3．2　简单图形的坐标表示

1．根据图形特点和问题的需要灵活建立平面直角坐标系确定点的坐标；(重点)

2．简单几何图形中特殊点的坐标的求法；(难点)

3．用平面直角坐标系解决图形问题．(难点)

一、情境导入

如图，长方形ABCD的长与宽分别是6，4，以A点为原点，AD边所在的直线为x轴建立直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．你还能以其他的方式建立直角坐标系吗？

二、合作探究

探究点一：简单图形的点的坐标

要修建一个平行四边形的花坛，A(－3，－2)，B(－3，－1)，C(1，－2)为此花坛的三个顶点，你能根据这三个点的坐标写出第四个顶点D的坐标吗？点D是唯一的吗？

解：如图所示，点D的坐标不是唯一的，符合条件的点D的坐标有(－7，－1)，(1，－1)或(1，－3)．

方法总结：解决坐标系中的图形问题，应紧密联系常见几何图形的性质，运用数形结合的思想，将几何问题转化为代数问题．

探究点二：建立合适的平面直角坐标系表示图形中的点的坐标

如图，梯形ABCD的上底为4，下底为6，高为3，建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．

解析：可以以A为原点，以AB所在直线为x轴作平面直角坐标系进行求解．

解：(答案不唯一)如图，以AB的中点O为原点，分别以AB所在直线和过点O的AB的中垂线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．此时点O的坐标为(0，0)，OA＝OB＝3，点A，B的坐标分别为A(－3，0)，B(3，0)．因为高为3，CD的长为4，则点D，C坐标分别为(－2，3)，(2，3)．

方法总结：根据已知条件建立适当的直角坐标系是确定点的位置的必经过程．通常以某已知点为原点，以某些特殊线段所在直线(如高、中线、对称轴)为x轴或y轴，使图形中尽量多的点在坐标轴上．

探究点三：在坐标轴中求图形的面积

如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0，0)，B(9，0)，C(7，5)，D(2，7)．试确定这个四边形的面积．

解析：由于四边形不是规则的四边形，所以可以考虑把它分成三角形或规则的四边形来解决．

解：分别过点D、C向x轴作垂线，垂足分别为点E、F，则四边形ABCD被分割为△AED、△BCF及梯形CDEF.由各点的坐标可得AE＝2，DE＝7，EF＝5，FB＝2，CF＝5.∴S四边形ABCD＝S△AED＋S梯形CDEF＋S△CFB＝×2×7＋×(7＋5)×5＋×5×2＝7＋30＋5＝42.

方法总结：在直角坐标系中求不规则多边形的面积，一般采用割补法，将其割补为规则图形，从而求出面积．

探究点四：简单图形的几何问题

在如图①所示的网格中建立平面直角坐标系，在坐标平面内描出点O(0，0)，P(5，5)，M(2，－1)，N(－1，2)，连接OP、OM、ON、PM、PN，并直接回答下列问题：

(1)试判断射线OP与∠MON的关系；

(2)试判断OM与PM、ON与PN的位置关系；

(3)试判断线段OM、ON的大小关系．

解析：(1)首先利用勾股定理计算出NO、MO、NP、PM的长，再利用全等三角形的判定得出△PON≌△POM，从而得出OP是∠MON的平分线；(2)利用勾股定理的逆定定理得出△PNO是直角三角形，同理可得出△PMO也是直角三角形，即可得出答案；(3)由(1)可得OM＝ON.

解：如图②所示．(1)∵点O(0，0)，P(5，5)，M(2，－1)，N(－1，2)，∴NO＝＝，MO＝＝，NP＝＝3，PM＝＝3，OP＝5.在△NOP和△PON中

∴△PON≌△POM.∴∠NOP＝∠MOP.∴OP是∠MON的平分线；

(2)∵NO＝，NP＝3，OP＝5，∴NO2＋NP2＝OP2，∴△PNO是直角三角形，同理可得△PMO也是直角三角形，∴OM⊥PM，ON⊥PN；

(3)由(1)可得OM＝ON.

方法总结：在平面直角坐标系中要善于运用勾股定理求线段长度或证明相关结论．

三、板书设计

简单图形的坐标表示

1．特殊点的坐标

2．建立适当的平面直角坐标系

从学生掌握的情况来看，对于如何建立坐标系表示点的坐标熟练一些，而给出不规则图形点的坐标求图形的面积有一些困难，特别是不懂方法技巧，在今后的教学中有待逐步强化，全面提高.