【精品同步】数学同步培优练习八年级下册第二讲 平行四边形（二）（知识梳理+含答案）

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第二讲 平行四边形（二）


研真题 知考向

1.课程目标要求
授课内容
目标层级
1.菱形的判定与性质
理解并掌握
2.正方形的判定与性质
理解并掌握
3.菱形的应用
理解并掌握
4.正方形的应用
理解并掌握
2.实时考向
本讲内容为中考必考内容，一般体现为中等难度的证明题，如果出现在选择题和填空题中，难度不会很大。在校考中，考查的难一点，会出压轴题。
解重点 固根基




基





【知识点一】 菱形

1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2、菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质：
①菱形的四条边相等．
②菱形的对角线互相垂直平分．
③菱形的对角线平分一组对角．
④菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线．
另外，由菱形的性质可以得出：
（1）菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可用对角线乘积的一半来计算．
（2）菱形的对角线把菱形分成四个小的直角三角形．
3、菱形的判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
③四条边相等的四边形是菱形．
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
题型一 菱形的判定与性质

例1、（2020青一八下期末）下列命题是真命题的是( )
A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形 D.对角线垂直的四边形是菱形
变式1、（2020青一八下期中）下列说法中，错误的是( )
A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.菱形的对角线互相垂直 D.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
变式2、（2020中雅八下第三次月考）如图1，已知点、、、分别是矩形各边的中点，则四边形( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形
变式3、如图2，在△中，点D是边上的点（与 B、C 两点不重合），过点 D作DE∥AC，DF∥AB，分别交、于 E、F 两点，下列说法正确的是（ ）
A．若平分，则四边形是菱形 B．若，则四边形是菱形
C．若垂直平分，则四边形是矩形 D．若，则四边形是矩形

图1 图2 图3
例2、（2020长郡八下期中）如图3，菱形中，，则( )
A. B. C. D.
变式1、（2020麓山八下期中）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点在原点，点的坐标为，点的纵坐标是，则菱形的边长为( )
A. B.
C. D.
例3、（2020明德八下期中）如图4，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是( )
A. B. C. D.

图4 图5 图6
例4、（2020师博八下期中）如图5，菱形的对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为__________.
变式1、（2020长郡八下期中）如图6，在菱形中，，对角线，若过点作，垂足为，则的长为__________.
例5、（2020长培八下期中）如图7，在菱形中，点为对角线上一点，且，连接，若，，则( )
A. B. C. D.
例6、（2020广益八上期末）如图8，将两张长为，宽为的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是________.

图7 图8


例7、（2020麓山八下期中）菱形的边长为，，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则( )
A. B.
C. D.

例8、（2020明德八下期末）如图，已知在中，，点是的中点，过点作，，连结、.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积.



变式1、（2020中雅八下期中）如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点.
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)若，求菱形的面积.



变式2、（2020南雅八下期末）如图，在中，、分别是、的中点，，连接交于点.
(1)求证：；
(2)求证：四边形为菱形；
(3)过点作于点，交于点，若，，求的长.

例9、（2020雅境八下入学考）已知：如图，在平行四边形中，、分别是、的中点，、、分别是对角线上的四等分点，顺次连接、、、.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当平行四边形满足_________条件时，四边形是菱形；
(3)若，探究四边形的形状，并说明理由.




例10、（2020湘芙二中八下第一次月考）如图，在菱形，，.动点、分别从点、同时出发，以的速度向点、运动，连接、，取、的中点、，连接、.设运动的时间为.
(1)求证：；
(2)当为何值时，四边形为菱形；
(3)试探究：是否存在某个时刻，使四边形为矩形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.


例11、（2019广益八上期末）(9分)如图，在中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作交BE的延长线于F，连接CF.
(1)求证：；
(2)若，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
(3)在(2)的情况下，如果AD=2且∠ADC=90°，点M在AC线段上移动，当有最小值时，求AM的长度(提示：以D点为原点，AD为y正半轴，DC为x正轴建立平面直角坐标系).



