2022-2023学年河北省唐山市丰南区八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省唐山市丰南区八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. −3B. x2+0.1C. 31−aD. x+1
2. 若式子 x−2023在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2023B. x≥−2023C. x>2023D. x≠2023
3. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A. 1，2，3B. 6，10，8C. 12，13，25D. 3，4，6
4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 8B. 12C. 18D. 22
5. 如图，Rt△ABC中，AC=2，AB=4，则BC的长为( )
A. 2
B. 3
C. 10
D. 2 3
6. 下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 6− 2=2C. (− 2)2=2D. (−3)2=−3
7. 已知a= 3+2，b= 3−2，则 ab+1的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则正方形A的面积为( )
A. 28
B. 56
C. 84
D. 6 21
9. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO=1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为( )
A. −0.4B. − 2C. 1− 2D. 2−1
10. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c.下列条件中，不能说明△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=∠CB. a2=b2+c2
C. ∠A=2∠BD. a：b：c=3：4：5
11. 如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12.则图中阴影部分的面积是( )
A. 16B. 25C. 144D. 169
12. 若一个长方体的长为2 6cm，宽为 3cm，高为 8cm，则它的体积为( )
A. 21cm3B. 24cm3C. 21cm3D. 24cm3
13. 若最简二次根式 2x+1和 4x−3能合并，则x的值可能为( )
A. −12B. 34C. 2D. 5
14. 如图，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点A.若点A的坐标为(5 2,0)，P点的纵坐标为−1，则P点的横坐标为( )
A. 7B. 51C. 5 2D. 2 13
15. 如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是2和18，则剩余区域的面积是( )
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
16. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A. 5 21
B. 25
C. 10 5+5
D. 35
二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）
17. 计算：| 3−3 5|+ 3= ______ ．
18. 已知某直角三角形的一条直角边和斜边长分别为5和13．
(1)该直角三角形的另一直角边长为______ ；
(2)该直角三角形斜边上的高为______ ．
19. 已知长方形的长a= 32，宽b=13 18．
(1)该长方形的周长为______ ；
(2)该长方形的面积为______ ，若另一个正方形的面积与该长方形面积相等，则该正方形的周长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
计算：
(1) 8+ 18− 32．
(2)2 10×5 15÷ 6．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．
(1)求∠BAC的度数．
(2)若AC=2，求AD的长．
22. (本小题8.0分)
在一个长为( 10+2 5)，宽为2 5的矩形内部挖去一个边长为2 3的正方形，求剩余部分的面积．
23. (本小题8.0分)
某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行12海里到达B岛，然后沿某方向航行16海里到达C岛，最后沿某个方向航行了20海里回到港口A，则该船从B到C是沿哪个方向航行的，请说明理由．
24. (本小题8.0分)
已知a= 2+1，b= 2−1，求下列代数式的值：
(1)a2+b2；
(2)1a+1b．
25. (本小题8.0分)
如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．
(1)求旗杆距地面多高处折断；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
26. (本小题8.0分)
根据要求，解答问题．
(1)观察下列各式：
1+112+122=1+11×2， 1+122+132=1+12×3， 1+132+142=1+13×4，…
根据以上规律，你所发现的结论为 1+1n2+1(n+1)2=______(n为正整数)；
(2)当n=5时，由你发现的结论可得 1+152+162=______，并验证n=5时结论的正确性；
(3)计算：
1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+182+192．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 −3，含有二次根号，但被开方数是负数，不是二次根式，不合题意；
B、 x2+0.1，含有二次根号，且被开方数x2+0.1>0，一定是二次根式，符合题意；
C、31−a，含有三次根号，不是二次根式，不合题意；
D、 x+1含有二次根号，但当x<−1时，x+1<0，不是二次根式，不合题意．
故选：B．
根据二次根式的概念，形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，进行判断即可．
