21.2 解一元二次方程-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）

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21.2解一元二次方程培优第一阶——基础过关练一、单选题1．方程的解是（         ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由原方程可得：x2=1，两边开平方可得：，故选：C．2．如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(        )A．    B．     C．     D．【答案】A【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，∴3＋1＝−p，3×1＝q，∴p＝−4，q＝3，所以这个一元二次方程是，故选：A．3．用配方法解方程：，下列配方正确的是（          ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意可得：，∴；故选A．4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（          ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【详解】解：根据题意得Δ＝＝0，解得m＝9，故选：A．5．关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（         ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【详解】解：设方程的另一根为x2．∵关于x的方程的一个根为1，∴x=1满足关于x的一元二次方程，∴，解得m=-4；又由韦达定理知1×x2=3，解得x2=3．故方程的另一根是3．故选：A．6．下列一元二次方程无实数根的是（          ）A．    B．    C．    D．【答案】C【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；C．，方程没有实数根，符合题意；D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；故选： C．二、填空题7．一元二次方程的根是____________．【答案】或【详解】解：由题意可知：或，∴或，故答案为：或．8．关于x的方程无实数解，则m的取值范围________．【答案】【详解】∵无实数解，∴m+1<0，解得故答案为．9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】解：根据题意得Δ=(-4)2-4×1×(-2m+5)＞0，解得m>，所以实数m的取值范围是m>．故答案为：m>．10．方程的根是___________．【答案】或【详解】解：移项，得：，将左边因式分解，得：，即，∴或，解得：或，故答案为：或．三、解答题11．用适当的方法解下列方程：(1)      (2)       (3)       (4)．【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)，【解析】(1)解：将移项得，开平方得，解得，；(2)解：在中，∴，解得，；(3)解：由得，∴或，解得，；(4)解：将两边加上1得，即，开平方得，解得，．12．已知关于x的一元二次方程．(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当时，用合适的方法求此时该方程的解．【答案】(1)，且；(2)，【解析】(1)解：由题意得:＞0，即：，，解得：，∵该方程为一元二次方程，∴，∴当，且时，方程有两个不相等的实数根；(2)解：当m＝2时，方程为，∵＝9＋4×2×2＝25＞0，∴，∴，．培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．关于的方程有实数根，则的取值范围值是（          ）A． B． C．且 D．且【答案】A【详解】解：当方程为一元二次方程时，m-1≠0，即m≠1．∵关于x的方程有实数根，∴，解得；当方程为一元一次方程时，m-1=0且m≠0，则m=1，综上，时方程有实数根．故选：A．2．关于的方程有两个实数根，，且，则的值为（         ）A．1 B．5 C．0或5 D．1或5【答案】B【详解】解：关于的方程有两个实数根，，方程根的判别式，，解得，当时，方程为，解得，不符题意，则，，，解得或（舍去），经检验，是所列分式方程的解，故选：B．3．若一元二次方程的解为a、b，则一次函数的图象不经过的象限是（        ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】解：∵方程的两个实数根分别是a、b， ∴a+b=-2、ab=-3， 则一次函数的解析式为y=-2x+3， ∴该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C．4．已知关于x的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为（　 　）A．7 B． C．6 D．【答案】B【详解】解：将代入得，，解得：；∴，∴∴，故选：B．5．若是方程的两个实数根，则的值为（         ）A．3或 B．或9 C．3或 D．或6【答案】A【详解】解：∵，∴，,则两根为：3或-1，当时，，当时，，故选：A．6．关于的方程（为常数）根的情况，下列结论中正确的是（           ）A．有两个相异正根    B．有两个相异负根    C．有一个正根和一个负根   D．无实数根【答案】C【详解】解：由题意得：方程可化为，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，设该方程的两个根为，则根据根与系数的关系可知：，∴该方程的两个根为一正一负，故选C．二、填空题7．如果一元二次方程的两个根为，，则______．【答案】-4【详解】解：由题意得： ， ，∴=-4．故答案为：-4．8．已知，则的值是___________．【答案】7【详解】令（t），∴原方程化为t（t－1）＝42，解得t＝7，或t＝－6（舍），∴，故答案为：7．9．若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两个根，则的值为_______．【答案】12或16【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当6为等腰三角形的腰长时，则关于 x 的方程 x2−8x+m=0的一个根x1=6 代入方程得，36-48+m=0解得m=12 则方程为 x2−8x+12=0 解方程，得另一个根为x2=2 ∴等腰三角形的三边长分别为 6，6，2，经检验满足三角形的三边关系定理；（2）当6为等腰三角形的底边长时，则关于x的方程 x2−8x+m=0 有两个相等的实数根∴根的判别式解得，m=16则方程为x2−8x+16=0 解方程，得 x1=x2=4∴等腰三角形的三边长分别为4，4，6，经检验满足三角形的三边关系定理．