最新小升初数学讲通练透 【小升初提高版】第5讲 比和比例

备考小升初数学的四大复习攻略

小升初数学考试有以下几个特点：时间短，题目多，计算量大，考得很灵活。在备考时，必须要严格按照以下四步给孩子进行辅导：夯实基础；提高拓展；精做精练；查漏补缺。

1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。

2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练，做到知识点之间能够融会贯通。

3、精做精练。精选几套模拟试题，其中包括历年联考试题。

4、查漏补缺。订正比做题更重要，对比错解和订正后的正确过程，就能发现错误的原因。

提高版（通用）

小升初数学讲通练透讲义

第5讲 比和比例

知识点一：比

1.比的意义：两个数相除又叫作两个数的比。

2.比的各部分名称及比的读法：

4           ：        5=4÷5=0.8

↓          ↓        ↓       ↓

前项       比号      后项    比值

3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变

4.求比值与化简比

（1）求比值：前项除以后项所得的商是比的结果，叫比值。

同类量的比，其比值没有单位名称; 不同类量的比，其比值有单位名称。例如:

100千米:5时=20千米/时

（2）化简比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。

把两个数的比化成最简整数比的，称为化简比或比的化简。

5.比与分数、除法的关系

关系：比与分数相比，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，比值相当于分数值，比号相当于分数线;比与除法比较，比的前项相当于除法中的被除数，比的后项相当于除法中的除数，比值相当于商，比号相当于除号。

（1）比、分数和除法之间的联系与区别如下表所示:

（2）比的基本性质、分数的基本性质及商不变的规律之间的联系。由比与分数、除法各部分间的关系可知，比的基本性质、分数的基本性质以及商不变的规律三者只是说法不同，其实质是一样的。

6.按比分配:

（1）在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配方法通常叫作按比分配。

（2）按比分配应用题的特征：已知总数量和部分数量的比，求各部分数量。

（3）常用的解题方法有两种：一种是先求总份数，再求各部分量占总量的几分之几，最后求各部分数量；另一种是先求每份是多少，再求几份是多少。

知识点二：比例

1.比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

2.比例的各部分名称：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

3.比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。

4.比和比例的区别

（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。

（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例出有基本性质，它是解比例的依据。
5.解比例: 解比例就是求比例中的未知项，也就是已知比例中的任意三项，就可以求出未知项。解比例的依据是比例的基本性质。

知识点三：正比例和反比例

1.判断正比例和反比例的方法:

（1）分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。

（2）分析两种相关联的量，看它们之间是比值一定还是积一定。

（3）如果是比值一定，就成正比例；如果是积一定，就成反比例；如果比值和积都不是一定的，就不成比例。

2.正比例图像:正比例图像是一条直线。

3.用比例的知识解决实际问题

（1）用比例知识解决的实际问题可分为正比例问题和反比例问题两类。

（2）应用比例知识解决实际问题的一般方法和步骤: ①判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例；②设未知量为x；③列出比例，解比例；④检验并作答。

知识点四：比例尺

1.比例尺的意义

(1)图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。即，

(2)

2.比例尺的分类

(1)数值比例尺：1:200000或，比例尺一般写成前项是1或后项是1的形式

(2)线段比例尺：这种用线段表示的比例尺，叫作线段比例尺

3求图上距离或实际距离：

图上距离=实际距离×比例尺   实际距离=图上距离÷比例尺

一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)

1．一个三角形三个内角的度数比是1：1：2，这个三角形是（　　）。 

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

2．20千克：0.2吨的比值是（　　）。 

A．20：100 B．1 C．10 D．

3．1千克盐溶解在9千克水中，盐与盐水的比是（　　）。 

A．1︰ 9 B．9︰1 C．1︰ 8 D．1︰10

4．《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”的意思是：一尺长的木棒，第一天截取它长度的一半，以后每天都截取它前一天的一半，那么将永远也截取不完。如果按照这种截取方法，那么第3天截取的木棒长度与原来的木棒总长度的比是（　　）。 

A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：8

5．如果甲、乙是两个成反比例的量，那么当甲增加50%时，乙一定会（　　）。 

A．增加50% B．减少  C．减少  D．减少50%

二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)