本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵式子 x−2023在实数范围内有意义，
∴x−2023≥0，
∴x≥2023，
故选：A．
根据二次根式有意义的条件是被开方式为非负数得到x−2023≥0，解不等式即可得到答案．
此题考查了二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
B、62+82=102，能构成直角三角形，故选项B符合题意；
C、122+132≠252，不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
D、32+42≠62，不能构成直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：B．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
4.【答案】D
【解析】解：A.根据最简二次根式的定义， 8=2 2，那么 8不是最简二次根式，故A不符合题意．
B.根据最简二次根式的定义， 12=2 3，那么 12不是最简二次根式，故B不符合题意．
C.根据最简二次根式的定义， 18=3 2，那么 18不是最简二次根式，故C不符合题意．
D.根据最简二次根式的定义， 22中的22不存在开方开得尽的因数，那么 22是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
根据最简二次根式的定义(二次根式的被开方数中不存在开方开得尽的因数)解决此题．
本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，
BC= AB2−AC2= 42−22=2 3．
故选：D．
根据勾股定理分析计算即可．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关知识是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，所以A选项错误；
B、 6与− 2不能合并，所以B选项错误；
C、原式=2，所以C选项正确；
D、原式=3，所以D选项错误．
故选：C．
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7.【答案】A
【解析】解：a= 3+2，b= 3−2，
∴ab=( 3+2)( 3−2)=−1，
∴ ab+1= (−1)+1= 0=0．
故选：A．
根据a和b的值先求出ab的值，再代入 ab+1中进行求解即可．
本题考查了代数式求值涉及二次根式运算，利用平方差公式计算ab是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2=28+56=84，
∴正方形A的面积为84，
故选：C．
根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC= 2，推出OC= 2−1即可解决问题；
本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
【解答】
解：在Rt△AOB中，AB= OB2+OA2= 2，
∴AB=AC= 2，
∴OC=AC−OA= 2−1，
∴点C表示的数为1− 2．
故选C．
10.【答案】C
【解析】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形；
B、a2=b2+c2符合勾股定理逆定理，能说明△ABC为直角三角形；
C、不能说明△ABC为直角三角形，例如∠A=40°，∠B=20°，符合条件，但此时∠C=120°，不是直角三角形；
D、设a=3x，b=4x，c=5x，
∵(3x)2+(4x)2=(5x)2，
∴能构成直角三角形．
故选：C．
根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误，根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误．
此题主要考查了直角三角形的判定，可从边或角的关系来判定；关键是掌握勾股定理逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2=b2+c2，那么这个三角形就是直角三角形．
11.【答案】B
【解析】解：
根据勾股定理得出：AB= AC2−BC2= 132−122=5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是EP2+PF2=25，
故选：B．
根据勾股定理求出AB即可．
此题考查勾股定理，解决此题的关键是清楚阴影部分的两个正方形的面积和等于EF的平方．
12.【答案】D
【解析】解：V=abc
=2 6× 3× 8
=2 6×3×8
=2 144
=2×12
=24(cm3)，
故选：D．
利用长方体的体积公式求值即可．
本题考查的是二次根式的应用，解题的关键是要掌握二次根式乘法法则．
13.【答案】C
【解析】解：∵最简二次根式 2x+1和 4x−3能合并，
∴2x+1=4x−3，
解得x=2．
故选C．
根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
14.【答案】A
【解析】解：由画法知，OP=OA=5 2．
在Rt△OBP中，OP=5 2，OB=1，
由勾股定理，知BP= OP2−OB2= (5 2)2−12=7．
故选：A．
根据题意知：OP=OA=5 2.在Rt△OBP中，利用勾股定理求得BP的长度即可．
本题考查的是勾股定理与两点间的距离公式，根据题意利用勾股定理求出BP的长是解答此题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：∵A，B两正方形区域的面积分别是2和18，
∴A，B两正方形边长分别是 2和3 2，
∴剩余区域的面积是3 2×(3 2+ 2)−2−18=3 2×4 2−20=24−20=4．
故选：D．
根据两个正方形的面积分别求出边长，表示出长方形的长和宽求出总面积，再减去A、B两个正方形的面积即可得出最后的结果．
本题考查了二次根式的应用，正确计算是解答本题的关键．
16.【答案】B
【解析】解：将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，
(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，
