2023年高考第三次模拟考试卷-数学（云南，安徽，黑龙江，山西，吉林五省通用A卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

数学·参考答案

13．（5分）  14．32（5分）  15．（5分）    16．220（5分）

17．【解析】（1）因为 ①，

所以当时， ②．（2分）

因为，所以由得，即．

所以，即．

由，（4分）

得，所以，所以．

所以数列是以-2为首项，-3为公差的等差数列．（5分）

（2）由（1）得，

即，（6分）

所以．（8分）

所以

．（10分）

18．【解析】（1）选①，根据余弦定理展开，即，

所以，由得；（6分）

选②，根据正弦定理可得，

因为，

所以，因为，所以，

由得；（6分）

选③，根据正弦定理和三角形的恒等变换得：

，

因为，化简可得，

得，由得；

，

，∴，

由已知，，，

．（6分）

（2）（8分）

，

∵为锐角三角形，∴，（10分）

∴，，所以．（12分）

19．【解析】（1）解法一：

如图1，取AB中点O，连接PO，CO.

因为，，所以，，.（1分）

又因为是菱形，，所以，.

因为，所以，所以.

又因为平面，平面ABCD，，

所以平面.

因为，平面PBC，平面PBC，

所以平面PBC，

所以.（3分）

因为，

所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，

所以.（5分）

解法二：

如图2，取AB中点O，连接PO，CO，

因为，，

所以，，，（1分）

又因为是菱形，，

所以，.

因为，所以，所以.

因为平面PAB，平面PAB，，

所以平面PAB.

所以，.（3分）

过M作交AP于点N，，所以.

又平面PBC，平面PBC，

所以平面PBC，所以.

因为，，

所以，

所以N是PA的中点，所以M是PD的中点，所以.（5分）

（2）由（1）知，，，.

如图3，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，所以，，，，，.（7分）

因为，设，则，

因为，，，，故存在实数a，b，使得，（8分）

所以，解得，

所以.

设平面的法向量为，则，即，（10分）

取，得到平面的一个法向量.

设平面与平面夹角是，

又因为是平面的一个法向量，

则.

所以平面与平面夹角的余弦值是.（12分）

20．【解析】（1）记事件“小明先答对甲类一道试题”，“小明继续答对另一道甲类试题”，

“小明答对乙类试题”，“小明答对丙类试题”，

则，，，（2分）

记事件“小明答题次数恰好为次”，则.

，

即小明答题次数恰好为次的概率为.（5分）

（2）设小明竞赛得分为，由方案二知的可能值为、、、.

，

，

，

.

所以，.（11分）

因为，所以选择方案一. （12分）

21．【解析】（1）由抛物线的定义得，解得，

则抛物线的标准方程为.（4分）

（2）依题意知直线与直线的斜率存在，设直线方程为，

由得直线方程为：，

由，解得，（6分）

由，解得

由得，假定在轴上存在点使得，（8分）

设点，则由（1）得直线斜率，直线斜率，

由得，则有，即，

整理得，

显然当时，对任意不为0的实数，恒成立，（10分）

即当时，恒成立，恒成立，

所以轴上存在点使得.（12分）

22．【解析】（1）因为，所以，

又在处的切线方程为，所以故，

又，所以切线方程为，故，

所以，则（2分）

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上，的单调递减区间为，单调递增区间为.（4分）

（2）且.

由曲线恒在直线的上方,知.

当时，等价于，即（5分）

设则.

由（1）可知，当时，单调递增,所以.（6分）

设，则，

当时，，所以在上单调递减，

所以.

所以当时，，所以在上单调递增，（8分）

所以，所以.

当时，等价于，即

设由①可知.

由（1）可知，当时，单调递减,所以.

再设，则，

当时，所以在上单调递增，所以.（10分）

所以当时，，所以在上单调递增，

所以，所以.

综上可知，存在实数，使得曲线恒在直线的上方.（12分）