2022年安徽省合肥市中国科大特殊类型创新班自主招生数学试卷（一）（初试）

这是一份2022年安徽省合肥市中国科大特殊类型创新班自主招生数学试卷（一）（初试），共28页。试卷主要包含了解答题，选择题等内容，欢迎下载使用。
2022年安徽省合肥市中国科大特殊类型创新班自主招生数学试卷（一）（初试）
一、解答题（共1小题，满分10分）
1．（10分）（2022•合肥自主招生）△ABC，2ac＝b2，sinA+sinC＝ksinB，求k范围．
二、选择题（共2小题，每小题10分，满分20分）
2．（10分）（2022•合肥自主招生）向量＝（﹣1，0），＝（1，0），＝（x，y），||||＝4，则||可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
E．以上都不对
（多选）3．（10分）（2022•合肥自主招生）如图，G为重心，S△APQ＝T，S△ABC＝S，＝x，＝y（　　）

A．x+y为定值 B．为定值
C．不为定值 D．
三、解答题（共3小题，满分30分）
4．（10分）（2022•合肥自主招生）若函数f（x）＝1﹣a在x∈（，）上恒大于0，则a的取值范围是 　 　．
5．（10分）（2022•合肥自主招生）（a﹣2）2+b2≤1，求最大值与最小值之差为 　 　．
6．（10分）（2022•合肥自主招生）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c、b2﹣a2＝ac，则的取值范围是 　 　．
四、选择题（共4小题，每小题10分，满分40分）
（多选）7．（10分）（2022•合肥自主招生）{an}满足a1＝2，a2＝5，an+2＝5an+1+4an，bn＝log2[an+1]，Sn为{}的前n项和（　　）
A．an＝2n+1 B．an＝4n﹣1+1 C．[S2022]＝249 D．[S2022]＝499
（多选）8．（10分）（2022•合肥自主招生）△ABC中，c＝1，bcosC﹣cosB＝1，则b可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（10分）（2022•合肥自主招生）菱形ABCD，AB＝2，AC＝2，将△ACD沿AC折起至△APC，E为PB中点，S△ACE＝5，则VP﹣ABC为 　 　．
10．（10分）（2022•合肥自主招生）eax﹣x5＞0在[0，+∞）上恒成立，求a范围．

2022年安徽省合肥市中国科大特殊类型创新班自主招生数学试卷（一）（初试）
参考答案与试题解析
一、解答题（共1小题，满分10分）
1．（10分）（2022•合肥自主招生）△ABC，2ac＝b2，sinA+sinC＝ksinB，求k范围．
【考点】正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】先利用余弦定理求得a，b，c的关系，把题设等式代入表示出k2，进而利用cosB的范围确定k2的范围．
【解答】解：sinA+sinC＝ksinB，根据正弦定理有a+c＝kb，
由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB＝k2b2﹣b2﹣b2cosB，
即k2＝2+cosB，0＜B＜π，
∴﹣1＜cosB＜1，得k2∈（1，3），
由题设知k＞0，所以：1＜k＜．
则k范围为（1，）．
【点评】本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用，属于中档题．
二、选择题（共2小题，每小题10分，满分20分）
2．（10分）（2022•合肥自主招生）向量＝（﹣1，0），＝（1，0），＝（x，y），||||＝4，则||可能为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
E．以上都不对
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的概念与向量的模．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】取A（﹣1，0），B（1，0），O（0，0），C（x，y），则向量＝＝（﹣1，0），＝（1，0），＝（x，y），设AC≥BC，则CB＝4，OA＝OB＝1，由三角形中线长公式得OC2＝（AC2+）﹣1，由AC≤BC+AB，得AC≤+1，由此能求出结果．
【解答】解：在平面直角坐标系中，取A（﹣1，0），B（1，0），O（0，0），C（x，y），