由勾股定理得：AB= AD2+BD2= 152+202= 625=25．
(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，
由勾股定理得，AB= AC2+BC2= 52+302= 925=5 37．
(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB= BD2+AD2= 102+252=5 29；
由于25<5 29<5 37，
故选：B．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
17.【答案】3 5
【解析】解：| 3−3 5|+ 3
=3 5− 3+ 3
=3 5．
故答案为：3 5．
先去绝对值符号，再进行加法运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】12 6013
【解析】解：(1)由勾股定理可得另一直角边长为 132−52=12．
故答案为：12；
(2)设该直角三角形斜边上的高为h，
根据面积相等可得12×13×h=12×5×12，
解得：h=6013．
故答案为：6013．
(1)根据勾股定理求出直角三角形的另一条直角边的长即可；
(2)根据面积相等求出斜边上的高即可．
本题考查了勾股定理的逆应用和求三角形的高，正确计算是解答本题的关键．
19.【答案】10 2 8 8 2
【解析】解：(1)该长方形的周长为：
2(a+b)
=2( 32+13 18)
=8 2+2 2
=10 2；
(2)长方形的面积为： 32×13 18=8，
∴正方形的面积为：8，
∴正方形的边长为： 8=2 2，
∴正方形的周长为：2 2×4=8 2．
故答案为：(1)10 2；(2)8，8 2．
(1)根据长方形的周长公式即可求出答案；
(2)根据长方形的面积公式即可求出面积，正方形面积等于长方形面积，再根据正方形面积可求出正方形的边长．
本题考查二次根式的应用，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
20.【答案】解：(1)原式=2 2+3 2−4 2
= 2；
(2)原式=10 10×15÷6
=50．
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)根据二次根式的乘除法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21.【答案】解：(1)∠BAC=180°−60°−45°=75°；
(2)∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=2，
∴AD= 2．
【解析】(1)根据三角形内角和定理，即可推出∠BAC的度数；
(2)由题意可知AD=DC，根据勾股定理，即可推出AD的长度．
本题主要考查勾股定理、三角形内角和定理，关键在于推出AD=DC．
22.【答案】解：由题意可得，( 10+2 5)×2 5−(2 3)2=2 50+20−12=10 2+8．
即剩余部分的面积为10 2+8．
【解析】用矩形的面积减去正方形的面积即可求出剩余部分的面积．
此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解本题的关键．
23.【答案】解：如图，∵AB=12海里，BC=16海里，AC=20海里，
∴AB2+BC2=122+162=400=202=AC2，
∴∠ABC=90°，
由题知∠1=32°，
∴∠2=180°−∠ABC−∠1
=58°，
∴该船从B到C沿着南偏西58°方向航行．
【解析】本题主要考查勾股定理的逆定理，方向角，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，再利用直角三角形的性质可求解∠2，进而可求解．
24.【答案】解：∵a= 2+1，b= 2−1，
∴a+b=2 2，ab=1；
(1)原式=(a+b)2−2ab
=8−2
=6
(2)原式=a+bab=2 2．
【解析】(1)根据完全平方公式即可求出答案．
(2)根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．
25.【答案】解：(1)由题意可知：AC+BC=8米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=4米，
∴AC=3米，BC=5米，
故旗杆距地面3米处折断；
(2)如图，

∵D点距地面AD=3−1.25=1.75米，
∴B′D=8−1.75=6.25米，
∴AB′= B′D2−AD2=6米，
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【解析】(1)由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，所以可求得AC，BC的长，
(3)易求D点距地面3−1.25=1.75米，B′D=8−1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB′=6米，所以6米内有危险．
本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
26.【答案】1+1n(n+1) 1+15×6
【解析】解：(1) 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)(n为正整数)；
(2) 1+152+162=1+15×6，
验证： 1+152+162= 1+125+136= 25×36+36+2525×36= 96125×36=3130，
1+15×6=1+130=3130，
所以 1+152+162=1+15×6；
故答案为1+1n(n+1)；1+15×6，
(3)原式=1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+18×9
=8+1−12+12−13+13−14+…+18−19
=8+1−19
=809．
(1)利用三个等式中数字之间的联系可得到 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；
(2)利用(1)的规律写出结果，然后根据二次根式的性质通过计算进行验证；
(3)利用(1)中的规律得到原式=1+11×2+1+12×3+1+13×4+…+1+18×9，然后利用1n(n+1)=1n−1n+1进行计算．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质．也考查了规律型问题的解决方法．