6．某品牌钟表上需要一个长0.5毫米的零件，设计师将这个零件放大画在图纸上长5厘米，这幅图的比例尺是1∶100。（　　）

7．甲数和乙数的比是2：3，乙数是丙数的 ，则甲、丙两数的比是4：5。（　　）

8．甲、乙、丙三人分一箱水果，若按1：2：3或3：2：5的比分配，则两种分法中，乙分得的一样多。（　　）

9．若大圆与小圆半径的比是2：1，则大圆与小圆面积的比也是2：1。（    ）  

10．从A地到B地，甲要4分钟，乙要5分钟，甲乙的速度比是4：5．（　　）  

三、仔细想，认真填(共9题；每空1分，共14分)

11．把0.12：3.6化成最简单的整数比是　     　，比值是　     　。

12．疫情防控时，一般家用消毒酒精中纯酒精和蒸馏水的比是3：1，现有这种消毒酒精2000毫升，其中有　     　毫升的纯酒精和　     　毫升的蒸馏水。

13．王老师用扇形统计图反映学校的学生和老师情况，表示男生和女生的扇形圆心角度数比是6：5，表示老师的扇形圆心角度数是30°。那么男生的扇形圆心角为　     　。

14．将甲班人数的 调入乙班后，两班人数相等，原来甲、乙两班的人数比是　     　。

15．大壮和二壮弟兄俩各自带了一些钱去新华书店买书，大壮花了20元买了一本《梦幻世界》，正好花掉了自己钱总数的 ，这时大壮钱数的 和二壮钱数的 相等。买书前大壮带了　     　元，二壮带了　     　元，二壮与大壮带的钱数的比是　     　。

16．如图，平行四边形的面积是20平方厘米，图中甲乙丙三个三角形的面积比是　        　。

17．有240人去春游，带队老师想准备一些饮料，商店“优惠告示”写着本店饮料6只空瓶可换1瓶饮料，240人至少买　     　瓶饮料，就能保证每人都喝一瓶。

18．两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是 3：1，另一个瓶中酒精与水的体积之比是 4：1，若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积之比是 　     　 ．

19．如图，大小两个正方形中涂色部分的面积比是3：2，则大小两个正方形的边长比是　     　，面积比是　     　。

四、计算能手(共2题；共17分)

20．（8分）求比值。

（1）0.24：2            （2） ：

（3） ：0.6          （4）1小时40分： 时

21．（9分）在下面的方格图中按要求画图（每个小方格的边长1厘米）。

（1）（3分）画一个长方形，周长是16厘米，长和宽的比是5：3。  

（2）（3分）将所画的长方形的面积按2：3分成两部分，其中一部分涂色或画上斜线。  

（3）（3分）画一个面积是18平方厘米的长方形，长和宽的比是2：1。 

五、解决问题(共10题；共49分)

22．（4分）一个长方形周长480厘米，长与宽的比是5：3，这个长方形的面积是多少平方米？

23．（4分）湖北省图书馆新购进文学类、科普类和故事类图书共8000册，其中 为文学类图书，科普类图书和故事类图书的比为3：1.则新购进的科普类图书和故事类图书分别有多少册？

24．（4分）某天中午六年级同学同时测量了一棵大树和学校旗杆的影长，测量结果是：大树影长3.2米，旗杆影长6米。已知旗杆的高度为15米，这棵大树高多少米？

25．（10分）建筑工地用的混凝土是用水泥、黄沙、石子三种材料按照1∶2∶4搅拌而成的．

（1）（5分）搅拌这种混凝土140吨，需要水泥、黄沙和石子各多少吨？

（2）（5分）现在工地上有水泥7吨，黄沙10吨，石子20吨．如果要把石子全部用完，水泥够不够？够，剩余多少吨？不够，还缺多少吨？

26．（4分）大有家有温室菜地1200 ，其中 种黄瓜，剩下的按7∶5种西红柿和茄子．三种蔬菜各种了多少 . 

