2023年重庆市沙坪坝区中考一模数学试题(含答案)

2023年初中学业水平暨高中招生适应性考试

数学试题

（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；

3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；

4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回。

参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为。

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。

1.4的相反数是

A.     B.     C.4      D.

2.中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾。下列姓氏图腾是轴对称图形的是

A.    B.     C.    D.

3.如图，是一块直角三角板，其中，，若，则的度数为

A.     B.     C.     D.

4.若两个相似多边形的相似比为，则它们周长的比为

A.     B.     C.     D.

5.小王从家出发去超市购物，离家的距离随时间的变化情况如图所示，则小王在超市购物花费的时间约为

A.    B.    C.    D.

6.估计的值应在

A.2和3之间    B.3和4之间    C.4和5之间    D.5和6之间

7.我国南宋数学家杨辉在1275年提出一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔（宽）几步。”设阔为步，根据题意，下面所列方程正确的是

A. B.  C.  D.

8.如图，是的切线，为切点，连接并延长交于点，连接。若，则的度数为

A.     B.     C.     D.

9.图①叫做一个基本的“勾股树”，也叫做第一代勾股树。让图①中两个小正方形各自长出一个新的勾股树（如图②），叫做第二代勾股树。从第二代勾股树出发，又可以长出第三代勾股树（如图③）。这样一生二、二生四、四生八，继续生长下去，则第四代勾股树图形中正方形的个数为

A.15      B.23      C.27      D.31

10.从，，三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作。

下列说法：

①若，，，则，，三个数中最大的数是4；

②若，，，且，，中最小值为，则；

③给定，，三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值。

其中正确的个数是

A.0      B.1      C.2      D.3

二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。

11.计算：__________。

12.反比例函数的图象过第一、三象限，则常数的取值范围是__________。

13.成渝地区双城经济圈位于“一带一路”和长江经济带交汇处，总面积约为185000平方公里。其中数据185000用科学记数法表示为__________。

14.一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，1个白球，搅匀后，从中随机摸出一个球，不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球的颜色相同的概率为__________。

15.如图，在菱形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是__________。（结果不取近似值）

16.若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是__________。

17.如图，在正方形中，点是上的一点。过点作，交的延长线于点。连接，点是的中点，连接。若，，则线段的长为__________。

18.一个各位数字都不为0且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”。将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数。记，，，均为整数，求满足条件的的最大值是__________。

三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

19.计算：（1）；    （2）。

20.小明在学习的过程中，遇到了一个问题：在四边形中，，点是上一点，且平分，平分。求证：。

他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的对应边相等，使问题得到解决。请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）。

，

。

又，

_____①_____。

平分，

_____②_____。

又_____③_____。

_____④_____。

。

同理可得_____⑤_____。

。

21.沙坪坝区积极创建新时代“红岩大课堂”，是学习贯彻党的二十大精神的重要实践。某校组织全校学生参加了“冠红岩之名  铸红岩之魂”的知识竞赛。现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成，，，四个等级：；；；），下面给出了部分信息：

八年级10名学生的竞赛成绩：94，93，85，83，79，78，78，78，67，61。

九年级10名学生中等级所有学生的竞赛成绩：83，83，83，81。

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：__________，__________，__________；

（2）若竞赛成绩超过90分的学生获“红岩少年”称号，请估计该校八年级460名学生中，获“红岩少年”称号的人数；

（3）根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）。

22.为深入学习二十大重要讲话精神，落实立德树人根本任务，沙坪坝区中小学开展了“校村共育”研学项目。某中学七年级参加了“寻根·行走的青春”研学活动，一班选择研学线路，二班选择研学线路。已知研学线路的路程比多3公里，、研学线路的路程和为27公里。

（1）求、两研学线路的路程分别是多少公里？

（2）两个班同时出发，结果一班比二班晚0.2小时走完研学路程。已知一班的行进速度是二班行进速度的1.2倍，求二班的行进速度。

23.为实现“绿水青山就是金山银山”的理念，重庆市建了多个湿地公园。如图，某区湿地公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道。经测量，点在点的正东方向。点在点的正北方向，米。点在点的北偏东，在点的北偏东方向，米。

