最新小升初数学讲通练透 【小升初提高版】第14讲 平面图形的认识与测量

备考小升初数学的四大复习攻略

小升初数学考试有以下几个特点：时间短，题目多，计算量大，考得很灵活。在备考时，必须要严格按照以下四步给孩子进行辅导：夯实基础；提高拓展；精做精练；查漏补缺。

1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。

2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练，做到知识点之间能够融会贯通。

3、精做精练。精选几套模拟试题，其中包括历年联考试题。

4、查漏补缺。订正比做题更重要，对比错解和订正后的正确过程，就能发现错误的原因。

提高版（通用）

小升初数学讲通练透讲义

第14讲 平面图形的认识与测量

知识点一：线和角的认识

1.线段、直线、射线的特点

(1)线段有两个端点,可以度量长度;射线只有一个端点,它可以向一端无限延伸,不可以度量长度;直线　没有　端点,它可以向两端无限延伸,不能度量长度。 

(2)两点之间线段最短。 

2.垂直与平行

(1)同一平面内,两条直线的位置关系是平行和相交　。如果两条直线相交成　直角　,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。过直线外一点只能画一条已知直线的垂线。 

(2)平行线之间的距离处处相等;点到直线的所有连线中,垂线段最短。

3.角

(1) 由一点出发的两条射线组成的图形叫角;角的大小与两边的画出的长短　无关,与两边张开的大小有关。 

(2)角的分类

知识点二：三角形的认识与测量

1.三角形的认识

(1)三角形的特殊性质:三角形具有稳定性　。 

(2)三角形三边关系:在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

(3)三角形的分类:三角形按角分,分为　锐角三角形、直角三角形和钝角　三角形;按边分,分为特殊三角形和一般三角形。等腰三角形和等边三角形是特殊三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。 

(4)三角形的内角和是（  180° )

2.三角形的面积

两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形,这个平行四边形的底就是三角形的底,所拼成平行四边形的高就是三角形的高。每个三角形的面积是所拼成平行四边形面积的一半。因为平行高四边形的面积=底×高　,所以三角形的面积=　底×高　,用字母表示为: S=ah  。

知识点三：四边形的认识与测量

1.四边形的认识

(1)四边形的特殊性质:不稳定,易变形　 。 

(2)平行四边形两组对边分别平行且相等,梯形只有一组对边　平行　。

2.四边形的测量

(1)平行四边形的面积:平行四边形可以割补成一个长方形,这个长方形的长就是平行四边形的底　,这个长方形的宽就是平行四边形的高　,长方形的面积=长×宽,因此平行四边形的面积=底×高　,用字母表示为: S=ah　。

(2)梯形的面积:两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底是原梯形的上底与下底之和,这个平行四边形的高是原梯形的高　。所拼成的平行四边形的面积就是（上底+下底）×高　,而原来的一个梯形的面积是拼成平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=　(上底+下底)×高÷2　,用字母表示为:　S=(a+b)×h÷2　。

一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)

1．有五根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条拼成一个三角形，一共可以拼成（　　）不同的三角形。 

A．一种 B．两种 C．三种 D．四种

2．（2021·盐田）下图，一个三角形被纸板遮住了两个角，露出的角是锐角，以下说法正确的是（　　）。

A．这是一个锐角三角形 B．这是一个钝角三角形

C．这是一个直角三角形 D．无法判断

3．（2021·牡丹）一个三角形中其中一个角是46°，这个三角形的形状是（　　）三角形。 

A．钝角 B．直角 C．锐角 D．无法确定

4．一个立体图形，从正面看是 ，从上面看是 ，搭成这个立体图形最少需要（　　）个小正方体。

A．4 B．5 C．6 D．7

5．从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有（　　）  

A．1次 B．2次 C．3次 D．4次

二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)

6．一个三角形中，最大的角是78°，则这是一个锐角三角形。

7．（2020六上·南山期中）从上面看 的形状是 （　　）。

8．（2020·汉川）三根分别长25cm，25cm，9cm的小棒不能围成一个三角形。（　　）

9．（2019六上·青羊期末）一堆积木从正面看是 ，从左面看是 ，至少需要5个小方块。（　　）

10．（2020·济源）同一平面内的两条直线不是垂直就是平行。（　　）  

三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共13分)

