2021年上海市复旦大学强基计划数学试卷

这是一份2021年上海市复旦大学强基计划数学试卷，共36页。试卷主要包含了命题p，恒为1”的什么条件？，求的常数项，＜1，确定曲线的类型等内容，欢迎下载使用。
2021年上海市复旦大学强基计划数学试卷

1．（2021•上海自主招生）命题p：“△ABC的内心与外心重合”是命题q：“△ABC是正三角形”的什么条件？
2．（2021•上海自主招生）已知f（x）周期为1，则命题p：“”是命题q：“f（x）恒为1”的什么条件？
3．（2021•上海自主招生）AD是△ABC的角平分线，AB＝3，AC＝8，BC＝7，求AD的长．
4．（2021•上海自主招生）求的常数项．
5．（2021•上海自主招生）已知0≤n≤18，19m+n＝20212022，则n＝　 　．
6．（2021•上海自主招生）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上一点，延长F2B到点A，满足BF1＝BA．AF1的中点为H，则下列两个结论是否正确：
结论1：AF1⊥BH；
结论2：BH为椭圆的切线．

7．（2021•上海自主招生）若，f（x）＝log2x，解不等式0＜g（f（x））＜1．
8．（2021•上海自主招生）方程18x+4y+9z＝2021的正整数解有多少组？
9．（2021•上海自主招生）确定曲线的类型．
10．（2021•上海自主招生）求由曲线，x2+y2≥2围成的面积．
11．（2021•上海自主招生）求极坐标ρ＝θ的曲线轨迹．
12．（2021•上海自主招生）若数列{an}满足，求．
13．（2021•上海自主招生）求展开式中的常数项．

2021年上海市复旦大学强基计划数学试卷
参考答案与试题解析

1．（2021•上海自主招生）命题p：“△ABC的内心与外心重合”是命题q：“△ABC是正三角形”的什么条件？
【考点】三角形的形状判断；充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】充要条件．
【分析】根据等边三角形的性质可知，一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是等边三角形，即可求解．
【解答】解：根据内心和外心的概念，三角形的内心是三个内角平分线的交点，外心是三边的垂直平分线的交点，
再根据等边三角形中三线合一性质，
所以一个三角形的外心与内心恰好重合，这个三角形是正三角形，反之亦成立，
所以p是q的充要条件．
【点评】本题考查内心和外心的概念，考查充分、必要条件的判断，考查数学运算及推理能力，属于基础题．
2．（2021•上海自主招生）已知f（x）周期为1，则命题p：“”是命题q：“f（x）恒为1”的什么条件？
【考点】充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【答案】必要不充分条件．
【分析】先求出函数f（x）的周期为T＝2，再构造函数f（x）＝，k∈Z且k≠﹣1判断充分性，易求必要性成立．
【解答】解：①若f（x）恒为1，则 成立，∴必要性成立，
②当 时，则f（x+）+f（x+2）＝2，
∴f（x）＝f（x+2），∴T＝2，
令A＝{m+2n，m，n∈Z}，B＝{m+（2n+1），m，n∈Z}，C＝∁R（A∪B），
令f（x）＝，k∈Z且k≠﹣1，
则满足，但f（x）不恒为1，∴充分性不成立，
∴命题p是命题q的必要不充分条件．
【点评】本题考查函数的周期性，充要条件的判断，属于中档题．
3．（2021•上海自主招生）AD是△ABC的角平分线，AB＝3，AC＝8，BC＝7，求AD的长．
【考点】三角形中的几何计算；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】．
【分析】由题意利用角平分线的性质可得，解得CD，BD的值，由∠BAD＝∠DAC，利用余弦定理可得＝，代入相关数据即可计算求解AD的值．
【解答】解：由题意可得，
可得CD＝，BD＝，
又∠BAD＝∠DAC，
所以由余弦定理可得＝，可得＝，
解得AD2＝，解得AD＝．