27．（5分）如图是斑马和鹿的奔跑情况。

（1）根据图像，鹿奔跑的路程和奔跑时间成　     　比例。斑马奔跑的路程和奔跑时间成　     　比例。

（2）利用图像分析，鹿22分钟大约跑了　     　千米；斑马奔跑20千米大约需要　                 　分钟。

（3）从图像上看，　     　跑得快。

28．（4分）甲、乙两地相距480km。客、货两车分别从甲、乙两地同时相对开出，4小时后相遇。已知客、货两车的速度比是7：5。货车的速度是多少？

29．（4分）两辆汽车同时从相距483km的两地相对开出，3.5时后相遇。己知两辆车都是匀速行驶，且速度比是10：13，两车的速度之差是多少？

30．（5分）学校计划绿化一块240平方米的空地，先划出总面积的种树，剩下的地按4∶3的比种草和种花。种草和种花的面积各是多少平方米？

31．（5分）两个同样的杯子里都装满了糖水。第一个杯子里的糖和水的重量之比是1:9，第二个杯子里的糖和水的重量之比是1:10，把两杯糖水倒入一个大杯子里混合，这时糖和水的重量之比是多少？

答案教师版

1．【答案】D

【完整解答】解：180°×=90°，这是一个等腰直角三角形。
故答案为：D。

【思路引导】三角形有两个角相等，一定是等腰三角形，最大角的度数占三角形内角和的，求出三角形最大角的度数，再确定三角形的类型即可。

2．【答案】D

【完整解答】解：20千克：0.2吨=20千克：200千克=20÷200=。
故答案为：D。

【思路引导】先单位换算，求比值，用比的前项除以比的后项。

3．【答案】D

【完整解答】解：1：（1＋9）=1：10。
故答案为：D。

【思路引导】盐与盐水的比=盐的质量：（盐的质量＋水的质量） 。

4．【答案】D

【完整解答】解：××
=×
=
：1=1：8。
故答案为：D。

【思路引导】第3天截取的木棒长度占总长度的××=；第3天截取的木棒长度与原来的木棒总长度的比 ：1=1：8。

5．【答案】A

【完整解答】解：假设甲×乙=1，1÷（1+50%）=，1-=，所以当甲增加50%时，乙一定会减少。
故答案为：B。
【思路引导】因为甲、乙是两个成反比例，可以假设甲×乙=1，当甲增加50%后，乙缩小到原来的几分之几=1÷（1+甲增加百分之几），解得乙缩小到原来的，所以乙减少1-=。

6．【答案】（1）错误

【完整解答】解：（5×10）：0.5=500：5=100：1
故答案为：错误。
【思路引导】比例尺=图上距离：实际距离。

7．【答案】（1）正

【完整解答】解：甲数和乙数的比是2：3，乙数是丙数的 ，则甲、丙两数的比是2：（3÷）=2：=4：5。原题说法正确。
故答案为：正确。

【思路引导】把甲数看作2，乙数看作3，根据分数除法的意义，用3除以即可求出丙，然后写出甲、丙的比并化成最简整数比即可。

8．【答案】（1）错误

【完整解答】解：，所以两种分法中，乙分的不一样多。原题说法错误。
故答案为：错误。

【思路引导】第一种分法中，乙分的占总数的，第二种分法中，乙分的占总数的，比较两种分法中乙占总数的分率即可确定乙分的是否一样多。

9．【答案】（1）错误

【完整解答】令小圆半径为1，大圆半径为2，面积之比是
（22×π）：（12×π）
=4π：1π
=4：1
故答案为：错误。

【思路引导】根据大圆和小圆的半径之比是2：1，可以把小圆的半径看作1，大圆的半径看作2，再根据圆的面积=πr2，分别求出大圆和小圆面积，再化简比即可。

10．【答案】（1）错误

【完整解答】解：（1÷4）：（1÷5）

＝ ：

＝5：4

答：甲、乙的速度比是5：4。

所以题干的说法是错误的。

故答案为：错误。

【思路引导】把这段路的长度看作单位“1”，先根据速度＝路程÷时间，表示出两人的速度，再求出两人的速度比即可解答．

11．【答案】1：30；

【完整解答】解：0.12：3.6
=12：360
=（12÷12）：（360÷12）
=1：30
1：30=1÷30=
故答案为：1：30；。

【思路引导】化简比的方法：根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，把比化为最简单的整数比；
求比值的方法：用比的前项除以比的后项得到一个数，这个数就是比值。