则向量＝＝（﹣1，0），＝（1，0），＝（x，y），
设AC≥BC，∵||||＝4，∴CA•CB＝4，
∴OA＝OB＝1，
由三角形中线长公式得：
﹣OA2，
∴OC2＝（AC2+）﹣1，
AC，BC，AB存在关系AC≤BC+AB，
即AC≤+2，∴AC≤+1，
由AC≥BC，且AC•BC＝4，可得AC≥2，代入①中得：
∴OC2∈[3，5]，∴OC∈[，]．
∴||可能为2．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）3．（10分）（2022•合肥自主招生）如图，G为重心，S△APQ＝T，S△ABC＝S，＝x，＝y（　　）

A．x+y为定值 B．为定值
C．不为定值 D．
【考点】平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】设D为BC的中点，进而可得＝+，可得＝3，可判断ABC；由＝＝，可求的范围，判断D．
【解答】解：设D为BC的中点，

∴＝＝（+）＝+，
∵P，G，Q三点共线，则+＝1，
∴＝3，为定值，故B正确，A，C错误，
由＝3，∴y＝，
＝＝＝xy＝x×＝，
由＝3，可得3xy＝x+y≥2，∴xy≥，
而x∈[，1]，∴＝＝≤，当x＝1时取等号，故D正确．
故选：BD．

【点评】本题考查向量的运算，考查三点共线的充要条件，属中档题．
三、解答题（共3小题，满分30分）
4．（10分）（2022•合肥自主招生）若函数f（x）＝1﹣a在x∈（，）上恒大于0，则a的取值范围是 　[，1）∪（1，+∞）　．
【考点】函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】根据题意可知a＞0且a≠，若函数f（x）＝1﹣a在x∈（，）上恒大于0，则a＜a，x∈（，）上恒成立，分三种情况：当a＞1时，当a＝1时，当0＜a＜1且2a≠1时，讨论a＜a，x∈（，），是否恒成立，即可得出答案．
【解答】解：根据题意可知a＞0且a≠，
若函数f（x）＝1﹣a在x∈（，）上恒大于0，
则1﹣＞0，即a＜a，x∈（，）上恒成立，
当a＞1时，log2ax＜0＜x2，x∈（，），
所以a＜a在（，）上恒成立，
所以f（x）＞0在（，）上恒成立，
当a＝1时，a＝a＝1，不符合题意，
当0＜a＜1且2a≠1，即0＜a＜1且a≠时，
若a＜a在（，）上恒成立，
则log2ax＞x2在（，）上恒成立，
①当＜a＜1时，此时2a＞1，
因为x∈（，），
所以log2ax＜0，x2＞0，
不符合log2ax＞x2在（，）上恒成立，不合题意，
②当0＜a＜时，此时2a＜1，
设g（x）＝log2ax，h（x）＝x2，
所以g（x）在（，）上单调递减，
h（x）在（，）上单调递增，
所以y＝log2ax﹣x2在（，）上单调递减，
所以函数y＝log2ax﹣x2的最小值为log2a（）﹣（）2≥0，
所以a≥，
又因为0＜a＜，
所以≤a＜，
综上所述，a的取值范围为[，1）∪（1，+∞）．
【点评】本题考查不等式的恒成立问题，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
5．（10分）（2022•合肥自主招生）（a﹣2）2+b2≤1，求最大值与最小值之差为 　4　．
【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】首先确定点（a，b）在以点（2，0）为圆心的圆上或者圆的内部，据此可得，然后整理所给的代数式，构造函数，利用导数研究函数的最大值即可，最后由对称性可得函数的最小值．
【解答】解：由题意可知点（a，b）在以点（2，0）为圆心，半径为1的圆上或者圆的内部，则，
由对称性可先考查a＞0，b＞0的情况，
此时＝＝，
考查函数，则，
当时，f'（t）＞0，f（t）单调递增，
故函数f（t）的最大值为，
据此可得的最大值为，
由对称性可知其最小值为﹣2，
∴最大值与最小值之差为2﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查函数最值的求解，消元与齐次化思想的应用，导数求函数最值的方法等知识，属于中等题．
6．（10分）（2022•合肥自主招生）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c、b2﹣a2＝ac，则的取值范围是 　（1，）　．
【考点】正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；转化法；解三角形；数学运算．
【分析】先根据余弦定理得到c＝2acosB+a，再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA＝sin（B﹣A），根据三角形为锐角三角形，求得B＝2A，以及A，B的范围，再利用商的关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．
【解答】解：∵b2﹣a2＝ac，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，
∴c＝2acosB+a，
∴sinC＝2sinAcosB+sinA，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinA＝cosAsinB﹣sinAcosB＝sin（B﹣A），
∵三角形ABC为锐角三角形，
∴A＝B﹣A，
∴B＝2A，
∴C＝π﹣3A，
∴，
∴A∈（，），B∈（，），
∴﹣＝＝，
∵B∈（，），
∴sinB∈（，1），
∴∈（1，），
∴﹣的范围为（1，），
故答案为：（1，）．