【点评】本题考查了角平分线的性质，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
4．（2021•上海自主招生）求的常数项．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；分类讨论；综合法；二项式定理；逻辑推理．
【答案】1680．
【分析】显然x2的指数是指数的倍，据此讨论，再考虑y4与的指数，由此求解．
【解答】解：要想得到展开式中的常数项，只需：
①当x2的指数为1时，则的指数为2，此时只需的展开式中出现y2项，即•，
故此时常数项为••＝1680；
②当x2的指数为2时，则的指数为4，此时只需的展开式中出现y4项，显然不可能；
故所求常数项为1680．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
5．（2021•上海自主招生）已知0≤n≤18，19m+n＝20212022，则n＝　1　．
【考点】归纳推理．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；推理和证明；数学运算．
【答案】1．
【分析】推导出20212022≡72022（mod19），再由73≡1（mod19），得20212022＝1（mod19）．由此能求出n的值．
【解答】解：∵0≤n≤18，19m+n＝20212022，
∴20212022≡72022（mod19），
∵73≡1（mod19），
∴20212022＝1（mod19）．
综上，n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查简单的归纳推理、整除等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（2021•上海自主招生）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上一点，延长F2B到点A，满足BF1＝BA．AF1的中点为H，则下列两个结论是否正确：
结论1：AF1⊥BH；
结论2：BH为椭圆的切线．

【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】结论1，2正确．
【分析】由于BF1＝BA，AF1的中点为H，由BH为等腰三角形的中线，即可判断结论1是否正确；作∠F1BF2的平分线交F1F2于点C，则由BH⊥BC，由角平分线的性质有＝＝e，解得C点的坐标，即可得出答案．
【解答】解：由于BF1＝BA，AF1的中点为H，则显然又BH⊥AF1，结论1正确；
作∠F1BF2的平分线交F1F2于点C，则由BH⊥BC，
由角平分线的性质有＝＝e，
设椭圆+＝1（a＞b＞0），B（x0，y0），
可得|BF1|＝ex0+a．
所以|CF1|＝e2x0+c，
所以C（e2x0，0），
可得kBC＝，则kBH＝﹣，
可得BH：+＝1为椭圆的切线，结论2正确．
【点评】本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
7．（2021•上海自主招生）若，f（x）＝log2x，解不等式0＜g（f（x））＜1．
【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【答案】（k∈N）．
【分析】g（x）＝（x+[x]+2﹣[x+|x|]+2）＝（x+[x]﹣[x+|x|]）+1，解不等式0＜g（x）＜1，得到解集为（﹣2，0）∪[k+，k+1），（k∈Z），从而不等式0＜g（f（x））＜1的解集满足f（x）＝log2x∈（﹣2，0）∪[k+，k+1），（k∈N），由此能求出结果．
【解答】解：g（x）＝（x+[x]+2﹣[x+|x|]+2）＝（x+[x]﹣[x+|x|]）+1，
下面解不等式0＜g（x）＜1，分两大类：即若x≤0和x＞0时，
（1）若x≤0，则g（x）＝（x+[x]）+1，
（i）当﹣1≤x≤0时，0＜g（x）＝（x﹣1）+1＜1，则x∈（﹣3，1），即x∈[﹣1，0）；
（ii）当﹣2≤x＜﹣1时，0＜g（x）＝，则x∈（﹣2，2），即x∈（﹣2，﹣1）；
（iii）当x＜﹣2时，g（x）＜（﹣2﹣2）+1＝0，原不等式无解；
（iV）当x＝0时，g（x）＝1，故原不等式无解．
（2）若x＞0，则g（x）＝（x+[x]﹣[2x]）+1，
设x＝k+α，其中k∈N，α∈[0，1]，
则g（x）＝＝（α﹣[2α]）+1，
（i）当时，0＜g（x）＝，
则α∈（﹣3，1），即α∈[，1）；
（ii）当时，0＜g（x）＝，则α∈（﹣4，0），原不等式无解．
综上，不等式0＜g（x）＜1的解集为（﹣2，0）∪[k+，k+1），（k∈Z），
∴不等式0＜g（f（x））＜1的解集满足f（x）＝log2x∈（﹣2，0）∪[k+，k+1），（k∈N），
解得x∈（k∈N）．
【点评】本题考查不等式的解法，考查分类讨论思想、等价转化思想、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
8．（2021•上海自主招生）方程18x+4y+9z＝2021的正整数解有多少组？
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．
【答案】3080．
【分析】根据题意确定p+r+s＝54或p+r+s＝54，其中r，s，p∈N，用隔板法即可求出方程18x+4y+9z＝2021的正整数解组数．
【解答】解：由题意，（18x+4y+9z）≡2021（mod9），即4y≡5（mod9），故y＝9r+8，r∈N，
代入原方程得：2x+4r+z＝221，①
则2x+4r+z＝221（mod4），即2x+z＝1（mod4），
故或，其中s，p∈N，
（注：这里第一个取x＝2（p+1）是为了保证p∈N）．
代入方程①可得：p+r+s＝54或p+r+s＝54，其中r，s，p∈N．
（注：两类不同的解，转化后形式一致）
根据隔板法该不定方程的解共有2＝3080组．
【点评】本题考查了排列组合，属于中档题，隔板法是关键．
9．（2021•上海自主招生）确定曲线的类型．
【考点】曲线与方程；双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】以（3，﹣6）为焦点，x+y＝0为准线，离心率为的椭圆．
【分析】根据圆锥曲线的第二定义即可计算．
【解答】解：由已知可得，即动点（x，y）到定点（3，﹣6）与到定直线x+y＝0的距离比为定值，
由圆锥曲线的第二定义可知动点（x，y）的轨迹为以（3，﹣6）为焦点，x+y＝0为准线，离心率为的椭圆．
【点评】本题考查了圆锥曲线的第二定义，属于中档题．
10．（2021•上海自主招生）求由曲线，x2+y2≥2围成的面积．
【考点】扇形面积公式；三角形的面积公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【答案】4arccos（）﹣2．
【分析】由曲线，x2+y2≥2围成的面积S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC），由此能求出结果．
【解答】解：如图，

