2023届高考数学二轮复习 微专题作业1 变角与变式在三角求值中的应用（含解析）

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1.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋csα＝－eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))的值为________．
2．若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,6)，则tanα＝________．
3．已知θ为锐角，cs(θ＋30°)＝eq \f(4,5)，则sinθ＝______．
4．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(5),5).则
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))的值为________．
5．已知α，β均为锐角，且sinα＝eq \f(3,5)，tan(α－β)＝－eq \f(1,3).则csβ的值为________．
6．已知sinα＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝________.
7.已知向量m＝(eq \r(3)csx，－1)，n＝(sinx，cs2x)．
(1)当x＝eq \f(π,3)时，求m·n的值；
(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，且m·n＝eq \f(\r(3),3)－eq \f(1,2)，求cs2x
的值．
微专题1
1．答案：－eq \f(1,3).
解析：由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋csα＝－eq \f(\r(3),3)，展开化简可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,3)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝
cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))))＝
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,3).
2．答案：eq \f(7,5).
解析：tanα＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq \f(\f(1,6)＋1,1－\f(1,6))＝eq \f(7,5).
3．答案：eq \f(3\r(3)－4,10).
解析：因为θ为锐角，cs(θ＋30°)＝eq \f(4,5)，所以sin(θ＋30°)＝eq \f(3,5)，所以sinθ＝sin[(θ＋30°)－30°]＝sin(θ＋30°)cs 30°－cs(θ＋30°)sin30°＝eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(3\r(3)－4,10).
4．答案：eq \f(4－3\r(3),10).
解析：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，所以θ－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(5),5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝－eq \f(2\r(5),5).sinθ＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))))＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＝－eq \f(\r(10),10).
csθ＝－eq \r(1－sin2θ)＝
－eq \f(3\r(10),10).所以sin2θ＝2sinθ·csθ＝eq \f(3,5)，cs2θ＝1－2sin2θ＝eq \f(4,5).所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝cs 2θcseq \f(π,3)－sin2θsineq \f(π,3)＝eq \f(4－3\r(3),10).
5．答案：eq \f(9\r(10),50).
解析：因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，从而－eq \f(π,2)