由大小相同的黑点按一定规律组成的，第1个图中有1个黑点，第2个图中有5个黑点，第4个图中有13个黑点，按此规律排列第16个图中有（    ）个黑点。

A．51 B．61 C．55 D．65

二、填空题

9．某地新冠疫情自3月8日发现第一例阳性病例开始，到5月16日实现社会面清零结束（头、尾都算），前后经过了(        )天；若3月8日是星期二，那么5月16日星期(        )。

10．找规律填数。

1，，，，，(        )，(        )。

11．用小棒以下面的方式摆六边形，摆21个六边形要用小棒(        )根。

12．用若干个棱长为的小正方体，摆成长方体（如图）

按这种方式摆下去，第5个长方体的表面积是(        )，如果摆成的长方体表面积是，那么这个长方体排在第(        )个。

13．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝(        )，1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝(        )。

14．照样子画下去，第n幅图有(        )个小正方形。  

15．如图，第20行的第1个数是(          )。

16．下列图案是按一定的规律排列的，第8个图案中共有(        )个圆，第n个图案中有(        )个圆。

三、判断题

17．如果按“红红黄绿红红黄绿……”的顺序摆一些气球，第35个气球一定是黄色的。(          )

18．1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72。(        )

19．0.9，0.99，0.999，…在这列数中每一项越来越大，越来越接近1。(        )

20．，小数点后第100位上的数是5。(        )

21．……，第103个图形是。(        )

四、计算题

22．计算下面各题。（能简算的要简算）。

23．已知1※3＝1×2×3，4※5＝4×5×6×7×8，请计算。

五、解答题

24．回想一下课本第107页第1题的图（如下图）。照这样，第6个图形最外圈有多少个小正方形呢？请用课本中探索到的规律或者自己探索规律，列算式解答。

25．探索规律，观察下面3题的规律，然后算出（1）（2）。

1＋2＋1＝2×2＝4

1＋2＋3＋2＋1＝3×3＝9

1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16

（1）1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1＝

（2）＋＋＋…＋＋＋1＋＋＋＋＝

26．先分析，再解答。

（1）观察规律，将里的数补充完整。

（2）第6行的第一个数是（    ），最后一个数是（    ）。

（3）你能写出第n行的第一个数与最后一个数分别是多少吗？

27．把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。

（1）像这样继续捆下去，第④组至少需要 厘米的绳子。请说明理由。

（2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要 厘米的绳子。

28．黑洞数又称陷阱数，例如：297，把各数位上的数从小到大排列为279，从大到小排列为972；将972－279＝693；又把693重新排列，大数是963，小数是369，963－369＝594；再把594重新排列，大数是954，小数是459，954－459＝495，重复上述步骤都得到495，我们就把这个495称做“黑洞数”。

根据以上方法你能用1628这个数，推算出四位数的黑洞数吗？

1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353；

7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176；

请你接着推算，四位数的黑洞数应该是多少。

29．聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：

（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。

（______＋______）×（______－______）＝（______）

（2）求下图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“”来计算，明明说也可以用“”来计算。你知道明明是怎么想的吗？

30．下面图形都是由边长0.5厘米的正方形拼成的。

（1）找规律画出图形⑤。

（2）根据前面的图形把表格补充完整。

参考答案：

1．C

【分析】先计算1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1的结果，再分别计算各个选项中算式的结果，依此即可求解。