11．（2021六上·郯城期中）一个等腰三角形的顶角和一个底角的度数比是1：2，那么顶角是　     　度。

12．用一些1立方厘米的小正方体摆成一个物体，从前面、右面和上面看到的形状如图，这个物体的表面积是　     　平方厘米，体积是　     　立方厘米。

13．（2021·合肥）已知等腰三角形三边的长分别是4x-2， x+1，15-6x ，则等腰三角形的周长是　     　 。

14．（2021·牡丹）任何一个三角形，最少有　     　个锐角，最多有　     　个钝角。

15．数一数，图（1）中有　     　个角，图（2）中有　     　个长方形。

16．（2021·宝安）一个立体图形从上面看是 ，从左面看是 ，要搭成这样的立体图形，至少要用　     　个小正方体，最多可以用　     　个小正方体。

17．（2021·泗洪）有两个长方形按图1放置，现在将这两个长方形同时向左右方向平移至图2每个长方形的移动速度都为2厘米/秒。请问这个长方形长　     　厘米，这个平移过程需要　     　秒。

18．如图，四边形ABCD是一个梯形，由三个直角三角形拼成，它的面积是　     　cm2。

四、综合提升(共2题；共7分)

19．（4分）（2021六下·荔浦期中）

（1）指针从“1”绕点O顺时针方向旋转90°后指向　     　。

（2）指针从“1”绕点O逆时针方向旋转　     　°后指向10。

20．（3分）（2020·浑南）观察下面用4个正方体搭成的图形，并填一填。

（1）从正面看到的图形是 的有　     　。

（2）从侧面看到的图形是 的有　     　。

（3）从上面看到的图形 的有　     　。

五、解答问题(共8题；共60分)

21．（4分）如图，A为草地，B为帐篷。牧马人在A处牧马，先牵马到河边饮水，然后再回到帐篷。请你帮他确定这一活动的最短路线。

22．（4分）（2021六上·济南期末）小学阶段学过的四边形有哪些？请画图表示出它们之间的关系．

23．（9分）（2020·泉州）下面是学校平面图的一部分，其中地下有一根水管经过A点，并与图中的下水道平行。
 

（1）（3分）请在图中画一条直线用来表示这根水管。

（2）（3分）图中A点有一个水龙头，现在要从此处挖一条排水 沟连接到下水道，应怎样挖才能使其长度最短？（请在图中画一条线段用来表示排水沟）

（3）（3分）请你量一量，算一算，你设计的这条排水沟的实际长度是多少米?

24．（15分）（2020·海安）下图每个小方格表示1平方厘米，根据要求作图并在横线上填上合适的答案。

（1）用数对表示圆A的圆心O1的位置是（　     　，　     　），圆A要先向　     　平移　     　格，再向　     　平移　     　格才能和圆B重合。

（2）（3分）D点在圆心O2的北偏西30°方向2厘米处，请在图中表示出它的位置。  

（3）（3分）将图中的三角形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。  

（4）（3分）画出图形C的另一半，使它沿所给的对称轴对折后，两边完全重合。这个图形C有（　　）条对称轴。  

25．（5分）（2013·郑州）工厂里生产了一批长方体的包装箱，长0.6米，宽0.4米，高0.5米，要用一辆卡车把他们拉走，这辆卡车厢的底面积是7.2平方分米，且只能码两层，问最多可以装多少个包装箱？

26．（5分）将一副三角板如图所示放置，那么∠1是多少度？ 

27．（8分）如图，点P是线段AB的中点，点C，D把线段AB三等分。

（1）（4分）数一数，一共有多少条线段？

（2）（4分）你能说明线段CP=DP吗？

28．（10分）（2020·许昌）请按要求完成下面的操作。

（1）（3分）画出圆形向上平移5格后的图形，平移后圆心的位置用数对表示是（　　）。  

（2）（3分）过B点作直线a的垂线，点B到直线a的距离是______。

（3）（4分）以P点为顶点画一个直角三角形，然后将它绕P点顺时针旋转90°。 

答案教师版

1．【答案】C

【完整解答】解：2厘米、3厘米、4厘米一种，3厘米、4厘米、5厘米一种，2厘米、4厘米、5厘米一种，共3个。
故答案为：C。
【思路引导】判断能不能围成三角形的方法：三角形两条短边之和必须大于第三边。