【知识点二】 正方形

1、正方形的定义
四个角相等、四条边也相等的四边形叫作正方形
2、正方形的性质
正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质．
①正方形的四个内角都相等，且都为，四条边都相等．
②正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角．
③正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线．
另外，由正方形的性质可以得出：
（1）正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形．
（2）正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半．
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形，除了定义之外，还可以采用以下方法：
①先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直．
②先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等．
题型二 正方形的判定与性质

例12、（2020雨花区统考八下期末）下列叙述，错误的是( )
A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C.对角线互相平分的四边形是平行四边形
D.对角线相等的四边形是矩形
变式1、（2020明德八下期中）下列是正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )
A.对角相等 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.对边相等
例13、（2020青一八下期中）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，、相交于点，则为( )
A. B. C. D.

变式1、（2020雅境八下入学考）如图8，在正方形的内侧，作等边，则的度数是__________.
例14、（2020长郡八下期中）如图9，在正方形中，点为上一点，与交于点.若，则的度数是( )
A. B. C. D.
变式1、（2020青一八下第一次月考）如图10，正方形的边长为，点在对角线上，且，则的长为__________.

图8 图9 图10
例15、（2020雅实八下第一次月考）我们知道：四边形具有不稳定性.如图11，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为__________.

图11 图12 图13
变式1、（2020广益八上期末）将边长分别为和的两个正方形按如图12的形式的摆放，图中阴影部分的面积为________.
变式2、（2020长郡八下入学考）如图13，在正方形中，，点分别在，上，，，相交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为( )
A. B. C. D.

例16、（2020明德八下期中）如图14，四边形是正方形，在上，已知，，，求________.

图14 图15
例17、 （2020雅实八下入学考）如图15，在边长为4的正方形中，E是边上的一点，且，点Q为对角线上的动点，则△周长的最小值为（　　）
A．5 B．6 C． D．8
例18、（2020师博八下期末）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，点是边上一点(与点、不重合)，射线与的延长线交于点.
(1)求证：；
(2)若，点是的中点，连结、，
①求证：四边形是平行四边形；
②求的长.




例19、（2020广益八下入学考）如图所示，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接，.
(1)求证：；
(2)若点在上，且，连接，求证：.






变式1、（2020长芙八下第一次月考）如图，在正方形中，点、点分别在边、上，，.
(1)若，求的长；
(2)若点在上，且，求证：.




例20、（2020青一八下第一次月考）已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，上，，连接.
(1)当四边形为正方形时，求的长；
(2)当时，求的面积；
(3)求的面积的最小值.






例21、（2020青一八下入学考/2021 青一八上期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.
（1）求证：；
（2）①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长.




例22、（2020长郡八下期末）在正方形中，是内的点，.
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，与交于点，连接，若，试探究线段与之间的等量关系，并说明理由.






例23、（2020麓山八下期中/长培八下第一次月考）已知正方形，点是射线上一动点(不与、重合).连接并延长交直线于点，交于，连接，过点作交于点.
(1)若点在边上，如图
①证明：
②证明：
(2)取中点，，若，正方形边长为，求的长.










勤练习 促掌握

1、（2020中雅八下期中）下列图形分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中不一定是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.、（2020长郡八下入学考）如图，将等边沿射线向右平移到的位置，连接、，则下列结论：
①；②、互相平分；③四边形是菱形；④.其中正确的个数是( )
A. 1 B.
C. D.
3、（2020长郡八下期末）如图1，在菱形中，对角线与相交于点，，，，垂足为点，则________.

图1 图2 图3
4、（2020郡维八下期中）如图2，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是___________.
5、（2020明德八下期末）如图3，正方形边长为，点在边上，交于点，，则的长度是________.
6、（2020长培八下期中）如图4，在菱形中，，，点以的速度沿边由向匀速运动，同时点以的速度沿边由向运动，到达点时两点同时停止运动.设运动时间为秒，当为等边三角形时，的值为____________.
7、（19-20中雅八下入学考）如图5，正方形中，，点在边上，且，将沿对折至，延长交边于点，连接、，下列结论：①；②；③.其中结论正确的是___________.


