2023年高考第三次模拟考试卷-数学（北京B卷）（参考答案）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

高三数学·参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11、     12、     13、     14、     15、②③

三、解答题共6小题，共85分．

16.（本小题13分）

【答案】(1)(2)见解析

【详解】（1）因为，所以，.................2分

又，所以..................4分

因为，所以..................5分

（2）选①：由余弦定理可得，

即，此时，无解，不合题意...................7分

选②：由余弦定理可得，整理得，.................10分

解得或（舍），即..................11分

满足存在且唯一确定，则的面积为...................13分

选③：，由正弦定理可得.................9分

由余弦定理可得，，即...................10分

解得，..................11分

当时，，不合题意；

所以，满足存在且唯一确定，..................12分

则的面积为..................13分

17．（本小题13分）

【答案】(1)证明见解析 (2)

【详解】（1）选条件①：

因为，平面，平面，

所以平面..................1分

因为平面平面，

所以..................2分

又， 所以四边形为平行四边形．

所以且．..................3分        

因为且，所以且．

所以为的中位线．        

所以为的中点．..................5分

选条件②：．

因为平面，平面，所以．..................1分

在中，．    

在直角梯形中，

由，，可求得，所以．..................2分

因为，所以为的中点．..................3分    

因为，平面，平面， 所以平面．

因为平面平面，所以． ..................4分           

所以，

所以为的中点；..................5分

（2）由题可知因为平面，所以．..................6分

又，所以两两相互垂直．

如图建立空间直角坐标系，            

则，，，，，．..................8分

所以，，．..................9分

设平面的法向量为，则，即

令，则，．于是．..................10分

因为平面，且，所以平面，

又平面，所以．

又，且为的中点，所以．平面，

所以平面，所以是平面的一个法向量．..................11分    

．..................12分

由题设，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．..................13分

18．（本小题14分）

【答案】(1)(2)1(3)

【详解】（1）设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件，在组10户中超过20次的有3户，由样本频率估计总体概率，则...................2分

（2）由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为，X的可能取值为0，1，2，所以，

，，

，．..................10分

（3）依题可知，，的可能取值为0，1，2，且，服从超几何分布，

，，，

，，，

因为，，所以，

，

，所以，．..................14分

19．（本小题15分）

【答案】(1) (2)证明见解析 (3)

【详解】（1）解：当时，，则，..................2分

则，，..................4分

所以，函数在点处的切线方程为...................5分

（2）解：当时，，该函数的定义域为，..................6分

则，..................8分

当时，，此时函数单调递减，..................9分

当时，，此时函数单调递增，..................10分

所以，，即...................11分

（3）解：，则，且，

由题意可知，对任意的，.

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，所以，...................12分

①当时，即当时，，

此时函数在上单调递增，

故当时，，合乎题意；..................13分

②当时，即当时，由可得，即，

此时，

解得，，则，

由韦达定理可得，必有，

当时，，此时函数单调递减，则，不合乎题意...........14分

综上所述，实数的取值范围是...................15分

20．（本小题15分）

【答案】(1)(2)

【详解】（1）点为椭圆的上顶点，∴，..................1分

当轴时，点关于轴对称，不妨设点在轴上方，

又因为此时，点在线段上，所以，点坐标为，............2分

故，解得，..................3分

所以椭圆的方程为...................4分

（2）当直线不存在斜率时，则直线的方程为，..................5分

不妨设点在轴上方，在轴下方，

则，所以，直线的方程为，当时，解得点的纵坐标为，同理，解得点的纵坐标为，

所以...................7分

当直线存在斜率时，设其方程为，点与椭圆的顶点不重合，则且，

由消并整理得，，易得，..................8分

设，则，..................10分

，..................11分

又直线的方程为，

当时，解得点的纵坐标为；

同理，解得点的纵坐标为，..................12分

所以，

..................13分

令，则且，

所以且...................15分

综上，的取值范围是.

21．（本小题15分）

【答案】(1)、、，、、、(2)证明见解析(3)证明见解析

【详解】（1）解：、、，、、、，、、，...............2分

、、、，、、、...................4分

（2）证明：设每项均是正整数的有穷数列为、、、，

则为、、、、，..................5分

从而．..............7分

又 ，..................8分

所以，

故．..................10分

（3）解：设是每项均为非负整数的数列，，．

当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，

则．..................11分

当存在，使得时，若记数列，，为，

则．

所以．..................12分

从而对于任意给定的数列，由，1，2，…

可知．

又由（2）可知，所以．..................13分

即对于，要么有，要么有．

因为是大于的整数，所以经过有限步后，必有．

即存在正整数，当时，...................15分