2023年江苏省苏州市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省苏州市中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市中考数学二模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列实数中，是无理数的是（    ）
A． B． C． D．0.6
2．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．为推动世界冰雪运动的发展，我国于2022年2月2日至20日举办了北京冬奥会．以下是冬奥会会标征集活动中的部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
4．如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　）

A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是8
5．如图，ABCD，∠1＝50°，∠3＝80°，则∠2的度数为（　　）

A．45° B．40° C．30° D．35°
6．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（　　）m．

A．10 B．15 C．15 D．15﹣5
7．小明早8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离与小明离开家的时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①公园与家的距离为1200米；②爸爸的速度为；③小明到家的时间为8：22；④小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇．其中，正确的说法有（    ）个

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
9．神舟十三号飞船在太空中以约每小时28440千米的速度飞行，每90分钟绕地球一圈．将28440用科学记数法表示应为_______．
10．分解因式：=______．
11．小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是_____________________．

12．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，4为半径画弧，交图中网格线于点A、B，则弧AB的长为_______．

13．若抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围为___________.
14．如图，为菱形的对角线，作于点E，交于点F．若E为的中点，则的值是_____．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，⊙C经过A，B，D，O四点，∠OAB＝120°，OB＝4，则点D的坐标是_____．

16．如图，菱形OABC在直角坐标系中，点C的坐标为（5，0），对角线OB=，反比例函数经过点A，则k等于__．


三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组，并写出它的整数解．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，已知A，F，E，C在同一直线上，∥，∠ABE=∠CDF，AF=CE．求证：AB=CD．

21．有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．

(1)从中随机抽取1张卡片，求卡片上的图案是轴对称图形的概率．
(2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片上的图案都是中心对称图形的概率．
22．某校组织八年级学生参加研学活动，有四个目的地可供选择A（世博园），B（龙山竹海），C（西郊公园），D（地质公园），要求每人必须参加，并且每人只能选择其中的一个．为了解学生对这几个目的地的选择意向，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分）．请你根据给出的信息解答下列问题：

(1)直接写出参加这次问卷调查的学生人数是______人，______；
(2)补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
(3)若该校八年级共有600名学生，试估计该校八年级选择意向为A（世博园）的学生有多少人？
23．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

24．综合与实践
如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为．

(1)直接写出：____________；（用含t的式子表示）
(2)当t为何值时，四边形为平行四边形？
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半径．

26．已知：平面直角坐标系内一直线：y＝﹣x+3分别与x轴、y轴交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，抛物线在x轴上方部分上有一动点D，连结AC；

(1)求抛物线解析式；
(2)当D在第一象限，求D到直线BC的最大距离；
(3)是否存在D点某一位置，使∠DBC＝∠ACO？若存在，请直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由．
27．（1）问题发现
如图1，ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，若∠ADE＝60°，则AB，CE，BD，DC之间的数量关系是　 　．
（2）拓展探究
如图2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，点D，E分别在边BC，AC上．若∠ADE＝α，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）解决问题
如图3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速运动，同时点M从点B出发，以cm/s的速度沿B→C方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接PM，在PM右侧作∠PMG＝30°，该角的另一边交射线CA于点G，连接PC．设运动时间为t（s），当△APG为等腰三角形时，直接写出t的值．


参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【详解】解：A选项，是无理数，该选项符合题意；
B选项，是有理数，该选项不符合题意；
C选项，，分数属于有理数，该选项不符合题意；
D选项，0.6，有限小数，属于有理数，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．D
【分析】根据整式的运算法则判断即可．
【详解】A．和不是同类项不可合并,该选项错误；
B．,该选项错误；
C．,该选项错误；
D．,该选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查整式的基础运算,关键在于熟练掌握整式的运算法则．
3．A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，图形两部分沿直线折叠后可重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转180度后与原图重合．
4．D
【分析】根据题目要求算出平均数、众数、中位数、方差，再作出选择即可．
【详解】解：A、平均数为，故选项错误，不符合题意；
B、众数为5、7、11、3、9，故选项错误，不符合题意；
C、从小到大排列为3，5，7，9，11，中位数是7，故选项错误，不符合题意；
D、方差，故选项正确，符合题意；
故选∶D．
【点睛】本题考查平均数、众数、中位数、方差的算法，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的算法是解题的关键．
5．C
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【详解】如图，

，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角性质，关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质．
6．B
【分析】先根据CD＝10m，DE＝5m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝（m），
∴AB＝BC•sin60°＝10＝15（m）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
7．D
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】根据图象可得：公园与家的距离为1200米，故①正确；
爸爸的速度为：1200÷（12＋10＋3）＝48（m/min），故②正确；
∵10＋12＋10＝22，
∴小明到家的时间为8：22分，故③正确；
小明的速度为：1200÷10＝120（m/min），
设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，
，
解得，a＝240，
即小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，从图象中获得相关信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
8．D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝EF＝3﹣x＝，
∴tan∠DAE＝，
故选：D．