【点评】本题考查正弦定理，三角恒等变换中公式，正弦函数的性质，属中档题．
四、选择题（共4小题，每小题10分，满分40分）
（多选）7．（10分）（2022•合肥自主招生）{an}满足a1＝2，a2＝5，an+2＝5an+1+4an，bn＝log2[an+1]，Sn为{}的前n项和（　　）
A．an＝2n+1 B．an＝4n﹣1+1 C．[S2022]＝249 D．[S2022]＝499
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】考虑数列{an}的特征方程x2﹣5x+4＝0，再由待定系数法求得通项公式，运用数列的裂项相消求和可得所求结论．
【解答】解：由a1＝2，a2＝5，an+2＝5an+1+4an，
考虑数列{an}的特征方程x2﹣5x+4＝0，
解得x1＝4，x2＝1，
设an＝a•4n+b•1n，则4a+b＝2，16a+b＝5，
解得a＝，b＝1，即有an＝4n﹣1+1，故A错误，B正确；
由bn＝log2[an+1]＝log2[4n+1]＝2n，
＝＝500（﹣），
所以Sn＝500（1﹣+﹣+...+﹣）＝500（1﹣），
S2022＝500（1﹣），即有[S2022]＝499，故C错误，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
（多选）8．（10分）（2022•合肥自主招生）△ABC中，c＝1，bcosC﹣cosB＝1，则b可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由余弦定理可得a＝b2﹣1，利用三边关系定理可求b的范围．
【解答】解：∵bcosC﹣cosB＝l，
∴b×﹣＝﹣＝＝1，
∴a＝b2﹣1，
又a＜b+c且b＜a+c且c＜a+b，
即，
∴1＜b＜2，
故选：CD．
【点评】本题考查余弦定理，考查三角形三边关系，属中档题．
9．（10分）（2022•合肥自主招生）菱形ABCD，AB＝2，AC＝2，将△ACD沿AC折起至△APC，E为PB中点，S△ACE＝5，则VP﹣ABC为 　　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】设AC中点为O，则AO＝，BO＝，OE＝，BE＝，S△BOP＝＝，VP﹣ABC＝，由此能求出结果．
【解答】解：菱形ABCD，AB＝2，AC＝2，将△ACD沿AC折起至△APC，
设AC中点为O，则AO＝，BO＝＝，如图，

∵E为PB中点，S△ACE＝5，
∴OE＝，BE＝＝，
S△BOP＝＝，
∴VP﹣ABC＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三棱锥的体积公式、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10．（10分）（2022•合肥自主招生）eax﹣x5＞0在[0，+∞）上恒成立，求a范围．
【考点】利用导数研究函数的最值；函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】先将参数与变量分离，再构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求解．
【解答】解：∵∀x∈[0，+∞），eax﹣x5＞0，
∴∀x∈[0，+∞），eax＞x5，
∵x＝0时，1＞0成立
∴∀x∈（0，+∞），ax＞lnx5，
∴∀x∈（0，+∞），a＞，
∴，x∈（0，+∞），
设f（x）＝，x∈（0，+∞），
∴，x∈（0，+∞），
∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）的最大值为f（e）＝，
∴a＞，
∴a范围为（，+∞）．
【点评】本题考查分离参数求解恒成立问题，利用导数求函数的最值，属中档题．

考点卡片
1．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
3．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
4．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
5．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
8．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作＝，＝，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：＝||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：•＝0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则＝x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
9．平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
10．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
11．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
12．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/15 0:42:29；用户：陈元；邮箱：17666135761；学号：42949630