2023年中考数学专题训练——圆的综合练习附答案

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2023年中考数学专题训练——圆的综合练习附答案
1．是的直径，是上一点，，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点．

(1)如图1，求证；
(2)如图2，连接，若，求的长．






2．如图，在中，，，点是上一点，以为圆心，长为半径作圆，使与相切于点，与相交于点．过点作，交的延长线于点．

(1)若，求的半径；
(2)连接，求证：四边形是平行四边形．





3．如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是上的两点，，，延长交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求弦的长．






4．在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，．

(1)如图①，连接，若，求的大小；
(2)如图②，若点 F 为 的中点，的半径为1，求的长．







5．如图，已知是的直径，C是上的点，点D在的延长线上，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．






6．如图1，是的直径，过点B作的切线，弦，交于点F，且，连接、，延长交于点E．

(1)求证：是等边三角形；
(2)连接，若，求的长．








7．如图，是的直径，点C，D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点F．

(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．






8．如图，是的直径，点E、点F在上，过点E作的切线，分别交、延长线于C、D，且．

(1)求证：平分
(2)若，，求的半径长．






9．如图，在中，，以为直径的交于点，于点．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长（结果保留）






10．如图，是的直径，是弦，的平分线交于点，交的延长线于点．求证：

(1)是的切线；
(2)若，，求的半径．








11．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为10，求的长．







12．如图，中，，D是边上一点，且，E是边上的一点，以为直径的经过点D．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．







13．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为，．连接交于点，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若的半径为，，求的长．






14．如图，为半圆的圆心，、为半圆上的两点，连接、、，，连接并延长，与的延长线相交于点．

(1)求证：；
(2)若，半径，求的长






15．如图，是四边形外接圆O的直径，，延长到E使得，作射线交的延长线与F，交与G．

(1)求证：与相切；
(2)若，求的周长．







16．如图，是的直径，点D，E在上，，点C在的延长线上，与相切与点E，延长交于K．

(1)求证：；
(2)连接，若的半径长为，，求的长．





17．如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点

(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；
(2)如果，，求的长．







18．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点D，交于点E，连接，作，交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．

参考答案：
1．(1)见解析
(2)

【分析】（1）证明，，即可得出；
（2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理分别求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】（1）解：∵ ，
∴，
∵ 是的切线，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）解：如图，连接．

∵，
∴，
∵是的直径，
∴°，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵ 在和中，，，
∴，
∴，即，
解得：．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明是解题的关键．
2．(1)；
(2)见解析．

【分析】（1）连接，由⊙O与相切于点A，与相切于点D，得到，由切线长定理得：，由勾股定理求出，即可得到的半径．
（2）连接，交于点H，由是⊙O的直径，得到．根据与⊙O分别相切于点A，D，证得．得到．即可证得四边形是平行四边形．
【解析】（1）解：连接，如图．

∵在中，
∴⊙O与相切于点A，．
∵是⊙O的半径，⊙O与相切于点D，
∴．
∴．
∵，
∴由切线长定理得：，由勾股定理得：．
∴ ．
∴⊙O的半径是．
（2）证明：连接，交于点H，如图．
∵是⊙O的直径，

∴．
∵与⊙O分别相切于点A，D，
∴．
∴．  
∴．
∴．
∴．
∵，
∴ 四边形是平行四边形．
【点评】此题考查了圆的切线的性质定理，切线长定理，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，由条件可证得，得到，即可得到结论；
（2）先证明，得到，求出，，
∴，在中，由勾股定理得到，求出弦的长．
【解析】（1）证明：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，．
【点评】此题是圆的综合题，考查了圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
4．(1)
(2)

【分析】（1）连接，由在中，，是切线，易得，即可求得，继而求得答案；
（2）首先连接，，由（1）得：，由点为的中点，易得是等边三角形，继而求得答案．
【解析】（1）解：连接，如图1，

为半径的圆与相切于点，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，，如图2，

由（1）得：，
，
，点为的中点，
，，
，
是等边三角形，
∴，
∵，
，
∵与相切于点，
∴，
，
，
．
【点评】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及平行线的性质，直角三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
5．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，可得，由于是的直径，可得，从而得到，即可；
（2）设的半径为r，则，由于，可得到，，再求出，分别计算的面积以及扇形的面积即可求出阴影部分面积．
【解析】（1）证明∶如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）设的半径为r，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
过点O作于点E，
∴，
∴，
∵，
∴阴影部分面积为．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
6．(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）根据圆的切线性质得到，进而得到，再圆的对称性得到，然后利用等弧对等弦得到，即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质，得到，连接，得到，进而得到，，又，得到，进而得到，设，则，，在利用勾股定理得到，即可求出的值，得到的长．
【解析】（1）证明：是的直径，是的切线，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：是等边三角形，，  
，
连接，
是的直径，  
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
．