综上，m的值为12或16．故答案为：12或16．10．设，是一元二次方程的两个根，则______．【答案】0【详解】解:∵α，β是一元二次方程x2+3x−7=0的两个根，∴α2+3α−7=0，，∴原式＝．故答案为：0三、解答题11．设关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β．(1)证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)−≤m≤．【解析】(1)证明：∵Δ=（-5）2-4(−m2+1)=4m2+21＞0，∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)解：关于x的方程x2−5x−m2+1=0的两个实数根分别为α、β，∴α+β=5，αβ=1-m2，∵|α|+|β|≤6，∴α2+β2+2|αβ|≤36，即（α+β）2-2αβ+2|αβ|≤36．∴25-2（1-m2）+2|1-m2|≤36，当1-m2≥0时，25≤36成立，∴-1≤m≤1．①当1-m2＜0时，得25-4（1-m2）≤36，∴−≤m≤．②由①、②得−≤m≤．12．阅读材料：材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．材料2：已知实数，满足，，且，求的值．解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以根据上述材料解决以下问题：(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．【答案】(1)；；(2)；(3)3【解析】(1)，；故答案为；；(2)，，且，、可看作方程，，，；(3)把变形为，实数和可看作方程的两根，，，．13．阅读下列材料：在解一元二次方程时，无论是用直接开平方法、配方法还是用因式分解法，我们都是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，．再如，解无理方程（根号下含有未知数的方程），可以通过方程两边平方把它转化为，解得．（1）解下列方程：①②（2）根据材料给你的启示，求函数的最小值．【答案】（1）①，，；②；（2）【详解】（1）①∵∴ ∴，，②∵∴，即 ∴ ∴，∵ ∴ ∵∴∴（舍去）∴的解为：（2）将原函数转化成关于x的一元二次方程，得，当时，∵x为实数       ∴       ∴且；当时，得：，方程有解（x的值存在）；∴∴．培优第三阶——中考沙场点兵一、单选题1．（2022·山东临沂·中考真题）方程的根是（         ）A．，       B．，    C．，  D．，【答案】B【详解】解：， 或 解得： 故选B2．（2022·河南商丘·三模）关于x的方程的根的情况是（          ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定【答案】A【详解】解：，故方程有两个不相等的实数根，故选：A．3．（2022·四川雅安·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　   　）A．﹣3 B．0 C．3 D．9【答案】C【详解】解：x2+6x+c＝0，移项得： 配方得： 而（x+3）2＝2c， 解得： 故选C4．（2022·湖北武汉·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（          ）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,∴,∴ ∵是方程的两个实数根,∵，又∴把代入整理得,解得, 故选A5．（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程的根的情况（         ）A．有两个相等的实数根     B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根    D．无法确定【答案】B【详解】解：由题意可知：，∴，∴方程由两个不相等的实数根，故选：B．6．（2022·贵州黔东南·中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（         ）A．7 B． C．6 D．【答案】B【详解】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故选B．二、填空题7．（2022·湖南长沙·中考真题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为___________．【答案】【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，，故答案为：．8．（2022·黑龙江绥化·中考真题）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．【答案】20【详解】解：∵△=9-4=5＞0，∴，，∴=，故答案为：20；9．（2022·湖北鄂州·中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为_____．【答案】【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案为：．10．（2022·四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为________．【答案】10【详解】解：根据题意，∵，是方程的两个实数根，∴，，∴；故答案为：10．三、解答题11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：【答案】，【详解】解：∵∴或解得，．12．（2022·湖北十堰·中考真题）已知关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)，∵，∴，该方程总有两个不相等的实数根；(2)方程的两个实数根，，由根与系数关系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．13．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝        ；x1x2＝        ．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；；(2)；(3)或【解析】(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，∴，．故答案为：；．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，∴，，∴(3)∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，∴，，∵∴或，当时，，当时，，综上分析可知，的值为或．