12．【答案】1500；500

【完整解答】解：2000÷（3+1）=500（毫升），纯酒精：500×3=1500（毫升），蒸馏水：500×1=500（毫升）。
故答案为：1500；500。

【思路引导】用2000除以（3+1）求出每份的量，用每份的量乘3即可求出纯酒精的量，用每份的量乘1即可求出蒸馏水的量。

13．【答案】180度

【完整解答】解：（360°-30°）×
=330°×
=180（度）
故答案为：180度。

【思路引导】用360°减去表示老师的圆心角度数求出剩下圆心角的度数和，表示男生的扇形圆心角度数是二者和的，根据分数乘法的意义求出表示男生的扇形圆心角的度数即可。

14．【答案】4：3

【完整解答】解：甲、乙两班的人数的比是：1：（1--）=1：=4：3。
故答案为：4：3。

【思路引导】甲班人数看作“1”，那么乙班人数就是（1--），由此写出两班的人数比并化成最简整数比即可。

15．【答案】60；45；3：4

【完整解答】解：20÷=60（元）
（60-20）×÷
=40×÷
=30÷
=45（元）
45：60=（45÷15）：（60÷15）=3：4
故答案为：60；45；3：4。

【思路引导】买书前大壮带的钱数=大壮花的钱数÷占的分率；二壮的钱数=（买书前大壮带的钱数-花的钱数） ×÷；然后写出二壮与大壮带的钱数的比是45：60，依据比的基本性质化简比。

16．【答案】2：3：5

【完整解答】解：甲的面积+乙的面积=丙的面积=20÷2=10（平方厘米）；
甲的面积=10×
=10×
=4（平方厘米）；
乙的面积=10×
=10×
=6（平方厘米）；
所以甲的面积：乙的面积：丙的面积=4：6：10
=（4÷2）：（6÷2）：（10÷2）
=2：3：5。
故答案为：2：3：5。
【思路引导】观察图形以及三角形和平行四边形的面积公式可得甲的面积+乙的面积=丙的面积=平行四边形的面积÷2，再观察图形可得甲与乙的高相等，底边比是2：3，根据甲的面积=甲+乙的面积之和×，乙的面积=甲+乙的面积之和×分别计算出甲和乙的面积，再将甲、乙、丙的面积进行相比即可得出答案。

17．【答案】200

【完整解答】解：设240人至少买x瓶饮料，就能保证每人都喝一瓶。
=
6x=240×5
6x=1200
x=1200÷6
x=200。
故答案为：200。
【思路引导】依据至少买饮料的瓶数：春游的总人数=（6-1）：6列比例，解比例。

18．【答案】31：9

【完整解答】解：（）：（）
=：
=31：9
故答案为：31：9。
【思路引导】根据酒精与水的比可知，第一个瓶子中酒精占总量的，水占总量的；然后用同样的方法确定第二个瓶子中酒精和水的含量，然后写出两瓶中酒精与水的比并化成最简整数比即可。

19．【答案】3：2；9：4

【完整解答】解：如图，大小两个正方形中涂色部分的面积比是3：2，则大小两个正方形的边长比是3：2，面积比是：32：22=9：4。
故答案为：3：2；9：4。

【思路引导】大小两个三角形底在一条直线上，对应的高相等，所以两个三角形的面积比就是两个三角形对应底边的比，所以两个正方形边长比是3：2；面积比是边长平方的比。

20．【答案】（1）0.24：2
=0.24÷2

=0.12

（2） ：
= ÷
=

（3） ：0.6
= ÷
= ×
=

（4）1小时40分： 时
=1 时： 时
= ÷
= ×
=

【思路引导】求比值的方法：用比的前项除以比的后项得到商，这个商就是比值。比值可以用分数表示，也可以用小数或整数表示。如果单位不统一，先统一单位，再求比值。

21．【答案】（1）解：长+宽：16÷2=8，5+3=8，长：8×=5（厘米），宽：8×=3（厘米）。
 

（2）解：

（3）

【思路引导】（1）长+宽=周长÷2，长=周长的一半×对应占比，宽=周长的一半×对应占比。
（2）将长方形平均分成5份，取其中2份图上颜色。
（3）18=1×18=2×9=3×6，取符合题意一组，作为长方形的长和宽即可。

