15.1 分式(原卷版+解析版)-2022-2023学年八年级数学上册课后培优分级练（人教版）

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15.1 分式知识点01  分式的概念1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．2、一个式子是分式需满足的三个条件：①是形如的式子；②A，B为整式；③分母B中含有字母．三个条件缺一不可．【注意】（1）分式的概念可类比分数得出，分式的形式和分数类似，分数的分子与分母都是整数，而分式的分子与分母都是整式，并且分母中含有字母，这也是分式的一个重要标志．（2）分式的分数线相当于除号，同时也有括号的作用．例如也可以表示为（a-1）÷（a+1），但（a-1）÷（a+1）不是分式，因为它不符合的形式．知识点02  分式有意义、无意义的条件1、分式有意义的条件：分式的分母不等于0．2、分式无意义的条件：分式的分母等于0．【注意】（1）分式有无意义与分母有关，与分子无关．（2）分式中分母是含字母的式子，它的值随着字母取值的不同而变化，当字母的取值使分母等于0时，分式就没有意义了．知识点03  分式的值为0的条件分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0．分式的值是在分式有意义的前提下才可考虑的，所以使分式的值为0的条件是A=0且B≠0，两者缺一不可．【拓展】对于分式，（1）若的值为正数，则或；（2）若的值为负数，则或；（3）若的值为1，则A=B且B≠0；（4）若的值为-1，则A+B=0且B≠0．知识点04  分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为：=（C≠0），其中A，B，C是整式．分式的基本性质是分式变形的理论依据．【注意】①基本性质中的A，B，C表示的都是整式，其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；C≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调C≠0这个前提条件．②应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”或“除法”运算（不是做“加法”或“减法”运算）；二是“乘”（或“除以”）的对象必须是同一个不等于0的整式．③若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一个整式C．2、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变．用式子表示为：或知识点05  约分、最简分式1、约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．【归纳】（1）约分的依据是分式的基本性质：，其中A，B，C都是整式．（2）约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式．（3）约分时需注意分式的分子、分母都是乘积形式时才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常先将分子、分母分解因式，再约分．（4）约分的结果是整式或最简分式．（5）分式的约分是恒等变形，约分前后分式的值不变．知识点06  通分1、通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．2、约分与通分的联系与区别（1）约分与通分恰好是相反的两种变形，约分与通分都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值．（2）约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言．（3）约分是将一个分式化简，通分则可能将一个分式化繁，使异分母分式化为同分母分式．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．【注意】（1）通分的关键是确定几个分式的最简公分母．（2）分式的通分是恒等变形，通分前后分式的值不变．3、确定最简公分母的方法：（1）当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（2）当各分母都是多项式时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法来确定．4、通分的步骤（1）求各分式的最简公分母；（2）用这个最简公分母除以分式的分母；（3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母．培优第一阶——基础过关练1．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）A．x＝2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≠2【答案】D【详解】解：由题意得：，解得，故选：D．2．下列式子是分式的是（　　）A． B．+y C． D．【答案】C【详解】解：A、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意；B、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意；C、分母中含有字母，符合分式的定义，故该选项是分式，该选项符合题意；D、分母中不含有字母，故该选项不是分式，该选项不符合题意．故选：C．3．下列分式中是最简分式的是（　　）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：A、＝，不是最简分式，故本选项错误，不合题意；B、是最简分式，故本选项正确，符合题意；C、＝，不是最简分式，故本选项错误，不合题意；D、＝＝，不是最简分式，故本选项错误，不合题意；故选：B．4．若分式有意义，则x的值是（　　）A．x＝-1 B．x>-1 C．x<-1 D．