图4 图5
8、（2020中雅八下第一次月考）已知矩形，把沿翻折，得，，所在的直线交于点，过点作交所在直线于点.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积.






9、（2020中雅八下第三次月考）如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的大小；
(3)在第(2)问的基础上，且，求四边形的面积.








10、（19-20湘一芙蓉八下第一次月考）如图，已知平行四边形中，垂直平分线段连接，.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，，求的长.





11、（2020郡维八下期中）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点(如图).
(1)“试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想；
(2)若正方形的边长为，重叠部分(四边形)的面积为，求旋转的角度.

12、（2020广益八下入学考/2019青一期末）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，、分别是，上的点(点不与端点，重合)，且，连接并取的中点，连接并延长至点，使，连接、、、.
(1)求证：四边形是正方形；
(2)当点在什么位置时，四边形的面积最小？并求出四边形的面积最小值.




















第一讲 平行四边形（一）
例1、 C 变式1、B 例2、（6,3） 例3、B 变式1、A 变式2、C
例4、120 随堂练习：1、D 2、A 3、1 例5、D 变式1、B
例6、（1）略 （2） 例7、A 例8、或
例9、(1)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
即 又∵，且，
在和中， ∴
(2)∵四边形是平行四边形 ∴，
∵， ∴ ∴
∴是等腰直角三角形 ∴
∵ ∴
∴
(3)由(1)得 ∴，
取的中点，连接，如图所示
∵， ∴ ∴
∴
∵，是的中点 ∴
∴ ∴是等腰直角三角形
∴
∴





例10、(1)
如图，作交于点
∵在中，，
∴，
又∵ ∴
(2)、、
当在右侧时，若 则
当在左侧时，若 则
当点在右侧时，若 则
随堂练习：1、C 2、（1）略 （2）48 3、（1）略 （2）
例11、D 变式1、C 例12、C 变式1、B 例13、C 例14、1
例15、3 例16、C 例17、C 变式1、B 变式2、或 例18、C
例19、（1）略 （2）
变式1、（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，， ∴
∵点，分别为，的中点 ∴， ∴
在和中， ∴
(2)解：当时，四边形是矩形；理由如下：
∵， ∴ ∵是的中点 ∴
∴
同理： ∴ ∴
由(1)得： ∴ ∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形
例20、 例21、B
例24、（1）


课后练习
1-6 D D B A B A 7、10 8、22.5° 9、34° 10、①②④
11、(1)证明：∵， ∴
∵四边形是平行四边形 ∴
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴， ∴
∵， ∴
在与中，，，
∴ ∴
∵ ∴

第二讲 平行四边形（二）
例1、B 变式1、D 变式2、C 变式3、A 例2、B 变式1、D 例3、A
例4、24 变式1、 例5、B 例6、17 例7、A 例8、（1）略 （2）
变式1、（1）略 （2）略 （3） 变式2、（1）略 （2）略 （3）
例9、（1） （2）矩形 例10、（1）略 （2） （3）不存在
例11、（1）略 （2）菱形 （3） 例12、D 变式1、C 例13、C 变式1、15°例14、D 变式1、 例15、（，） 变式1、 变式2、D 例16、
例17、B 例18、（1）略 （2）①略 ②
例19、 （1）在正方形中，，，
，，
又，，；
（2），，
又，，
在和中，
，，又由（1）知，，
，又，．
变式1、（1） （2）略