22．【答案】解：480÷2=240（厘米）
240×=90（厘米）
240×=150（厘米）
150×90=13500（平方厘米）
答：这个长方形的面积是13500平方厘米。

【思路引导】长方形的长和宽的和=长方形的周长÷2，那么长方形的长=长方形的长和宽的和×，长方形的宽=长方形的长和宽的和×，所以长方形的面积=长×宽。

23．【答案】解：8000×（1-）=6000（册）
6000×=4500（本）
6000-4500=1500（本）
答：新购进的科普类图书有4500本，故事类图书有1500本。

【思路引导】新购进的科普类图书和故事类图书一共有的册数=图书馆一共购书的本数×（1-文学类图书占几分之几），所以新购进的科普类图书有的本数=新购进的科普类图书和故事类图书一共有的册数×，新购进的故事类图书有的本数=新购进的科普类图书和故事类图书一共有的册数×，据此代入数值作答即可。

24．【答案】解：设大树的高是x米，则
3.2：x=6：15
       6x=3.2×15
   6x÷6=3.2×15÷6
          x=8
答：这棵大树高8米。

【思路引导】设大树的高是x米，根据题意可得大树的影长：这棵大树的高度=旗杆的影长：旗杆的高度，代入数值，再根据比例的基本性质即可得出一个方程，求解方程即可得出答案。

25．【答案】（1）20吨,40吨,80吨

（2）够,剩余2吨

【思路引导】(1)根据比确定水泥，黄沙，石子三种材料与总重量比较的占比，然后根据各自的占比，求出它们的重量。
（2）假设10吨黄沙需要水泥x吨，x:10=1:2，解得x=5，7-5=2吨，所以，
够,剩余2吨。

26．【答案】解：黄瓜： ，茄子： ，西红柿：

【完整解答】黄瓜： ，茄子：  （平方米），西红柿：  （平方米）

【思路引导】先求出种植西红柿和茄子的面积，然后根据他们的占比，求出各自的面积。

27．【答案】（1）正；正

（2）18；17（答案不唯一）

（3）斑马

【完整解答】（1） 根据图像，鹿奔跑的路程和奔跑时间成正比例。斑马奔跑的路程和奔跑时间成正比例。

（2） 利用图像分析，鹿22分钟大约跑了18千米；斑马奔跑20千米大约需要17分钟。
（3） 从图像上看，斑马跑得快。
故答案为：（1）正；正；（2）18；17（答案不唯一）；（3）斑马。

【思路引导】（1）观察图像可知，两条线都是通过原点的直线，是正比例图像；

（2）观察图像，根据路程与时间的关系，估算鹿22分钟大约跑了多少千米；斑马奔跑20千米大约需要几分钟；
（3）观察对比可知，从图像上看，斑马跑得快。

28．【答案】解：（480÷4）÷（7＋5）×5
=120÷12×5
=10×5
=50（千米/时）
答：货车的速度50千米/时。

【思路引导】货车的速度=（甲、乙两地相距的路程÷相遇时间）÷总份数×货车占的份数。

29．【答案】解：（483÷3.5）÷（10＋13）
=138÷23
=6（千米/时）
（13-10）×6
=3×6
=18（千米/时）
答：两车的速度之差是18千米/时。

【思路引导】两车的速度之差=平均每份的速度×份数差；其中，平均每份的速度=速度和÷总份数；速度和=路程÷相遇时间。

30．【答案】解：240×（1－）

＝240×

＝140（平方米）

140×＝80（平方米）

140×＝60（平方米）

答：种草的面积是80平方米，种花的面积60平方米。

【思路引导】用总面积乘（1-）求出剩下的面积，然后把剩下的面积按照4：3的比分配后分别求出种草和种花的面积。

31．【答案】解：

【完整解答】答：这时糖和水的重量比是21：199。

【思路引导】第一个杯子糖占总重量的，水占总重量的，用同样的方法表示出第二个杯子糖和水分别占总重量的几分之几。把糖占的分率相加，把水占的分率相加，然后写出糖和水的重量之比即可。