x≠-1【答案】D【详解】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠-1，故选D．5．分式变形正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，故选：C．6．当x____时，分式有意义；当x_____时，分式值为零．【答案】          【详解】解：（1）由题意可得x-1≠0，∴．故答案为：；（2）由题意得：x+2=0且x-3≠0，解得x=-2．故答案为：=-2．7．小明用元钱去购买某种练习本．这种练习本原价每本元（），现在每本降价1元，购买到这种练习本的本数为______．【答案】【详解】解：根据题意得，现在每本单价为（b﹣1）元，则购买到这种练习本的本数为（本）．故答案为：．8．化简下列分式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】解：（1）；（2）；（3）．9．已知－＝4，求的值．【答案】．【详解】解：∵－＝4，两边同时乘以ab，得∴b－a＝4ab，∴a－b＝-4ab，∴＝＝．10．下列分式，当取何值时有意义．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)【详解】(1)要使分式有意义，则分母3x+2≠0，解得：；(2)要使分式有意义，则分母2x-3≠0，解得，．培优第二阶——拓展培优练1．下列分式属于最简分式的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意；C、是最简分式，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意．故选：C．2．当时，分式没有意义，则b的值为（    ）A． B． C． D．3【答案】B【详解】解：当，，∵分式没有意义，∴，∴，故选：B．3．下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项错误，不符合题意；C、，故本选项正确，符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：C4．若，则A、B的值为（          ）．A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3【答案】B【详解】解：．∵，∴，∴，得：，∴．将代入①中，解得：，∴方程组的解为：．故选B．5．把分式中的和分别扩大为原来的3倍，则分式的值（    ）A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的C．扩大为原来的9倍 D．不变【答案】B【详解】解：分式中的a，b都扩大为原来的3倍得：，∴分式的值缩小为原来的，故选：B． 6．若分式的值为零，则x的值为________．【答案】【详解】解；根据分式的值为零的条件得：，且，解得：，故答案为：．7．分式 ， ，的最简公分母是_____________________【答案】ab(a+b)(a-2b)【详解】解：分式 ， ，的分母依次为：，， 故最简公分母是ab(a+b)(a-2b)故答案为：ab(a+b)(a-2b)8．化简约分(1)(2)(3)【答案】(1)6b(2)(3)【详解】（1）=（2）= =（3）= =9．已知，x取哪些值时：(1)y的值是正数；(2)y的值是负数；(3)y的值是零；(4)分式无意义．【答案】(1)(2)x＜或x＞2(3)x＝2(4)x＝【详解】（1）根据题意，得或，解得；（2）根据题意，得或，解得x＜或x＞2；（3）根据题意，得，解得x＝2；（4）根据题意，得3﹣4x＝0，x＝．10．阅读下列解题过程：已知，求的值解：由，知，所以，即，∴，∴的值为2的倒数，即以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)已知，，，求的值．【答案】(1)(2)(3)1【详解】（1）解：由，知，∴，即，∴，∴的值为7的倒数，即；（2）由，知，∴，∴，即，∴，∴的值为21的倒数，即；（3）由，知，，∴，即，由，知，，∴，即，由，知，，∴，即，①＋②＋③得：，∴，∴，∴的值为1的倒数，即1．培优第三阶——中考沙场点兵1．分式有意义的条件是（    ）A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0【答案】B【详解】解：由分式的分母不能为0得：，解得，即分式有意义的条件是，故选：B．2．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．3．若分式的值为零，则x的值为（    ）A．1 B． C． D．0【答案】A【详解】解：根据题意得：且，解得：．故选：A4．当x＝﹣2时，分式的值是（    ）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15【答案】A【详解】解：把代入上式中原式故选A.5．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（    ）A． B． C．1 D．2【答案】A【详解】解：∵，∴，∵两个不等于0的实数、满足，∴，故选：A．6．若分式的值为0，则x的值为__________．【答案】3【详解】由x2-9=0，得x=±3．又∵x+3≠0，∴x≠-3，因此x=3．故答案为3．7．若，则________．【答案】【详解】解：，；故答案为：．8．计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．【答案】【详解】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）= =．9．已知：，，求代数式的值．【答案】8【详解】原式，当，时，原式．10．化简并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数．【答案】 ，时，-1.    【详解】解：原式==，∵与、构成的三边，且为整数∴，由题可知、、， ∴，∴原式=．