2020-2021学年上海市高二（上）期中数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年上海市高二（上）期中数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知向量a→=(4, 3)，则|a→|＝________．

2. 行列式1−23456789中元素4的代数余子式的值为________．

3. 已知BA→=(9, −2)，BC→=(3, 1)，且OC→=−23AC→（其中O为坐标原点），则点C的坐标为________．

4. 直线l:2x−y+3＝0的一个方向向量是________．

5. 求与直线l1:x−3y+3＝0的夹角为π3，且经过点(3, 23)的直线l2的直线方程可以是________．

6. 已知点A(−2, −2)，B(5, 3)和P(5, −4)，若过点P的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围是________．

7. 直线l过点A(1, 2)，且与M(2, 3)和N(4, −5)的距离相等，则直线l的斜率是________．

8. 已知a、b∈R，a2+b2≠0，则直线l:ax+by＝0与圆：x2+y2+ax+by＝0的位置关系是________．

9. 设μ∈R，若单位向量e1→，e2→满足：e1→⊥e2→且向量3e1→+e2→与e1→−μe2→的夹角为π3，则μ＝________．

10. 已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足AG→=xAM→+yAN→，其中x+y＝1，若AM→=34AB→，则△ABC和△AMN的面积之比为________209 ．

11. 在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1→，a2→，a3→，a4→，a5→，若ai→与aj→的夹角记为θij，其中i，j∈{1, 2, 3, 4, 5}，且i≠j，则|ai→|csθij的最大值为________．

12. 已知圆x2+y2−6x+2y+15−a2＝0与圆x2+y2−(2b−10)x−2by+2b2−10b+16＝0相交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，且满足x12+y12＝x22+y22，则b＝________．
二、选择题（每小题5分，共20分）

设D为△ABC所在平面内一点且BC→=3CD→，则（ ）
A.AD→=−13AB→+43AC→B.AD→=13AB→−43AC→
C.AD→=43AB→+13AC→D.AD→=−43AB→−13AC→

已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足OP→=13(12OA→+12OB→+2OC→)，则P一定为△ABC的（ ）
A.AB边中线的三等分点（非重心）
B.AB边的中点
C.AB边中线的中点
D.重心

在平面直角坐标系中，已知向量a→=(1, 2)，O是坐标原点，M是曲线|x|+2|y|＝2上的动点，则a→⋅OM→的取值范围（ ）
A.[−2, 2]B.[−5,5]C.[−255,255]D.[−255,5]

将向量a1→=(x1, y1)，a2→=(x2, y2)，…，an→=(xn, yn)组成的系列称为向量列{an→}，并定义向量列{an→}的前n项和Sn→=a1→+a2→+⋯+an→．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．若向量列{an→}是等差向量列，那么下述四个向量中，与S19→一定平行的向量是（ ）
A.a11→B.a10→C.a20→D.a21→
三、解答题（共76分）

已知矩阵方程1mm−23xy=6−2m．
（1）请将以上方程写成关于x，y的实数方程组形式，并用行列式讨论并求解关于x，y的二元一次方程组的解的情况；

（2）请阐述以上代数问题（1）的几何意义．

在△ABC中，已知AB→⋅AC→+2BA→⋅BC→=3CA→⋅CB→．
（1）将BC，CA，AB的长分别记为a，b，c，证明：a2+2b2＝3c2；

（2）求csC的最小值．

在2020年北京举办的国际自主智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人速度的两倍．如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么机器狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．

（1）求在这个矩形场地内电子狗失败的区域；

（2）若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？

在平面直角坐标系xOy中，若正方形OBCD边长为1，O点在原点，D、B分别在y轴和x轴上．
（1）若点P在线段OC上运动，求OP→⋅(PB→+PD→)的取值范围；

（2）已圆M:x2+y2−x−y−12=0，问是否存在被圆M所截的直线l:kx−y+k＝0交圆于两点E，F且OE⊥OF．若存在，求出直线l，若不存在说明理由．

在直角坐标平面xOy上的一列点A1(1, a1)，A2(2, a2)，…，An(n, an)，…，简记为{An}、若由bn=AnAn+1→⋅j→构成的数列{bn}满足bn+1>bn，n＝1，2，…，其中j→为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{An}为T点列，
（1）判断A1(1,1),A2(2,12),A3(3,13),⋯，An(n,1n),⋯，是否为T点列，并说明理由；

（2）若{An}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断△AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；

（3）若{An}为T点列，正整数1≤m0，
∵ {An}为T点列，
∴ bn≥b1>0，
∴ (ak+2−ak+1)(ak−ak+1)＝−bk+1bkAmAp→⋅j→
【考点】
向量的概念与向量的模
数列的概念及简单表示法
平面向量数量积的性质及其运算
不等式的证明
【解析】
（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{an}的通项，把数列{an}的通项代入新定义的数列{bn}，验证数列{bn}满足bn+1>bn，
得到{An}是T点列的结论．
（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．
（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．
【解答】
由题意可知an=1n，
∴ bn=1n+1−1n=−1n(n+1)，
显然有bn+1>bn，
∴ {An}是T点列
在△AkAk+1Ak+2中，Ak+1Ak→=(−1,ak−ak+1),Ak+1Ak+2→=(1,ak+2−ak+1)，Ak+1Ak→⋅Ak+1Ak+2→=−1+(ak+2−ak+1)(ak−ak+1)
∵ 点A2在点A1的右上方，
∴ b1＝a2−a1>0，
∵ {An}为T点列，
∴ bn≥b1>0，
∴ (ak+2−ak+1)(ak−ak+1)＝−bk+1bkAmAp→⋅j→