2023年高考第三次模拟考试卷-数学（全国甲卷理）（参考答案）

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2023年高考数学第三次模拟考试卷数学·参考答案123456789101112CBDAABCCBACB 13．-4 （5分）14． （5分）15．  （5分） 16．（5分）17．解：记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，3，且事件相互独立．（1）记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，则事件发生表示事件或或发生，且，，互斥．           又，（2分），（3分）．          （4分）        由互斥事件概率加法公式可得．（5分）答：3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336．   （2）因表示3个回合后乙的得分，则0，1，2，3．，， （6分）      ．  (7分）．        （8分）所以，随机变量的概率分布列为：（10分）01230.2160.3360.3040.144故随机变量的数学期望为=．（12分）答：的数学期望为1.376．18.（1）(1)证明　由（3分）即－＝，n∈N*，故数列是等差数列.（6分）(2)由（1）知＝＋＝，（9分）所以，n∈N*.（12分）19．（1）证明：在四边形中，作于，于，因为，所以四边形为等腰梯形，（2分）所以，故，，所以，所以，（4分）因为平面，平面，所以，又，所以平面，又因为平面，所以；（6分）（2）解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，，则，则，（8分）设平面的法向量，则有，可取，（10分）则，（12分）所以与平面所成角的正弦值为.20．（1）（1）解：设直线，，由可得，，（2分）所以，所以当，即与x轴垂直时弦长最短，此时，所以，所以抛物线C的方程为；（4分）（2）解：设，直线由可得，，（6分）由斜率公式可得，，直线，代入抛物线方程可得，（8分），所以，同理可得，（10分）所以，所以．（12分）21.（1）由题意函数的定义域为，且，因为函数的图象在处切线与直线平行，可得，解得，（2分）所以，则，（3分）由，即，得，故在上单调递减；（4分）由，即，得，故在上单调递增.（5分）（2）由，因为是函数的两个零点，可得，两式相减，可得，（6分）整理得，即，所以，（8分）令，由，知，则 构造函数，则有，（10分）所以函数在上单调递增，故，即，又，所以，即.（12分）22．（1）曲线普通方程，将，代入上式化简得的极坐标方程为．（3分）（2）曲线的极坐标方程化为平面直角坐标方程：，（4分）将代入上式得，解得（舍去）．（5分）当时，，所以与交点的平面直角坐标为．（7分）因为，（9分）所以，故与交点的极坐标．（10分）考点：坐标系与参数方程．23．(1)因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥，两边同时取三次幂得，故.（2分）当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为；（4分）(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＝ (a＋b＋c) ＝，（8分）当且仅当时等号成立.所以.（10分）