（1）求步道的长度（精确到个位）；

（2）小王每天步行上学都要从点到点，他可以从点经过点到点，也可以从点经过点到点。请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据：，）

24.如图，在等腰中，斜边，是中位线，点是的中点。点在线段上运动（不与线段端点重合），连接并延长交于点。设，，则是的函数。请回答以下问题：

（1）直接写出与之间的函数关系式以及对应的的取值范围；

（2）在给出的平面直角坐标系中，直接画出与之间的函数图象。并根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质；

（3）连接，设，也是的函数，其图象如图所示。结合你所画的函数图象，直接写出当时的取值范围。（保留一位小数，误差不超过0.2）

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，。

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；

（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线向右平移1个单位后得到新抛物线。为直线上一点，在平移后的新抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程。

26.在等腰中，，点，是边上的动点（点在点的左侧），连接、。

（1）如图1，若，，求证：；

（2）如图2，过点作于点，将点绕着点旋转，点的对应点落在线段上的点处，连接，若，，，求证：；

（3）如图3，将沿翻折，使得点落在点处，点是的中点，连接、，若，，在点，运动的过程中，当四边形的周长取得最小值时，请直接写出此时的面积。

2023年初中学业水平暨高中招生适应性考试

数学  参考答案

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）

二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）

11.3；    12.；   13.；  14.；

15.；  16.；    17.；    18.8721。

三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分）

19.解：（1）原式

。

（2）原式

。

20.解：作图如答图；

①；

②；

③；

④；

⑤。

21.解：（1），，。

（2）。

答：估计该校八年级学生获“红岩少年”称号的人数为92人。

（3）九年级学生竞赛成绩更好。理由如下（写出其中一条即可）：

①九年级学生竞赛成绩中位数82高于八年级学生竞赛成绩中位数78.5。

②九年级学生竞赛成绩方差82.7低于八年级学生竞赛成绩方差104.5。

③九年级学生竞赛成绩众数83高于八年级学生竞赛成绩众数78。

22.解：（1）设研学线路的路程为公里，研学线路的路程为公里。

由题意，得

解这个方程，得

答：、两研学线路的路程分别是15公里和12公里。

（2）设二班的行进速度为公里/时，则一班的行进速度为公里/时。

由题意，得。

解这个方程，得。

经检验，是原方程的解且符合题意。

答：二班的行进速度为2.5公里/时。

23.解：（1）过点作于点，过点作于点（如答图）。

由题意，得，。

在中，，

。

由题意，得，

。

在中，，

。

答：步道的长度约为848米。

（2）在中，，

。

由题意，得。

在中，，

。

。

。

又。

小王从点经过点到点的路线较近。

24.解：（1）当时，；

当时，。

（2）函数图象如答图。

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线；

②该函数在自变量的取值范围内，有最小值。当时，函数取得最小值0；

③当时，随的增大而减小；

当时，随的增大而增大。

（以上三条性质写一条即可）

（3）。

注：当不等式解集端点值误差在范围内，均给相应分值。

25.解：（1）把，代入中，得

解这个方程组，得

所以，该抛物线的函数表达式为。

（2）过点作轴交于点（如答图）。

，轴，

，。

在中，。

，

，

。

，，

直线的函数表达式为。

设点，则点。

。

，

的最大值是，点的坐标为。

（3）满足条件的点的坐标有，，。

由题意，平移后抛物线的函数表达式为，，。

设。

①若四边形是以为对角线，则，

。

点在直线上，

。

，

，

解这个方程，得。

，。

点与点重合，舍去。

。

②若四边形是以为边，则或，

或。

点在直线上，

或。

或，

或，

解这两个方程，得或。

，或，。

点与点重合，舍去。

，，。

综上所述，满足条件的点的坐标有，，。

26.（1）证明：在上截取，使，连接（如答图1）。

，

又，

。

，

。

在和中，

。

。

又，

是等边三角形。

。

。

（2）证明：过点作，交于点，使，连接。过点作于点（如答图2）。

，，

四边形是平行四边形。

，。

，

。

，

又，

。

，，

。

在和中，

。

，。

，，

。

又，

。

即。

。

，，，

。

，，

。

，

。

。

在和中，

。

，。

。

即。

又，

。

又，

。

，

。

（3）。