例20、（1）四边形为矩形，四边形为菱形，
，，又，，
，
，，，
四边形为正方形
（2）过作，交延长线于，连接，
，，
，，，
在和中，，，，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2，
因此
（3）设，则由第（2）小题得，，在中，，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为．
例21、（1）证明：是等边三角形，
，．，．
即．又，．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．
②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小．
理由如下：连接，由（1）知，，
，，，是等边三角形．
．．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，，，，
，
，若连接，则，
，，、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，，．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
例22、(1)如图，∵
∴是等边三角形 ∴
∵四边形是正方形 ∴
∴
(2)线段与之间的等量关系是：，理由是：
如图，连接交于
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
∴，
∵ ∴
∵ ∴
∴ ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴
例24、（1）①证明：四边形是正方形，
，，
在和中，，，；
②解：结论：是等腰三角形，
理由：，，，，
，
，，，，
是等腰三角形．
（2）①如图当点在线段上时，连接．
，，，
，，，，，
在中，，．
②当点在线段的延长线上时，连接．
同法可证是的中位线，，
在中，，．
综上所述，的长为7或1．
课后练习：1-2 A D 3、 4、 5、 6、 7、①②③
8、（1）证明：四边形为矩形，，，
根据题意可知，，，，
，，四边形为平行四边形，
又，四边形为菱形；
（2）设菱形的边长为，则，在中，，
即，解得，菱形的面积．
9、(1)证：∵四边形是菱形
∴， 又∵
∴，
∴四边形是平行四边形
(2)∵四边形是平行四边形 ∴ ∴
又∵四边形是菱形 ∴ ∴
(3)过点作交于
∵ ∴
又∵， ∴
∵ ∴
∴
∴，
10、(1)∵四边形是平行四边形 ∴
∴，
∵垂直平分线段 ∴ ∴ ∴
∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形；
(2)如图，过点作于
∵ ∴
∵，
∴
∵四边形是菱形 ∴
∵ ∴ ∴
11、（1）相等，略 （2）30°
12、（1）证明：连接，如图1所示．
为等腰直角三角形，，是的中点，
，．
在和中，，，，．
，，为等腰直角三角形．
为的中点，，，且四边形是正方形；
（2）解：过点作于，如图2所示．
为等腰直角三角形，，，
，，点为的中点，
（点与点重合时取等号）．

当点为线段的中点时，四边形的面积最小，该最小值为9．



第三讲 平行四边形综合
例1、D 变式1、B 例2、C 变式1、B 例3、D 例4、①②④ 变式1、C
变式2、A 变式3、B 变式4、B
例5、（1）证明：如图1，取的中点，连结，，

，，，
，，
，，，，，
为等边三角形，．
（2）①证明：，，，
，，，
，；
②解：此时存在等对边四边形，是四边形．
如图2，作于点，作交延长线于点．

，，，，
，
，，，
，，四边形是等对边四边形．
例6、（1）AB=AD （2）①②④ （3）或
例7、（1）菱形，正方形 （2） （3）连接CG，BE，
例8、（1）如图所示，

四边形是正方形，是对角线，，
，是等腰直角三角形，；
（2）①如图所示，连接、，是等腰直角三角形，，，，
又，，，
，，，，，
，是等腰直角三角形，，即；
②，
如图，连接，，，
又且，，，
四边形是平行四边形，，
，，，
又，，，
则．
例9、







例10、（1）

例11、(1)①，②
理由如下：∵是正方形 ∴，，
又∵ ∴且， ∴
∴， ∴
在中， ∴
(2)如图，连
∵四边形是正方形 ∴，
∵ ∴
即：
又∵ ∴ ∴，
∴ ∴
∴ ∴
∵ ∴
(3)如图连接交于
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵
例12、






例13、



例14、





课后练习：1-3 B C D
4、


5、(1)如图所示
(2)连接
∵是由的顶点按顺时针方向旋转而得
∴，，
∴是等边三角形
∴，
又∵
∴
∴在中，
∴
即四边形是以，为勾股边的勾股四边形
(3)方法1：以为边，向上外补一个等边三角形，证明为直角三角形
方法2：将绕点顺时针旋转，连接，证明为直角三角形
答案：

6、（1）如图1，过点作于点，过点作轴于点，

则，四边形是平行四边形，，，
，，则、，
，，则点坐标为，.