【详解】1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1

＝（1＋9）＋（3＋7）＋（5＋5）＋＋3＋1

＝10＋10＋10＋3＋1

＝20＋10＋3＋1

＝30＋3＋1

＝33＋1

＝34

A．82＝64，64≠34，不符合题意；

B．42＝16，16≠34，不符合题意；

C．52＋32

＝25＋9

＝34

34＝34，符合题意；

D．52－32

＝25－9

＝16

16≠34，不符合题意。

与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是52＋32。

故答案为：C

【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。

2．B

【分析】观察题意可知，第1个图形长（5＋1×5）厘米，第2个图形长（5＋2×5）厘米，第3个图形长（5＋3×5）厘米，……以此类推，第n个图形长厘米；据此解答。

【详解】第1个图形长10厘米，

第2个图形长15厘米，

第3个图形长20厘米，

……

所以第n个图形长：厘米

当n＝10时，

5＋5×10

＝5＋50

＝55（厘米）

故答案为：B

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。

3．C

【分析】第一个数是0.7，第三个数是＝0.5，第四个数是＝0.4；发现规律：后一个数是前一个数减去0.1得到；据此得出第二个数是0.6，再将0.6化成分数即可。

【详解】0.7－0.1＝0.6

0.6＝

规律：0.7、、、。

故答案为：C

【点睛】本题考查找规律以及分数、小数的互化，先把分数化成小数，即可找出数字排列的规律。

4．B

【分析】第一行依次是1、4、9、16，即相邻自然数的平方；

第二行依次是2、3、8、15；

第三行依次是5、6、7、14；

第四行依次是10、11、12、13；

则第6列第1行是6的平方：36；

由此可得：25的上面的数依次是：24、23、22、21，

36的上面的数依次是：35、34、33、32、31，

再根据数字循环往复排列的规律可得：（6，4）位置的数是33。

【详解】由分析得：处在（6，4）位置的数是33。

故答案为：B

【点睛】充分读懂原图，其中第2行往上的数字的排列有其特殊的规律，能够观察到这一点，是解题关键。

5．D

【分析】观察图形可知：1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒，3个小正方形需要1＋3×3根小棒……，由此找出规律解答即可。

【详解】因为1个小正方形需要1＋1×3根小棒，2个小正方形需要1＋2×3根小棒，

3个小正方形需要1＋3×3根小棒……所以n个小正方形需要（3n＋1）根小棒。

故答案为：D

【点睛】根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。

6．D

【分析】观察可知，这列数字的分子均为1，第几个数用n表示，第n个分数的分母是前一个分数的分母的（2n－2）倍，据此分析。

【详解】48×（2×5－2）

＝48×（10－2）

＝48×8

＝384

384×（2×6－2）

＝384×（12－2）

＝384×10

＝3840

第6个数应该是。

故答案为：D

【点睛】寻找数字排列中的规律，平时要注重多积累，培养数感。

7．D

【分析】观察表格数据，发现其中规律：每一行有三个数，其中单数行数据从左到右逐渐增大，双数行数据从右到左逐渐增大；每2行有6个数字，从1开始每相邻的6个数字为1个周期，用数2023÷6，商即可算出有几个周期，用周期数乘2，即可求出数2023前面有几行，而数2023在下一行，最后用余数判断在周期的哪个数字即可。

【详解】2023÷6＝337……1

337×2＝674

674＋1＝675

说明数2023应排在第675行第1列。

故答案为：D

【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。

8．B

【分析】第1个图有1个小黑点，可写成：4×1－3；第2个图有5个黑点，可写成：4×2－3；第3个图有9个小黑点，可写成：4×3－3；…由此可以推理得出一般规律解答问题。

【详解】根据分析可知：第1个图有小黑点数量：4×1－3；

第2个图有小黑点的数量：4×2－3；

第3个图有小黑点的数量：4×3－3；

……

第n个图有小黑点的数量：4n－3

当n＝16时；

4×16－3

＝64－3

＝61（个）

下列图形都是由大小相同的黑点按一定规律组成的，第1个图中有1个黑点，第2个图中有5个黑点，第4个图中有13个黑点，按此规律排列第16个图中有61个小黑点。

故答案为：B

【点睛】根据题干中已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键。

9．     70     二

【分析】用每个月结束的日期减去开始的日期，求出经过的天数，每月的天数相加之后再加上开头的一天，计算即可。天数除以7求出经过了多少周，若有余数再根据余数推算。

【详解】

（天

（周）

前后经过了70天；若3月8日是星期二，那么5月16日星期二。

【点睛】解答此题的关键是掌握日期推算的方法。

10．         

【分析】分子依次加4；分母依次为1的平方，2的平方，3的平方，4的平方，5的平方，6的平方，7的平方。

【详解】根据分子的规律：1＋4＝5、5＋4＝9、13＋4＝17，因此后面两个分数的分子分别为：17＋4＝21、21＋4＝25；

分母分别为：22＝4、32＝9、42＝16、52＝25，因此后面两个分数的分母分别为：62＝36、72＝49；

两个分数为：，；

因此，按规律填空：，，，，，。

【点睛】通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。

11．106

【分析】根据图示发现：摆1个六边形需要小棒：6根；摆2个六边形需要小棒（6＋5）根；摆3个六边形需要小棒（6＋5＋5）根；……摆n个六边形需要小棒的根数是6＋5（n－1）。据此解答。

