14.3 因式分解(原卷版+解析版)（培优三阶练）-2022-2023学年八年级数学上册课后培优分级练（人教版）

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14.3 因式分解 知识点01  因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．【注意】（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．知识点02  用提公因式法分解因式1、公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．2、怎样确定公因式（五看）：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．3、提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．4、提公因式法分解因式的一般步骤：①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；②提公因式并确定另一个因式；③把多项式写成这两个因式的积的形式．【注意】（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．知识点03  用平方差公式分解因式1、平方差公式的等号两边互换位置，得语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．2、特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．知识点04  用完全平方公式分解因式1、完全平方公式的等号两边互换位置，得，语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．2、特点①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．3、公式法的定义：如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．培优第一阶——基础过关练1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；B、右边不是积的形式，故本选项错误，不符合题意；C、，故本项错误，不符合题意；D、是因式分解，故本选项正确，符合题意．故选：D．2．下列因式分解正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】A项，)，故错误；B项，不能因式分解，故错误；C项，不能因式分解，故错误；D项，，故正确；故选D．3．多项式的公因式是（    ）．A． B． C． D．【答案】C【详解】解：的公因式是．故选：C4．下列多项式中，可以用平方差公式进行因式分解的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A．根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，那么x2+4y2不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意．B．根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，那么﹣9x2﹣y2不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意．C．根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，那么4x﹣y2不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意．D．根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，那么﹣16x2+25y2＝（5y+4x）（5y﹣4x），即﹣16x2+25y2能用平方差公式进行因式分解，符合题意．故选：D．5．在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(   )①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【详解】解： ①；②；③不能分解因式；④；⑤；故选：A．6．分解因式：a2﹣25＝_____．【答案】(a+5)(a−5)【详解】a2﹣25=(a+5)(a−5)，故答案为：(a+5)(a−5)．7．分解因式：______．【答案】【详解】解：．故答案为：．8．将下列各式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【详解】（1）原式（2）原式9．在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式进行因式分解．指导老师的讲解过程如下．解：令，则原式．∵，∴原式．老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题：(1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果______（如果是则不用填写）．(2)请模仿以上方法对多项式进行因式分解．【答案】(1)否；(2)【详解】（1）解：∵，∴上述解答的结果没有分解到最后．故答案为：否；．（2）解：令，则∵，∴原式10．阅读下列解答过程，然后回答问题：已知有一个因式，求k的值．解：设另一个因式为，则．即（对任意实数x成立）由此得：∴(1)已知有一个因式，则另一个因式为_______________；(2)已知有一个因式，则m的值为________________；(3)已知多项式有一个因式，求k的值．【答案】(1)-17(2)-2(3)4【详解】（1）解：设另一个因式为(x+a)，则，即（对任意实数x成立）由此得，∴a=-17，故答案为：-17；（2）设另一个因式为(x+b)，则，即（对任意实数x成立）由此得，解得：，故答案为：-2；（3）设另一个因式为(x+c)，则，即（对任意实数x成立）由此得，解得：，∴k的值为4．培优第二阶——拓展培优练1．已知，那么的值是（    ）A． B．16 C． D．10【答案】D【详解】解：∵，∴．=======10．故选：D．2．下列因式分解正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】A项：右边= 左边，错误；B项：左边等于右边，正确，故为本题答案；C项：右边= 左边，错误；D项：右边= 左边，错误；故本题答案为：B．3．对于多项式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是(    )A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）【答案】C【详解】解：平方差公式必须只有两项，并且是两个数平方差的形式，（1）两平方项符号相反，可以利用平方差公式；（2），两平方项符号相同，不能运用平方差公式；（3）4虽然是两项，并且是差的形式，但不是平方差的形式；（4），两平方项符号相反，可以利用平方差公式．所以（1）（4）能用平方差公式分解．故选：C．4．下列各式：①；②；③；④；⑤，能用公式法分解因式的有（　　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】解：不能分解因式，故①不符合题意；故②符合题意；不能分解因式，故③不符合题意；故④符合题意；故⑤符合题意；故选B5．对于任意的有理数,我们规定  ,如  ．求的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：  故选A6．计算：______．【答案】1【详解】解： ．故答案为：．7．分解因式：________．【答案】【详解】解：原式，故答案为：．8．因式分解(1)m(5-m)+2(m-5)(2)(3)(4)；【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：原式=；（2）解：原式=；（3）解：原式=；（4）解：原式=．9．阅读材料：若，求的值．解：根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则a＝      ，b＝      ．(2)已知，求xy的值．(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．【答案】(1)3；1(2)(3)【详解】（1）解：由得，，∵≥0，，∴a-3=0，b-1=0，∴a=3，b=1．故答案为：3；1；（2）由，得，，，∴，∴；（3）由得，∴，∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数，∴，∴，∴，∴△ABC的周长为．10．数学活动：认识算两次把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算两次．例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1中最大的正方形面积验证了完全平方公式：．(1)如图2，将长为m，宽为n的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式______________．(2)如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体．①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含x、y的整式分别表示为______________、______________、______________；②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解：③若，求的值．【答案】(1)(2)①，，；②；③36．【详解】（1）由图可知大正方形的边长为(m+n)．阴影部分为一个小正方形，且边长为(m-n)． 方法一：直接利用正方形面积公式计算：，方法二：利用大正方形的面积-四个长方形的面积：．∴得出的等式为．故答案为：；（2）①由图可知，甲的体积为：，乙的体积为：，丙的体积为：．故答案为：，，；②由①可知该几何体的体积为：．∵该几何体的体积还可用大正方体的体积-挖去的小正方体的体积计算，即，∴．③，且．由②可得：．∵，且，∴等号两边可同时除x，即得出，整理，得．将，等号两边平方，得：，整理，得：，即．将，代入，得：．故．培优第三阶——中考沙场点兵1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ）A． B．C． D．【答案】C【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C、符合因式分解的形式，符合题意；D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C．2．多项式因式分解为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，．故选：C．3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　A． B． C． D．【答案】C【详解】、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，故选：C．4．已知，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】∵∴即，∴求得：，∴把和代入得：故选：A5．对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是(   )A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）【答案】A【详解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，将上式中的b用-b替换，整理得：∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），故选：A．6．分解因式：____________．【答案】【详解】解：；故答案为：7．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 _____．【答案】70【详解】解：由题意得：a+b=7，ab=10，∴；故答案为70．8．分解因式：(1) m2＋4m＋4(2) a2b－4ab2＋3b3(3)(x2＋y2)2－4x2y2【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解：（1）；（2）==；（3）===；9．已知x＋y＝3，x2＋y2－3xy＝4．求下列各式的值：(1)xy(2)x3y＋xy3【答案】（1）1（2）7【详解】解：（1）由x＋y＝3 ,得（x+y）2=9即x2+y2+2xy=9∴x2+y2=9 -2xy代入x2＋y2－3xy＝4，得9 -2xy－3xy＝4解得xy＝1（2）∵x2＋y2－3xy＝4，xy＝1∴x2+y2=7又∵x3y＋xy3= xy（x2+y2）∴x3y＋xy3=710．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，是“合和数”．又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，不是“合和数”．（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．【答案】（1）不是“合和数”，是“合和数，理由见解析；（2）有，，，．【详解】解：（1）不是“合和数”，是“合和数”．，，不是“合和数”，，十位数字相同，且个位数字，是“合和数”．（2）设的十位数字为，个位数字为（，为自然数，且，），则．∴．∴（是整数）．，，是整数，或，①当时，或，或．②当时，或，或．综上，满足条件的有，，，．