S＝4（S△EOD﹣S扇形OAB﹣S△AOC），
∵OE＝OD＝，OA＝＝OC，
∴•h＝，
由余弦定理得cos∠AOC＝﹣1，
由题意得，
∴S扇形OAB＝＝arcsin（），
∴由曲线，x2+y2≥2围成的面积为：
S＝2π﹣4arcsin（）﹣2＝4arccos（）﹣2．
【点评】本题考查曲线围成的图形面积的求法，考查余弦定理、三角形面积公式、扇形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
11．（2021•上海自主招生）求极坐标ρ＝θ的曲线轨迹．
【考点】渐开线的生成过程及其参数方程；简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；坐标系和参数方程；数学运算．
【答案】x2+y2＝arctan2（）．
【分析】利用极坐标与直角坐标的关系进行求解即可．
【解答】解：根据极坐标与直角坐标的关系可得，
∴x2+y2＝ρ2＝θ2，又＝tanθ，∴θ＝arctan（），
那么 x2+y2＝arctan2（），是一条螺旋线．
【点评】本题考查极坐标方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
12．（2021•上海自主招生）若数列{an}满足，求．
【考点】数列的极限；极限及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】．
【分析】由已知数列递推式求得数列{an}的通项公式，再由数列的极限得答案．
【解答】解：令，
则由，
得bn+2+4bn+1﹣12bn＝0，即bn+2﹣2bn+1+6（bn+1﹣2bn）＝0，
∴数列{bn+1﹣2bn}是以b2﹣2b1为首项，以﹣6为公比的等比数列，
可得，
∴，
可得，
，
..．
，
累加得＝，
∵bn＞0，∴2b1﹣b2＝0，得．
∴＝，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数列递推式，考查数列极限的求法，考查运算求解能力，是中档题．
13．（2021•上海自主招生）求展开式中的常数项．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【答案】﹣15．
【分析】原式可化为﹣，然后写出的通项，结合常数项指数为零，求出结果．
【解答】解：由题知：原式＝﹣，
的通项为＝（﹣1）k，k＝0，1，……，6，
分别令，和3，即k＝1，和0时，即可得到原式中前面式子和后面式子的常数项，
即原式展开式中的常数项为：﹣﹣3＝﹣15．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于中档题．