2．【答案】D

【完整解答】解：无法判断这个三角形是什么三角形。
故答案为：D。
【思路引导】要判断一个三角形是什么三角形，必须知道最大的角是什么角，而本题中只说一个三角形被纸板遮住了两个角，露出的角是锐角，没有告诉我们露出的角是否是最大的角，所以无法判断这个三角形是什么三角形。

3．【答案】D

【完整解答】解：无法确定三角形的形状。
故答案为：D。

【思路引导】当三角形已知其中2角的度数时，才能确定三角形的形状。

4．【答案】B

【完整解答】解： 一个立体图形，从正面看是 ，从上面看是 ，搭成这个立体图形最少需要5个小正方体。

故答案为：B。
【思路引导】 从正面看是4个小正方形，说明从正面看是由4个小正方体组成的，分为两列，左右两列各2个小正方体；从上面看到的是3个小正方形，说明从上面看有两行，上面一行至少有1个小正方体（位于右侧），即可得出这个立体图形至少需要4+1个小正方体。

5．【答案】B

【完整解答】解：从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有2次。
故答案为：B。
【思路引导】时针和分针成直角的情况有两种，即夹角是90°或夹角是270°。

6．【答案】（1）正

【完整解答】 一个三角形中，最大的角是78°，则这是一个锐角三角形，此题说法正确。
故答案为：正确。
【思路引导】三角形的内角和是180°，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此判断。

7．【答案】（1）错误

【完整解答】解：从上面看的形状是。
故答案为：错误。
【思路引导】这个立体图形从上面看，是两行正方形，上面一行是3个正方形排成的一行，下面一行是1个正方形，排在第一行最左边正方形的下面。

8．【答案】（1）错误

【完整解答】解：三根分别长25cm，25cm，9cm的小棒能围成一个三角形。原题说法错误。
故答案为：错误。

【思路引导】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边的关系判断即可。

9．【答案】（1）错误

【完整解答】解：一堆积木从正面看是 ，从左面看是 ，至少需要3个小方块。原题说法错误。
故答案为：错误。
【思路引导】根据从左面看到的图形可知，这堆积木共2排，后排中间1个，前排左右各1个，所以至少需要3个小方块。

10．【答案】（1）错误

【完整解答】解：同一平面内的两条直线不是相交就是平行，所以原题干说法错误。
故答案为：错误。
【思路引导】在同一平面内两条直线的位置关系只有两种，即平行或相交，垂直只是相交的一种特殊情况。

11．【答案】36

【完整解答】解：顶角的度数=180°×
=180°×
=36°。
故答案为：36。
【思路引导】等腰三角形的两个底角相等，所以底角所占的份数相同，所以等腰三角形的顶角和两个底角的度数比为1：2：2，再根据顶角的度数=三角形内角和度数×，代入数值计算即可。

12．【答案】18；4

【完整解答】4×6-6
=24-6
=18（个）
1×1×18
=1×18
=18（平方厘米）
1×1×1×4
=1×4
=4（立方厘米）
故答案为：18；4。
【思路引导】根据从前面、右面和上面看到的形状，可以得到这个组合体是由4个小正方体拼成的，有6个面会重合，先求出4个小正方体的表面积和，再减去重合的面，据此列式解答；
组合体的体积=每个小正方体的体积×个数，据此列式解答。

13．【答案】12.3

【完整解答】（1）若4x-2=x+1，则x=1，三角形的三边为2，2，9，三角形两边之和小于第三边，不能围城三角形；
（2）若4x-2 = 15-6x ，则x=1.7，三角形的三边为4.8，2.7，4.8，三角形两边之和大于第三边，能围城三角形；
（3）若x+1= 15-6x ，则x=2，三角形的三边为6，3，6，三角形两边之和等于第三边，不能围城三角形；
所以周长是：4.8+2.7+4.8=12.3。
故答案为：12.3。
【思路引导】 已知等腰三角形三边的长分别是4x-2， x+1，15-6x ， 令其中一边长为底边长，则另外两边相等，据此列出方程求出x的值，从而确定三边长，再根据三角形三边的关系“三角形两边之和大于第三边”，判断能否组成三角形，据此即可解答。