【详解】根据分析可知，摆n个六边形需要小棒：

6＋5（n－1）

＝6＋5n－5

＝（5n＋1）根

当n＝21时，

21×5＋1

＝105＋1

＝106（根）

摆21个六边形要用小棒106根。

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。

12．     22     10

【分析】小正方体的一个面的面积是，先数一数前三个图形的表面积由几个小正方体的面组成，根据面数发现规律，做出推断即可。

【详解】每个小正方形的面积为：

第一个图形表面积是6个小正方形，第二个图形的表面积是10个小正方形，第三个图形的表面积是14个小正方形；

可以发现：每增加一个小立方体，增加4个小正方形的面积，

第个图形有：（个）小正方形的面积，

第五个图形的表面积：

＝（20＋2）×1

解：

第5个长方体的表面积是，如果摆成的长方体表面积是，那么这个长方体排在第10个。

【点睛】本题主要考查了数与形结合的规律，根据图形得出一列数据，然后根据数据的规律得出图形的规律，是本题解题的关键。

13．     121     41

【分析】观察算式，每相邻两个加数都相差2，发现：

2个加数的和：1＋3＝4＝22

3个加数的和：1＋3＋5＝9＝32

4个加数的和：1＋3＋5＋7＝16＝42

……

规律：n个加数的和＝n2

据此规律解答。

观察算式可得，算式为连续的奇数相加求和，对于像1，3，5这样的连续奇数求和，首尾两数之和等于中间的数的2倍，以此类推。由此解答即可。

【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝112＝121

1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1

＝（1＋9）＋（3＋7）＋5＋（5＋3）＋（7＋1）

＝（2×5＋2×5＋1×5）＋（2×4＋2×4）

＝5×5＋4×4

＝25＋16

＝41

【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。

14．n2

【分析】根据题意可知，第一幅有1个小正方形，可以写成1＝12

第二幅有4个小正方形，可以写成4＝22；

第三幅有9个小正方形，可以写成9＝32

……

第n幅有n2小正方形，据此解答。

【详解】根据分析可知，照样子画下去，第n幅图有n2个小正方形。

【点睛】分析图形找基本图案增加个数和图案序数之间的关系是解答本题的关键。

15．191

【分析】观察可知，第几行就有几个数，每行第一个数之间的规律为：1247……，加数一个比一个大1，1到20之间共有（20－1）个加数，据此算出第20行的第1个数即可。

【详解】1＋1＋2＋3＋4＋5＋6……＋18＋19

＝1＋（1＋19）×19÷2

＝1＋20×19÷2

＝1＋190

＝191

第20行的第1个数是191。

【点睛】关键是观察每行第一个数之间的规律，找出规律进行计算。

16．     81     n2＋2n＋1

【分析】观察题意可知，第1个图案的白圆有1个，第2个图案的白圆有（2×2）个，第3个图案的白圆有（3×3）个，……以此类推，第n个图案的白圆有n2个；第1个图案的黑圆有（1＋2）个，第2个图案的黑圆有（1＋2＋2）个，第3个图案的黑圆有（1＋2＋2＋2）个，……以此类推，第n个图案的黑圆有（1＋2n）个，所以第n个图案共有（n2＋2n＋1）个圆。据此解答。

【详解】第1个图案的白圆个数：1＝1×1

第2个图案的白圆个数：4＝2×2

第3个图案的白圆个数：9＝3×3

……

第n个图案的白圆个数：n2＝n×n

第1个图案的黑圆个数：3＝1＋2

第2个图案的黑圆个数：5＝1＋2×2

第3个图案的黑圆个数：7＝1＋2×3

……

第n个图案的黑圆个数：1＋2n

第n个图案的圆总个数：n2＋2n＋1

当n＝8时，

n2＋2n＋1

＝8×8＋8×2＋1

＝64＋16＋1

＝81（个）

第8个图案中共有81个圆，第n个图案中有（n2＋2n＋1）个圆。

【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。

17．√

【分析】根据题意，把“红红黄绿”4个气球看作一个周期，用35除以4，如果商正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果有余数，余数是几，结果就为下一个周期里的第几个。据此解答。