考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

3．扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．

【命题方向】
扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6cm，面积是2cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，
则，解得α＝1或α＝4．
选C．
【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．

【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
4．数列的极限
【知识点的知识】
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a（即|an﹣a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，记作an＝a．（注：a不一定是{an}中的项 ）
2、几个重要极限：

3、数列极限的运算法则：

4、无穷等比数列的各项和：
（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S＝Sn．
（2）
【典型例题分析】
典例1：已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中Sn表示数列{an}的前n项和．则＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，
∴a1＝1．当n≥2时，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，
∴2（an+an﹣1）＝an2﹣an﹣12，又{an}各项均为正数，
∴an﹣an﹣1＝2．数列{an}是等差数列，
∴an＝2n﹣1．
∴＝＝＝．
故选：C．

典例2：已知点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1（n∈N*）．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设cn＝，求的值；
（3）若dn＝2dn﹣1+an﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{dn+n}为等比数列，并求{dn}的通项公式．
解：（1）∵点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，
∴bn＝2an+1，a1＝0，
∵等差数列{an}的公差为1（n∈N*），
∴an＝0+（n﹣1）＝n﹣1．
bn＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．
（2）解：由（1）可得an﹣a1＝n﹣1，bn﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
∴|P1Pn|＝＝＝（n≥2）．
∴cn＝＝＝，
∴c2+c3+…+cn＝…+＝，
∴＝＝；
（3）证明：n≥2，dn＝2dn﹣1+an﹣1，＝2dn﹣1+n﹣2，
∴dn+n＝2（dn﹣1+n﹣1），
∴数列{dn+n}为等比数列，
首项为d1+1＝2，公比为2，
∴，
∴．

【解题方法点拨】
（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．
（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）
（3）求数列极限最后往往转化为（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．
（4）求极限的常用方法：
①分子、分母同时除以nm或an．
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．
③利用已知数列极限（如等）．
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．
⑤∞﹣∞，，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．
5．极限及其运算
【知识点的知识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：

（2）几个常用极限：

③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a

2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：


3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
6．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
7．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．

3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
8．三角形的形状判断
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsin A
bsin A＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
9．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
10．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
11．曲线与方程
【曲线与方程】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．
【例题解析】
例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（　　）
A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支．
解：对定点B分类讨论：
①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．
由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．
由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．
③若定点B与圆心A重合，如图3所示：
设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，
因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．
④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．
综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．
故选A．

这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．
【考点点评】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．



12．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
13．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
14．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，

2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（　　）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（　　）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3　 　
32＝1+3+5　　
42＝1+3+5+7
23＝3+5　 　
33＝7+9+11 　　
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11＝＝36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
15．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．

二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）

三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．

四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）

五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
16．渐开线的生成过程及其参数方程
【知识点的认识】
渐开线及其参数方程
（1）把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．
（2）设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是（φ为参数）．

圆的渐开线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？

根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ．显然点M由参数φ惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．
17．三角形的面积公式
三角形的面积公式
①已知三角形的底边长为a，高为h，则三角形面积S＝底×高÷2＝；

②已知三角形的两边及其夹角，则三角形的面积公式：S＝absinC＝bcsinA＝casinB．
③已知三角形的周长为l，内切圆半径为r，则三角形面积S＝；

④已知三角形的三边长的乘积为L，外接圆半径为R，则三角形面积S＝；

⑤已知三角形AOB中，向量＝，＝，则三角形的面积S＝•．此公式也适用于空间三角形求面积．
⑥在平面直角坐标系中，△ABC的三顶点分别为：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），记K＝，则三角形的面积S＝|K|＝|x1y2+x2y3+x3y1﹣x1y3﹣x2y1﹣x3y2|；特别的，当C（0，0），此时S＝|x1y2﹣x2y1|．
⑦海伦公式：△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，p＝（a+b+c），则三角形面积S＝．
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