2023年高考第三次模拟考试卷-数学（新高考Ⅰ卷A卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．ABD    10．AB    11．ABD    12．ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．    14．    15．   16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）在中，由余弦定理，得，（1分）

∴，整理得,

解得或（舍去）．（2）

∴，（3分）

而,故,

∴，（4分）

故在中，

，

∴；（5分）

（2）设,则在中，,（6分）

则，（7分）

所以，（9分）

当，即时，面积取到最大值.（10分）

18．（12分）

【答案】（1）证明见解析；；（2）.

【解析】（1）∵，，

∴，，

设，则，，（1分）

又∵数列为等差数列，∴，

∴，（2分）

∴，

当时，，（3分）

∴，

∴，（5分）

又∵，

∴，即：，（6分）

又∵，∴是以1为首项，为公比的等比数列，（7分）

∴，即；（8分）

（2）∵，且，

∴，（9分）

∴（10分）

，（12分）

∴.

19．（12分）

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）证明：等腰梯形中，，，

作交于，（1分）

如图，则是菱形，，是等边三角形，（2分）

则，，，

所以，即，（3分）

又，，平面，

所以平面，（4分）

又平面，所以平面平面；（5分）

（2）点在底面的射影为，由（1），得在上，且，

又，所以，而由（1）知，因此，（6分）

建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，

则，（7分）

又，，所以，

设（），，

，，（8分）

设平面的法向量为，

则，

取，则，取平面的法向量，（9分）

，则（负值舍去），

即，，（10分）

设直线与平面所成的角为，则，

所以，直线与平面所成的角正弦值为.（12分）

20．（12分）

【答案】（1）；（2）；（3）方案二更好，理由见解析

【解析】（1）人全通过初赛的概率为，（1分）

所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.（2分）

（2）甲参加市知识竞赛的概率为，（3分）

乙参加市知识竞赛的概率为，（4分）

丙参加市知识竞赛的概率为，（5分）

所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.（6分）

（3）方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，

则，且，（7分）

所以元，（8分）

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，

则的所有可能取值为、、、，

则，

，

，

，（10分）

所以，.（11分）

所以，，

所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．（12分）

21．（12分）

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）作，垂足为，则.

因为，所以，.（2分）

因为点在抛物线上，所以，

消去得：，解得.（3分）

所以抛物线的方程为.（4分）

（2）设，

由，消去得.（5分）

则，因为，所以，（6分）

则.（7分）

依题意知直线的方程为，直线的方程为.

由，得点的坐标为.

由得的坐标为.（9分）

要证，即证，即证.

即证，即证. （10分）

因为，，

所以

.

即，所以.（12分）

22．（12分）

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）依题意，.（1分）

①当时，在上，所以在上单调递减，

所以，所以不符合题设.（2分）

②当时，令，得，

解得，

所以当时，所以在上单调递减，

所以，所以不符合题设.（3分）

③当时，判别式，所以，

所以在上单调递增，所以.

综上，实数a的取值范围是.（5分）

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极大值点，是的极小值点. （6分）

由（1）知，，，则.（7分）

综上，要证，只需证，

因为

，（9分）

设，.（10分）

所以，

所以在上单调递增，所以.

所以，即得成立．（12分）

所以原不等式成立.