14．【答案】2；1

【完整解答】解：任何一个三角形，最少有2个锐角，最多有1个钝角。
故答案为：2；1。

【思路引导】锐角三角形的3个角都是锐角，直角三角形有2个角是锐角，钝角三角形有1个角是钝角，2个角是锐角，据此作答即可。

15．【答案】15；36

【完整解答】（1）
5+4+3+2+1=15（个）；
（2）
9+12+6+4+4+1=36（个）
【思路引导】（1）此题主要考查了组合图形的计数，先数单独一个的角，有5个，再数两个角组合的角有4个，接着数3个角组合的角有3个，再数4个角组合的角有2个，最后数5个角组合的角有1个，将所有的个数相加即可；
（2）先数得到一个的长方形有9个，再数两个长方形组合的长方形有12个，接着数3个长方形组合的长方形有6个，再数4个长方形组合的长方形有4个，然后数6个长方形组合的长方形有4个，最后数9个长方形组合的长方形有1个，最后将所有的个数相加即可。

16．【答案】6；9

【完整解答】解：要搭成这样的立体图形，至少要用6个小正方体，最多可以用：
6＋3=9（个）
故答案为：6；9。
【思路引导】这个立体图形至少需要6个小正方体：下面一层的前排4个小正方体，后排一个正方体和前排的右侧对齐；上面一层的一个小正方体可以在前排4个小正方体的任意一个的上面；
这个立体图形最多需要9个小正方体：下面一层的前排4个小正方体，后排一个正方体和前排的右侧对齐；上面一层的4个小正方体在前排4个小正方体的上面。

17．【答案】48；18

【完整解答】解：第一问：84÷7=12（厘米），长：12×4=48（厘米）；
第二问：12×3÷2÷2=9（秒）。
故答案为：48；18。
【思路引导】第一问：根据第一个长方形可知，把一个长方形平均分成4份，重叠部分是1份，所以84厘米就相当于7份的长度，用84除以7即可求出1份的长度，用一份的长度乘4即可求出一个长方形的长；
第二问：两个长方形一共平移了3份的长度，也就是（12×3）厘米，用平移的长度先除以每秒平移的长度。因为两个长方形同时向左右方向平移，所以再除以2即可求出平移的时间。

18．【答案】8

【完整解答】如图，进行点标注：

观察图形可得梯形是一个直角梯形，上底为AB，下底为CD，高为BC=BE+CE。
因为∠DEC=45°，∠EAB=45°，∠DCE=90°，∠ABE=90°，
所以∠CDE=45°，∠AEB=45°，
所以DC=CE=2.4cm，AB=BE=1.6cm。
所以梯形的面积=（1.6+2.4）×（1.6+2.4）÷2=4×4÷2=8（cm2）。
故答案为：8。
【思路引导】对图形中三角形的另一个顶点标记为E，根据三角形的内角和为180°，以及题中已知的角，可得出∠CDE=45°，∠AEB=45°，即可判断出△DCE和△ABE为等腰直角三角形，可得出DC=CE，AB=BE，观察图形可得梯形上底为AB，下底为CD，高为BC=BE+CE，再根据梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，代入数值计算即可。

19．【答案】（1）4

（2）90

【完整解答】解：（1）指针从“1”绕点O顺时针方向旋转90°后指向4。
（2）指针从“1”绕点O逆时针方向旋转90°后指向10。
故答案为：（1）4；（2）90。

【思路引导】钟表上相邻两个数字之间的夹角是30°；
（1）指针从“1”绕点O顺时针方向旋转90°后指向数字几，就是1+90°÷30°，计算即可；
（2）指针从“1”逆时针旋转后指向了10，即是经过了3个大格，即可得出旋转的度数。

20．【答案】（1）③

（2）②、⑤

（3）①、④

【完整解答】（1） 从正面看到的图形是 的有③；
（2） 从侧面看到的图形是 的有②、⑤；
（3） 从上面看到的图形 的有①、④。
故答案为：（1）③；（2）②、⑤；（3）①、④。