【点评】本题考查了圆的切线性质，垂径定理，等弧对等弦，等边三角形的判定和性质，勾股定理，30度角所对的直角边等于斜边一半知识，作辅助线构造直角三角形解决问题是解题关键．
7．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由题意可证，且，可得，即与相切；
（2）连接，则，首先根据勾股定理求出，然后根据和分别求出和的长度，进而求解即可．
【解析】（1）证明：连接，

∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴与相切；
（2）连接，则，

∵是直径，
∴，
又∵，，
∴，
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴，
∴，解得，
∵
∴
∴，即，解得，
∴．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，熟练运用切线的判定和性质解决问题是本题的关键．
8．(1)见解析；
(2)．

【分析】（1）连接，利用切线的性质、等腰三角形的性质，平行线的性质求证即可；
（2）设半径为，过点作，则四边形为矩形，可得，，在中，利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）证明：连接，如下图：

由题意可得：与相切，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：过点作，如下图：

设半径为，则，
由题意可得：，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理可得，，即
解得，
即的半径长为．
【点评】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
9．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据等边对等角可证，然后根据平行线的判定和性质可得，最后根据切线的判定即可证明；
（2）先求的度数，然后根据弧长公式即可求解．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又是半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长是．
【点评】本题主要考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线判定与性质、弧长公式等知识，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，得到，，即可得，可求得是的切线
（2）连接，求得，即可得，求得直径，即可求得半径
【解析】（1）连接，

则，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，且是的半径，
∴是的切线；
（2）连接，

∵是的直径，
∴，且
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为：
【点评】本题考查了圆的切线，相似三角形的判定和性质及勾股定理，解决问题的关键是作出辅助线
11．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连结，由圆周角定理可求得，则，可证明直线是的切线；
（2）若于点M，根据垂径定理可证明，在中，，，则，已知的半径，则，根据勾股定理可以求出的长，进而求出的长．
【解析】（1）如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据三角形的内角和定理得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点A在上，
∴直线是的切线；

（2）∵，
∴，
∵，BC是直径
∴，，
在中，
∴
∴由勾股定理可得：
∴．
【点评】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识．
12．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，由，根据等边对等角得到一对角相等，再由为的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出，又，可得出，又，可得出Rt中两锐角互余，等量代换可得出与互余，即，继而即可求证结论；
（2）在Rt中，由角所对的边长等于斜边的一半可得，继而可得，在Rt中，由角所对的边长等于斜边的一半可得，由勾股定理可得，继而即可求解．
【解析】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
又∵为的外角，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，

∴，即的半径为．
【点评】此题考查了切线的判定定理，三角形的外角性质，勾股定理以及解直角三角形，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
13．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论；
（2）由切线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质、勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴；
（2）∵是的切线，
∴，
∵的半径为，，
由（1）可得，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
【点评】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得出，进而得出，再根据角之间的等量关系，可以得到，再根据等角对等边，即可得出结论．
（2）根据勾股定理，得出，再根据等量代换，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出，根据勾股定理，得出，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出结果．
【解析】（1）证明：如图，连接，

∵为半圆的圆心，、为半圆上的两点，
∴，
∴，
在中，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，
，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理、等角对等边、勾股定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键．
15．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先证是等边三角形，可得，再由可求得，则可得，可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可得，可证△FGD是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解．
【解析】（1）证明：如图，连接，

，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
，
，
，
∴，
又是半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
为直径，
，
，，
，，，
由勾股定理得：，，
∴，，
∴，
的周长．
【点评】本题考查直径（半圆）所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
16．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据圆周角定理，以及外角的性质，求出，即可得证．
（2）连接，过点作，交于点，通过圆周角定理和对顶角相等，得到，从而得到，利用等腰三角形三线合一和勾股定理，进行求解即可．
【解析】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，过点作，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点，
∵的半径长为，，
∴，
∴，，
在中，，
在中，．

【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握直径所对的圆周角是，同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
17．(1)直线是的切线，理由见解析
(2)1

【分析】（1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明，进而证明，则根据切线的判定方法可判断为的切线；
（2）利用切线的性质得到，，设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算，从而得到的长．
【解析】（1）解：直线是的切线，理由如下：
如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即PD⊥OD
∴直线为的切线；

（2）解：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
设的半径为在中，，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴．
【点评】此题考查切线的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题关键在于作辅助线和利用勾股定理进行计算．
18．(1)见解析
(2)15

【分析】（1）连接， 根据圆周角定理得 ，再由角平分线得定义和同圆半径相等，等腰三角形及等量代换可得 即可得到结论．
（2）如图，设半径为 ，则有 ，根据勾股定理即可求出x的值．
【解析】（1）解：连接，

是的直径，
，即，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是的切线．
（2）设的半径为x，
则有，
在中
，
，
解得 ．
的半径为15．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用等，掌握切线的判定定理，圆周角定理的应用是解题的关键．