（2）如图2，连接交于点，连接交于点，

由知、，
则，
四边形是平行四边形，且，四边形是菱形，
则、互相垂直平分，点即为所求，，
、，，
，；
（3）、，，

∵平分
∵沿AC翻折得到
∵四边形OABC为平行四边形

在中，


第四讲 函数初步与一次函数
例1、C 例2、C 例3、C 例4、C 变式1、A 变式2、C 变式3、
例5、B 变式1、1例6、2 变式1、 变式2、B 例7、C 变式1、A
例8、B 变式1、 例9、（1）（2） 变式1、（1） （2）
例10、A 例11、A 例12、B 变式1、A 变式2、D 变式3、A 变式4、A 变式5、C
例13、 变式1、 变式2、D 变式3、2或-7 例14、7
例 15、（1）A（-2，0） B（0,4）（2）（2，0）或（-6,0） 变式1、（1）
（2）（2，2）或（-2，-6）
变式2、（1） （2）3 变式3、（1） （2）（，）
例16、（1），（2） （3）（过C点）或或
例17、（1）不是，是 （2）或
课后练习：1-8 C C C C C A C D
9、 10、3 11、3或5 12、（1）P（3，3） （2）， （3）
13、（1） （2） 14、（1） A（-1，0） （2）（，）
15、（1）当时，，
当时，，，；
（2）设，因为点在直线，且, ，
把代入，所以点的坐标是，
因为点在直线上，所以；
（3）设点，则，，
因为，，解得：，则，
所以点的坐标为
第五讲 一次函数与代数综合
例1、D 变式1、B 变式2、B 例2、 变式1、（1） （2）（-2,0）
例3、1 变式1、A 例4、 例5、 变式1、C 例6、D 变式1、A
变式2、C 变式3、A 变式4、D 变式5、C 变式6、（1） （2） （3）
例7、C 变式1、或或 变式2、C 例8、（1）A:0.15元 B：0.2元
（2）① ②A:500 B：1500
变式1、（1） （2）3种 方案1：甲3 乙11 丙6 方案2：甲4 乙8 丙8
方案3：甲5 乙5 丙10 （3）方案2，利润最大为16.44万元
例9、（1） （2）
例10、（1）当时，设与之间的函数关系式为，
当时设与之间的函数关系式为，由题意，得
，，解得：，，

故答案为：，；
（2）当时，设与的关系式为，由题意，得
，解得：，．
当时，，，元．
答：第11天的销售总额为1980元；
（3）由题意，得
当时，千克．元，
利润为：元．
答：当天能赚到112元．
例11、B 变式1、C 变式2、 变式3、（4,2） 变式4、
变式5、（1）令,则
设直线AB的解析式为 将代入得：

（2）设，过点C作CD交AB于点D 则

(3)过点M作ME∥NC，作点E关于x轴对称点,连接,与轴交于点F，即为所求M点
∴MNCE为平行四边形
关于轴对称

设直线解析式为

令，则 （，）
例12、(1) (2) (3)
课后练习：1-4 B A C B 5、 6、 7、 8、 9、
10、(1)根据题意得： 解得：
(2)根据题意得： 化简得
所以，与之间的函数关系式为(本小题可以不考虑自变量取值范围)
(3)根据题意得： 不等式组的解集为 ∴或
设此次物资运费为元， 随的增大而减小
所以，最小
所以飞机安排的方案有种，选择运口罩架，运消毒剂架，运防护服架，运费最小

11、（1） （2）
12、(1)是；不是
(2)将点坐标代入得 ∴ ∴
又∵ ∴或
①当时 联立得： 解得代入得
所以为其本身
②当时 联立得： 解得代入得
所以为另一个点坐标
综上所述，存在其他“绝好点”为
(3)由题意得“绝好点”在函数或图像上
①当在函数上时 解得
代入得
∴为
②当在函数上时 解得
代入得
∴为
∵ ∴，都在第一象限
点关于轴的对称点为
代入点、得 令
解得
∴点为