【详解】35÷4＝8……3

下一个周期中的第3个气球是黄色，则第35个气球一定是黄色的。原题说法正确。

故答案为：√

【点睛】本题考查周期问题。确定周期后，用总量除以周期，掌握商、余数与结果的关系是解题的关键。

18．√

【分析】2个加数的和：1＋3＝4＝22；

3个加数的和：1＋3＋5＝9＝32；

4个加数的和：1＋3＋5＋7＝16＝42

……

规律：n个加数的和＝n2；

据此规律解答。

【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72

原题计算正确。

故答案为：√

【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。

19．√

【分析】观察这列数，后面的数比前一位多一位小数，并且多的位数上是9。所以这列数是无限扩大的，并无限靠近1的。据此解题。

【详解】根据分析得，0.9，0.99，0.999，…在这列数中每一项越来越大，越来越接近1。这种说法是正确的。

故答案为：√

【点睛】本题考查了数字排列的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。

20．×

【分析】把一个循环节看作一个周期，一个循环节里面有6个数字，用除法求出100里面有多少个完整的循环节，余数是几，就从完整循环节的第一个数字往后数出第几位上面的数字，据此解答。

【详解】分析可知，循环节里面有6个数字。

100÷6＝16……4

从左往右循环节的第4位上面的数字是8。

所以，小数点后第100位上的数是8。

故答案为：×

【点睛】求出循环节的数字个数，再根据有余数除法的应用是解答题目的关键。

21．×

【分析】每4个图形一循环，计算第103个图形是第几组循环零几个图形，即可得出其形状，进而判断即可。

【详解】103÷4＝25（组）……3（个）

第103个图形是。所以原题说法错误。

故答案为：×。

【点睛】解答此题的关键是先找到规律，再根据规律求解。

22．；4000；

【分析】（1）先算第一个括号里面的除法和第二括号里面的减法，再算第一个括号里面的减法，最后算括号外面的乘法；

（2）根据乘法交换律a×b＝b×a，乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算；

（3）发现规律：，，……，，根据此规律改写算式，然后根据减法的性质a－（b－c）＝a－b＋c进行简算。

【详解】（1）

（2）

（3）

23．

【分析】根据给出的算式得出n※m表示从n开始，连续乘m－1个n后面的数，总共是m个数；由此先根据此运算方法得到的值，再计算除法。

【详解】

＝

＝

＝

24．48个

【分析】第1个图，外圈边长是3个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是1，最外圈小正方形的个数：32－12＝9－1＝8（个）；

第2个图，外圈边长是5个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是3，最外圈小正方形的个数：52－32＝25－9＝16（个）；

第3个图，外圈边长是7个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是5，最外圈小正方形的个数：72－52＝49－25＝24（个）；

……

第n个图，外圈边长是（2n＋1）个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是（2n－1），最外圈小正方形的个数：（2n＋1）2－（2n－1）2；

【详解】根据分析，第6个图，外圈边长是13个，比外圈小1圈的一边正方形的个数是11，

132－112

＝169－121

＝48（个）

答：第6个图形最外圈有48个小正方形。

【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够观察内外圈边上的数量的关系再找规律。

25．（1）10000

（2）13

【分析】（1）从1开始的连续自然数相加，加到某一个数值后，再依次减少1，相加到1，则每个算式的值都是前面加数中最大数的平方；

（2）将原式化为（1＋2＋3＋4＋……13＋12＋…＋1）×，括号中运用（1）中规律，进而得出结果。

【详解】（1）1＋2＋3＋…＋99＋100＋99＋…＋3＋2＋1

＝100×100

＝10000

（2）（1＋2＋3＋4＋……13＋12＋…＋1）×

＝13×13×

＝13

26．（1）9；18；27；36；45；

（2）11；66；

（3）2n－1；2n2－n

【分析】（1）1＋2＝3，3＋2＝5，5＋2＝7，所以第5行的第一个数等于7＋2，然后用第一个数分别乘2、3、4、5，即可求出这一行剩余的四个数，把数补充到图形中即可。

（2）同样，第5行的第一个数9加上2，等于第6行的第一个数，再用第6行的第一个数乘6，即可求出这一行的最后一个数。

（3）这个图形从上往下每行的第一个数依次加2，每行的数规律是从左向右为这一行第一个数分别乘2，乘3，乘3⋯⋯，第一行第1个数是1，第二行第1个数是1＋2，第三行第1个数是1＋2×2，依次类推，第n行的第一个数是1＋2×（n－1），第n行有n个数，最后一个数用第一个数乘n，即可得解。