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
9．
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
10．a（b+1）（b﹣1）
【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
11．
【详解】试题分析：根据题意和图示，可知所有的等可能性为18种，然后可知落在黑色区域的可能有4种，因此可求得小球停留在黑色区域的概率为：.
12．/
【分析】先求出∠AOB，再求出根据所在的圆周长求出的长
【详解】解：在方格中过点B作AO的垂线，

在构成的Rt中
OC＝2，OB＝4

故
＝＝
故答案为：
【点睛】本题考查了锐角三角函数实际应用，网格中圆弧的长度计算，构造直角三角形求出∠AOB的度数是解题的关键．
13．
【分析】抛物线与x轴有公共点，也就是方程有实数根，根据根的判别式列式求解即可.
【详解】∵抛物线与x轴有公共点，
∴方程有实数根，
∴∆=16-4m≥0，
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系；熟记抛物线与x轴的交点个数和一元二次方程根的关系是解决问题的关键．当二次函数与x轴有一个交点时，则对应的一元二次方程有两个相等的实数根；当二次函数与x轴有两个交点时，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数与x轴没有交点时，则对应的一元二次方程没有实数根.
14．
【分析】直接利用菱形的性质结合线段垂直平分线的性质得出AB＝BC＝AC，进而得出∠BFE＝60°，即可得出答案．
【详解】解：连接AC，∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠BAE＝30°，
∴∠BFE＝60°，
∴＝．
故答案为：．

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△ABC是等边三角形是解题关键．
15．(0，4)
【详解】先利用圆内接四边形的性质得到∠BDO＝60°，解直角三角形求出OD，可得结论．
【分析】解：∵四边形ABDO为圆的内接四边形，
∴∠OAB+∠BDO＝180°，
∴∠BDO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠DOB＝90°，
在Rt△ABO中，tan∠BDO＝，
∵OB＝4
∴OD＝4，
∴D（0，4）
故答案为：（0，4）．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是证明∠BDO＝60°．
16．12
【分析】如下图，根据勾股定理，先求得CE、BE的长，从而得出OD，DA的长，进而得出点A的坐标，最后得出反比例函数k的值．
【详解】如下图，过点A、B分别作x轴的垂线，交x轴于点D、E

∵四边形OCBA是菱形
∴CB=OA，OA∥CB
∴∠BCE=∠AOD
∵∠BEC=∠ADO=90°
∴△BCE≌△AOD
设CE=x
∵C(5，0)，∴OC=5=CB
则在Rt△BCE中，
在Rt△BOE中，
∴
解得：x=3
∴在Rt△CEB中，BE=4
∴OD=3，DA=4
∴A(3，4)
∴k=3×4=12
故答案为：12．
【点睛】本题考查菱形的性质，用到了三角形的全等和勾股定理，解题关键是利用勾股定理，求出CE、EB的长．
17．7
【分析】根据幂的运算，零指数幂，负整数指数幂的运算求解即可．
【详解】


．
【点睛】本题考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．不等式组的解集为，整数解为：0，1，2
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集进而求出不等式组的解集是解题的关键．
19．
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
【详解】解：原式

，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式混合运算和求值，能正确根据分式运算法则进行化简是解题关键．
20．见详解
【分析】根据全等三角形证明△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=FC，
在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB=CD．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．
21．(1)
(2)见解析，

【分析】（1）5张卡片中，有3个卡片上的图形是轴对称图形，可求出从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率；
（2）由树状图表示所有可能出现的结果情况，从中找出2次都是中心对称图形的结果数，即可求出相应的概率．
【详解】（1）5张卡片中，B、C、E是轴对称图形，因此，
从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是轴对称图形的概率为
（2）画树状图如下：

由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形的有2种结果，分别是，
∴P(两次所抽取的卡片恰好都是中心对称图形) ＝．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
22．(1)150，36
(2)C：40，图见解析
(3)120人

【分析】（1）根据A的人数和所占的百分比，可以计算出参加这次问卷调查的学生人数；然后用B的人数乘以总人数就可以求出m；
（2）根据条形统计图中的数据，即可计算出C， 从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校八年级选择意向为A（世博园）的学生有多少名．
【详解】（1）解：30÷20% = 150(人)，
即参加这次问卷调查的学生有150人；
∵，
∴，
故答案为：150，36；
（2）解：参加C的有：（人）；
补全条形统计图如图所示：

（3）解：600×20% = 120(人)，
∴估计该校八年级选择意向为A（世博园）的学生有120人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（1）见解析；（2），见解析．
【分析】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；
（2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式．
【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即，
∴
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则，
∵，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．
24．(1)，
(2)