第六讲 一次函数综合
例1、 （1）（2）（3）（4）
例2、

















































例3、

（1）令，则
设BC直线解析式

解得
(2)

(3)令
令，则
令则，
设
①以EF为对角线
②以PE为对角线

③以PF为对角线

综上所述：，，



















变式1、


























变式2、

































变式3、


例4、




















例5、





例6、










例7、（1） （2）或 （3）
例8、（1）证明：为等腰直角三角形，，
又，，，，
又，，
在与中，，；
（2）解：过点作于点，交于点，过作轴于，如图1，
，为等腰△，由（1）可知：，，，
直线，，，．，，
，设的解析式为，，，
的解析式：；
（3）当点位于直线上时，分两种情况：
①点为直角顶点，分两种情况：
当点在矩形的内部时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；则，，；
则，得，即：，；；
当点在矩形的外部时，设；
则，，；
同1可知：，，即：，；，；
②点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；
设点，则，；
同（1）可得，，，；
；联立两个表示的式子可得：
，即；，；


综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；
且点的坐标为：，，，，．

课后练习：
1、 2、
3、(1)过点作轴于点，， ∴
(2)∵为菱形 ∴ ∴
又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴
法1：∴，，
因此， 所以为直角三角形
法2：， ∴，
∴\ 所以为直角三角形
法3：证明思路：
(3)延长交于点 ∵ ∴ ∴
∴
由(2)知联立得： 解得
所以点，作关于点的对称点，可根据中点得：∴
综上点为或
4、(1)∵ ∴ ∴ ∴ ∴
(2)∵为，中点 ∴ ∴
又 ∴ 令直线为 ∴
∴
(3)若，为边，为对角线
∵ 又轴 ∴轴 ∴
令 ∴ ∴
∴ 又 ∴ ∴
若，为边，为对角线 ∵ 轴 ∴直线轴
∴ 又 ∴ ∴ ∴
若，为边，为对角线 令中点为 ∴
又 ∴ ∴ ∴
∴ ∴
5、(1)③
(2)设，则 代入，得 即
(3)设，则 代入，得
即，此函数必过点
又∵点的“磐石线”与坐标轴围成等腰直角三角形
∴“磐石线”与坐标轴的另一交点为或
解得“磐石线”解析式为或
即或
6、（1），，四边形为长方形，．
设此时直线解析式为，把，分别代入，得
，解得 则此时直线解析式为；
（2）①当点在线段上时，，高为6，；
当点在线段上时，，高为，；
②设，则，如图2，，，，
，，，解得
则此时点的坐标是，；
（3）存在，理由为：若为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，
①当，在中，，，
根据勾股定理得：，，即；
②当时，此时；
③当时，在中，，根据勾股定理得：，
，即，，
综上，满足题意的坐标为或，或．

第七讲 一元二次方程的解法
例1、B 变式1、C 变式2、C 变式3、m=-2，m≠-2 例2、略 变式1、A
例3、D 变式1、2013 例4、， ,变式1、（1） （2），
例5、（1） （2）
变式1、（1）， （2）
例6、B 变式1、C 变式2、 例7、B 变式1、1
例8、
变式1、（1） （2）
例9、（1） （2） （3） （4）
例10、 变式1、（1） （2）
例11、C 变式1、 例12、B 变式1、C 变式2、（1）50%（2）67.5万元
例13、18 例14、（1）7 （2）448 变式1、C 变式2、8 不会
例15、（1）50% （2）2 变式1、（1）25% （2）4 变式2、（1）20% （2）4
例16、D 变式1、2 例17、（1）2或者4 （2）不存在
课后练习：1-6 A D A D D B 7、1 8、 2或6
9、（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
10、1 11、（1）10%（2）2.662万人次 12、（1）20 （2）不可能 13、（1）4或6 （2）九