【详解】（1）7＋2＝9

9×2＝18

9×3＝27

9×4＝36

9×5＝45

如图：

（2）9＋2＝11

11×6＝66

即第6行的第一个数是11，最后一个数是66。

（3）根据分析得，第n行的第一个数是：

1＋2×（n－1）

＝1＋2n－2

＝2n－1

（2n－1）×n

＝2n2－n

答：第n行的第一个数是2n－1，最后一个数是2n2－n。

【点睛】此题的解题关键是找出横排和竖排中数字排列的规律，平时要注重多积累，培养数感。

27．（1）57.42，理由见详解

（2）（9.42＋12n）

【分析】如下图所示，第1组中，四个角落为4个的圆，其可以组成一个完整的圆，可以算出一个圆的周长，其次在两个圆中间的部分，其长度是由两个圆的半径组成，则可以组成为一个直径，图中有4条边，那么共有4条直径，则周长为：一个圆的周长＋4条直径的长度；

第2组与第1组的区别为每边中间多了一个圆，即每条边多了一条直径，则比第一组多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋8条直径的长度

第3组与第2组比较，每条边又多了1个圆，则周长比第2组又多了4条直径，则周长为：一个圆的周长＋12条直径的长度；

由以上分析可得，每增加一组都会增加4条直径，第1组为4条直径，第2组为2×4条直径，第3组为3×4条直径，由此规律可得第n组为n×4条直径，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋4n条直径的长度，已知一个圆的直径为3厘米，则可以推算出第n组的周长为：一个圆的周长＋3×4n，即一个圆的周长＋12n，据此即可解答。

【详解】（1）理由：

第①组：3×3.14＋12×1

＝9.42＋12

＝21.42（厘米）

第②组

3×3.14＋12×2

＝9.42＋24

＝33.42（厘米）

第③组

3×3.14＋12×3

＝9.42＋36

＝45.42（厘米）

第④组

3×3.14＋12×4

＝9.42＋48

＝57.42（厘米）

（2）3×3.14＋3×4×n

＝（9.42＋12n）厘米

【点睛】此题难度较大，找到图中每增加一组与增加直径的关系为解题的关键。

28．6174

【分析】观察例子可知：任意一个四位数，把各个数位上的数按从大到小排列，组成一个新数，再按从小到大排列组成另一个新数，这两个数相减，得到的差再按上面的步骤做，若干次后，得到的差始终是某个数，那么这个数就是四位数的黑洞数。

【详解】1628重排，大数是8621，小数是1268，8621－1268＝7353；

7353重排，大数是7533，小数是3357，7533－3357＝4176；

4176重排，大数是7641，小数是1467，7641－1467＝6174；

6174重排，大数是7641，小数是1467，7641－1467＝6174；

重复上述步骤都得到6174，所以6174是四位数的黑洞数。

答：四位数的黑洞数应该是6174。

【点睛】读懂题意，按照例子给出的方法操作是解题的关键。

29．（1）

（2）见详解

【分析】（1）观察发现，等号左边是两个数的平方之差，右边是这两个数的和与这两个数的差的乘积，所以也可以写成15与5的和乘15与5的差。

（2）大正方形的面积是，小正方形的面积是，表示阴影部分的面积，如图，将阴影部分进行分割，拼接成长是，宽是的长方形，由于面积不变，所以。

【详解】（1）

（2）如图所示：

所以

【点睛】本题考查的是平方差公式，数形结合的方法是证明平方差公式最常用的方法。

30．（1）见详解

（2）面积：2.5、3.75。

周长：8、10。

【分析】（1）观察图形可知，第一个图形有1列有1个正方形，第二个图形有2列，第2列有2个正方形，第三个图形有3列，第3列有3个正方形⋯⋯所以第五个图形有5列，第5列有5个正方形；

（2）一个正方形的边长是0.5厘米，一个正方形的面积是0.5×0.5＝0.25平方厘米，然后用一个正方形的面积乘正方形的个数即可；通过平移可知求图形4和图形5的周长即求边长是0.5×4＝2厘米和0.5×5＝2.5厘米正方形的周长。

【详解】（1）图形⑤如图所示：

（2）第④图形的面积为：0.5×0.5×10＝2.5（平方厘米）

周长是：0.5×4×4＝8（厘米）

第⑤图形的面积为：

0.5×0.5×15

＝0.25×15

＝3.75（平方厘米）

0.5×5×4

＝2.5×4

＝10（厘米）

【点睛】本题考查图形的周长和面积，明确面积和周长的定义是解题的关键。