【分析】（1）根据的值和点Q的速度是，点P的速度是，直接用t表示出的值；
（2）四边形是平行四边形，则需，可得方程，再解方程即可；
【详解】（1）解：由题意得，
∵，
∴，
故答案为： ，；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了列代数式，平行四边形的性质，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）10cm
【分析】（1）根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝8cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝6cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
【详解】（1）证明：连结OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．   
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．  
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．        
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝8cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝6cm．
在Rt△ODF中，OD＝＝10cm，
即⊙O的半径为10cm．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
26．(1)y＝﹣x2+2x+3
(2)
(3)存在，点D坐标为：（1，4）或（，）

【分析】（1）先求出点B、点C坐标，代入解析式可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，DE＝DF，则当DE有最大值时，DF有最大值，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，由面积法可求AN的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】（1）解：令y＝﹣x＋3＝0，
则x＝3
∴B（3，0）
令y＝﹣x＋3中x＝0，
则y＝3
∴C（0，3）
把（3，0）、（0，3）代入y＝﹣x2＋bx＋c
得：
解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3．
（2）解：如图1，设直线y＝﹣x＋3为l1，过点D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，交BC于点E，则D到线段BC的距离为FD的长．

∵B（3，0），C（0，3）
∴OB＝OC＝3
∴∠BCO＝∠CBO＝45°
∵DH⊥AB
∴∠BEH＝∠CBO ＝45°
∴∠DEF＝∠BEH＝45°
∵DF⊥BC
∴∠FDE＝∠DEF＝45°
∴DF＝EF
∴DE＝DF
∴当DE有最大值时，DF有最大值
设点D（m，﹣m2＋2m＋3）
则点E（m，﹣m＋3）
∴DE＝﹣m2＋2m＋3－（－m＋3）＝﹣m2＋3m＝﹣（m－）2＋
∴当m＝时，DE的最大值为
∴DF的最大值为÷＝．
（3）解：当点D在直线BC的下方时，如图2，过点A作AN⊥BC于N，设BD交OC于点P

∵OB＝OC＝3
∴BC＝3
∵抛物线y＝﹣x2＋2x＋3经过A、B两点
令y＝﹣x2＋2x＋3＝0
则x＝﹣1或3
∴点A（﹣1，0）
∴AO＝1，AB＝4
∴AC＝
∵S△ACB＝×AB×CO＝×BC×AN
∴4×3＝3×AN
∴AN＝2
∴CN＝
∵∠DBC＝∠ACO
∴∠DBC＋∠BCO＝∠ACO＋∠BCO
∴∠BPO＝∠ACB
∴tan∠ACB＝tan∠OPB＝
∴
∴OP＝
∴点P（0，）
设PB所在直线的一次函数为y＝k x＋b
将（0，），（3，0）代入，得

解得：
则直线PB解析式为：y＝﹣x＋
联立方程组可得：
解得：或
∴点D（﹣，）
当点D在直线BC的上方时，如图3，过点A作AN⊥BC于N，过点D作DQ⊥AB于Q

设点D（n，﹣n2＋2n＋3）
∴DQ＝﹣n2＋2n＋3，OQ＝n
∴BQ＝3﹣n
∵∠DBC＝∠ACO
∴∠ACN＝∠DBQ
∴tan∠ACN＝tan∠DBQ＝
∴
∴n＝3（不合题意）或n＝1
∴点D（1，4）
综上所述：点D坐标为：（﹣，）或（1，4）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、勾股定理、解二次一次方程组、二元二次方程组及锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想是解题的关键．
27．（1）；（2）结论成立，见解析；（3）1或2
【分析】（1）问题发现：通过角的关系可证△ABD∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例可得到线段的关系；
（2）拓展探究:可证明△ABD∽△DCE，即可得到结论；
（3）解决问题:可证△PBM∽△MCG，然后得到，用t可表示线段的长，当G点在线段AC上时，若△APG为等腰三角形时，则AP＝AG，代入计算即可；当G点在CA延长线上时，若△APG为等腰三角形时，则△APG为等边三角形，代入计算得到t．
【详解】解：（1）问题发现
AB，CE，BD，DC之间的数量关系是：，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，
∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴．
故答案为：．
（2）拓展探究
（1）中的结论成立，
∵AB＝AC，∠B＝α，
∴∠B＝∠C＝α，
∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，
∵∠ADE＝α，
∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴；
（3）解决问题
∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，
∵∠PMG＝30°，
∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，
∴∠BPM＝∠CMG，
又∠B＝∠C＝30°，
∴△PBM∽△MCG，
∴，
由题意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，
如图1，过点A作AH⊥BC于H，

∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，
∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BC＝2BH＝4cm，
∴MC＝（4t）cm，
∴，即CG＝3t，
当G点在线段AC上时，若△APG为等腰三角形时，则AP＝AG，如图2，

此时AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，
∴4﹣3t＝t，
解得：t＝1，
当G点在CA延长线上时，若△APG为等腰三角形时，如图3，

此时∠PAG＝180°﹣120°＝60°，则△APG为等边三角形，AP＝AG，
此时AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，
∴3t﹣4＝t，
解得：t＝2，
∴当△APG为等腰三角形时，t的值为1或2．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握分类的思想方法是解题的关键．