第八讲 一元二次方程中根系关系及应用
例1、B 变式1、A 例2、（1） （2） （3） 变式1、D 变式2、
变式3、A 变式4、D 变式5、两个不相等的实根 变式6、（1）略 （2）-2
例3、0或16 变式1、（1）略 （2）， 变式2、（1）等腰三角形 （2）直角三角形 （3）0，-1
例4、略 变式1、略
例5、4 练习1、A 变式1、C 变式2、A 变式3、C 变式4、C 变式5、B
变式6、C 例6、①4018 ② ③ ④ 变式1、（1） （2）14
变式2、C 变式3、（1） （2）不存在 变式4、（1） （2）
例7、A 变式1、D 变式2、A 例8、 例9、 变式1、 例10、
变式1、B 例11、 例12、① ② ③ 例13、等腰三角形
例14、（1）（，） （2） （3）
例15、

第九讲 二次函数的图像、性质和解析式
例1、B 例2、0 变式1、 变式2、B 例3、B 例4、A 变式1、D 变式2、B 例5、C 变式1、D 例6、A 变式1、A 变式2、C 例7、< 例8、C 例9、C 变式1、C 变式2、 例10、D 例11、D 变式1、C 变式2、A 变式3、B 例12、（1） （2） （3）
变式1、 变式2、 变式3、 变式4、 变式5、， 例13、（1）， （2） 例14、（1）2， （2） 例15、（1） （2）3 （3）直角三角形
勤练系 促掌握
1-7 BDADDBC 8、 9、 10、 11、1 12、 13、 14、B 15、（1） （2） （3）2

第十讲 二次函数的图像与几何变换
例1、B 例2、A 变式1、①②③④ 例3、C 变式1、B 变式2、B 例4、 变式1、C 变式2、 变式3、D 变式4、B 例5、 例6、（1） （2）4 例7、（1） （2） （3） 变式1、C 变式2、D 变式3、 例8、（1） （2） 例9、B 例10、C 例11、A
例12、（1）1，2或3
（2）
（3）

勤练系 促掌握
1-9 CDDCAACDD
10、3
11、（1）
（2）
12、（1）
（2）8
13、

第十一讲 二次函数的区间最值及应用
例1、D 变式1、C
例2、
例3、
例4、
例5、

例6、（1） （2）45，225 （3）40
变式1、（1） （2）46，3840 （3）
变式2、（1）A，160；B，150 （2） （3） 例7、3m 变式1、C 例8、（1） （2）7 （3） 变式1、B 例9、（1），29，729 （2）；
变式1、（1）长15米，宽10米 （2）AB=10米，200平方米
例10、（1） （2） （3）3，63
例11、（1） （2）3680元
变式1、（1） （2），15，7680
勤练系 促掌握
1、（1）A，1500；B，1200 （2）40，7240 2、（1）8或24 （2）252平方米
3、（1） （2）能，会，因为x=9时，y >2.43 （3）
4、（1）5 （2） 5、（1） （2） （3）卖27时利润高
6、（1） （2）20，1000 （3） 7、（1） （2）收购海产品18吨，期中A类4吨，B类14吨；获利最大54万元
8、

第十二讲 二次函数与方程不等式综合
例1、（1）-（5）CDB，，A 变式1- 6、D，，DBC，3 例2、（1）-（4）2个，CBD 变式1、 变式2、 例3、A 例题4、B 变式1、 例5、C 变式1、B 变式2、 变式3-5、AAA 例6、-1 变式1、 变式2、或
例7、(1)∵，， ∴
将，分别代入得，
解得，∴函数的解析式为
(2)由已知得：，得
设在边上的高为 ∴ 即
根据题意： 由 得：
当时 解得：
当时 解得：，
∴的值为：，，
(3)由已知，得，， ∴
化简得
∵，得 ∴ 有，
又∵ ∴，
∴当时， 当时， 当时，
例8、