【思路引导】此题主要考查了观察物体的知识，从不同的方向观察几何体，通常看到的图形是不同的，据此从正面、侧面、上面观察各立体图形，然后根据观察的图形分类即可。

21．【答案】

【思路引导】此题主要考查了最短路线的问题，两点之间线段最短， 作出点A的关于河岸的对称点C，连接CB，交于L于点P，连接AP，则AP+BP是这一活动的最短路线，据此作图。

22．【答案】

【思路引导】学过的四边形有平行四边形、梯形、正方形、长方形、菱形；梯形又包括等腰梯形和直角梯形；正方形是特殊的长方形菱形、长方形、正方形都是特殊的平行四边形。由此画出图形表示这些图形之间的关系即可。

23．【答案】（1）

（2）

（3）解：经过测量A点到下水道的距离是3厘米，如果图上距离1厘米代表实际距离200米，那么这条排水沟的实际长度是：
3×200=600（米）
答：这条排水沟的实际长度是600米。

【思路引导】（1）经过A点作下水道的平行线；
（2）经过A点作下水道的垂线；
（3）每厘米代表的长度200米×数量=实际总长度。

24．【答案】（1）3；2；右；5；上；4

（2）解：

（3）

（4）解：

这个图形C有2条对称轴。

【思路引导】（1）用数对表示位置时，前面一个数表示第几列，后面一个数表示第几行；平移的方向按照上下左右来描述，并且带上格数；
（2）画出D点，在以圆心O2的北偏西30°方向2厘米处，是把圆心O2 和量角器的中心点重合，量出30°的角，画一条2厘米刚好和圆的半径相等的线段；
（3） 作旋转图形的方法：图形的旋转的关键是旋转中心、旋转方向和旋转的角度；画图时先弄清楚旋转的方向和角度，再确定从旋转点出发的两条线段旋转后的位置，这是关键所在，最后画其他的线段即可；
（4）画轴对称图形的方法是：数出或量出图形的关键点到对称轴的距离，在对称轴的另一侧找出关键点的对应点，按照所给图形的顺序连接各点；图形C有2条对称轴。

25．【答案】解：7.2÷(0.5×0.4)×2
=7.2÷0.2×2
=72(个)
答：最多可以装72个包装箱.

【思路引导】要想装的多，就要把最小的面作为底面，也就是长0.5、宽0.4的面作为底面；这样用卡车的底面积除以包装箱最小的面的面积就是每层装的个数，再乘2就是最多能装的个数.

26．【答案】解： 

∠2=180°﹣45°﹣30°

=105°，

因为∠1=∠2，

所以∠1=105°．

答：∠1是105度

【思路引导】如下图，观察图形可知，∠B=45°，∠C=30°，在△ABC中，因为三角形内角和等于180°，所以∠2=180°﹣45°﹣30°，计算求出∠2，因为∠1=∠2，因此求出∠1的度数．本题主要考查了三角板各对应角的度数和三角形内角和等于180°，解题时主要观察图形． 

27．【答案】（1）解：4+3+2+1=10（条）
答：一共有10条线段。

（2）解：因为点P是线段AB的中点，
所以AP=PB，
又因为点C，D把线段AB三等分，
所以AC=DB,
AP-AC=PB-DB
即：CP=DP。

【思路引导】（1）线段的条数=1+2+3+...+（线段上点的个数-1）；

（2）两条相等的线段，减去两条相等的线段，他们的差相等。

28．【答案】（1）解：；
平移后圆心的位置用数对表示是（2，8）。

（2）解：
点B到直线a的距离是=2。

（3）

【思路引导】（1）平移圆时，可以先把圆心平移，然后根据半径的长短画出圆即可；
用数对表示点的位置，这个点在第几行，数对中的第一个数就是几，在第几列，数对中的第二个数就是几；
（2）过一点作已知直线的垂线，把三角尺的一边与边重合，平移三角尺，使得这个点出现在另一条直角边商，沿着这条边画出的线就是垂线，然后标上直角符号即可；
直角三角形斜边的长度=；
（3）将一个图形绕其上面一点顺时针旋转一定的度数，先把这个点连接的边顺时针旋转相同的度数，然后把剩下的边连接起来即可。