勤练习 促掌握
1-8、CAADACAB 9、（1）-1或1或2 （2） 10、（1）（-3,0），（1,0） （2） 11、 12、 13、（1） （2） 14、（1） （2） （3）
15、（1） （2）存在，理由略 （3）
16、


第十三讲 二次函数与线段专题
例1 （1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．抛物线的对称轴是：直线x=1
（2）PF=﹣m2+3m，
练习. 1.（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （2）
2.（1）B（4，0），C（0，3），b= （2）2
例2 （1）；， （2）；；
练习. 1.（1） （2），.
2.（1）
（2）
（3）.
例3 （1） （2） （3）.
练习. 1.（1）
（2）.
例4 ；；有，.
练习. 1.（1）；
（2） ，，
（3）
例5 ，；
练习. 1.（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）
（3）N（1，3﹣）、M（，0），

勤练习，促掌握
1.（1）y＝﹣x2+2x+3，D
（2）
2.（1）
（2）
3.（1）
（2）
4. ，

第十四讲 二次函数与面积专题
例1、


变式1、（1）；
变式2、

变式3、（1）

（2）



变式4、



例2 （1）；Q（2，3）或Q（，）或Q（，）；
R（，2）
变式1、（1）45°；（2）P（2，﹣1），PB=;(3) m＝或﹣．

勤练习，促掌握
1.（1） （2）P
2.（1） （2）PB，1 （3）或

第十五讲 二次函数与特殊三角形专题
例1 （1）y=-x2+2x+3；P ；M（1，1），（1，），（1，），（1，0）
变式1、(1)抛物线的解析式为
(2)，，，，
∵ ∴是直角三角形
(3)由可知，为关于抛物线对称轴的对称点 点坐标为
此时四边形为直角梯形，面积为
变式2、




例2 y=x2+2x-3；，
P（，）；
M（0，），（0，），（0，），（0，），
变式1、（1），C（0，3）
（2）P（- 1，6）或（0，3）







变式2、






变式3、




例3 B（3，1）；y=x2 - x -2；P1（-1，-1），P2（-2，1）
变式1、（1）
（2），
（3）：或或或．

勤练习，促掌握
1.（1）8
（2），，，

2.（1） （2）

3.（1） （2）P或 （3）P或
4.（1）B（3m，0）
（2）P：（）或（）或（）或（）．

第十六讲 二次函数与平行四边形专题

例1、
变式1、(1)M(1,a-1)，N(,-)； (2)a=-；S四边形ADCN=；
(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(,-).设P(m,m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式，得：
,∴.∴P1(,-)；
②当以AN为对角线时，得:
,∴(不合题意，舍去).
③当以CN为对角线时，得:
,∴.∴P2(-,).
∴在抛物线上存在点P1(,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.
变式2、（1），
（2）
（3）不存在
例2（1）易求抛物线的表达式为y=；
(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，
设点P坐标为(m,).
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；
②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；
③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).
综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).
变式1、（1）
（2）
（3）
变式2、（1），
（2）；
（3） 或或或．
例3 （1）
（2）；或或
变式1、





勤练习，促掌握
1.（1）， （2）， （3）：或或
2.（1） ， （2）不是，不存在
3.（1），， （2），
（3）：或或或或

第十七讲 二次函数其他综合应用
例1 （1） （2） 变式1、
例2 （1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；
（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，
∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，
∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；
（3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；
②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），
则+=+==，
联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，
∴+===1，
∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．
变式1、（1），
（2）E（2，），S▱ACEF=或E′（，），S▱ACE′F′= （3）1
例3 （1） （2） （3）可为
例4 （1）， （2）， ； （3）
例5





勤练习，促掌握
1.（1） （2） （3）
2. （1） （2） （3）
3.（1）
（2）M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）；
4.