人教版七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组习题

尖子生培优题典

8.3　实际问题与二元一次方程组

第2课时　几何图形问题、图文信息问题

一、几何图形问题

1.如图，直线AB，CD，相交于点O，∠MON＝90°．∠BON比∠MOA多10°．求∠BON，∠MOA的度数若设∠BON＝x°，∠MOA＝y°．可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

2.如图，用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的面积是多少平方厘米？

3.小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？

4.如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．40cm2           B．128cm2       C．280cm2           D．140cm2

5.在长为20m、宽为16m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积．

6.如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（　　）

A．140 cm2 B．96cm2 C．44 cm2 D．16 cm2

7.小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（　　）cm．

A．150cm B．56cm C．57cm D．81cm

8.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是　  　．

二、图文信息问题

9.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是　　g．

10.疫情期间，某人要将一批抗疫物资从海口运往东方，准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车、已知过去两次租用这两种货车（均装满货物）的情况如表：

问甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨

11.某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：

试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？

13.某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．

(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？

(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

三、能力提升

14..如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒露出水面的长度之和为14cm，求两根铁棒露出水面的长度各是多少？

15．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，求每块墙砖的截面面积．

16．在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收．

下面是小明爸爸、妈妈的一段对话．请你用学过的知识帮助小明算出他家今年种植菠萝的投资和收入（收入﹣投资＝净赚）

17.把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为　　cm2．

18.小明是一个乐思好问的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的：

一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？

（1）如图，设长方形的长、宽各是xcm，ycm，小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组：

①，②，③

以上三个方程组中，能正确反映题意的有　①②③　．（请直接填写序号）

（2）小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．

19.某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲所示，（单位：cm）．

（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．

（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？

20.某纸制品厂要制作如图所示的甲，乙两种无盖的长方体盒子，该厂利用边角余料裁出了长方形，正方形两种纸片，其中长方形的宽与正方形的边长相等，现将105张正方形纸片和270张长方形纸片用来制作这两种盒子（不计连接部分）．求可以恰好制作这两种盒子多少个？

解析版

一、几何图形问题

1.如图，直线AB，CD，相交于点O，∠MON＝90°．∠BON比∠MOA多10°．求∠BON，∠MOA的度数若设∠BON＝x°，∠MOA＝y°．可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解答】解：∵∠BON+∠MOA+∠MON＝180°，

∴x+y＝90°，且由题可知，x﹣y＝10°，

故选：A．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据∠BON比∠MOA多10°，∠MON＝90°得∠BON+∠MOA=90°得方程.是解题的关键

2.如图，用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的面积是多少平方厘米？

【答案】432平方厘米

【分析】设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的宽边关系列方程组求解即可．

【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得

解得

∴小长方形的面积为．

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程组是解答此题的关键．

3.小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？

【答案】

【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据图形得到每个小长方形的长和宽的两个等量关系，列出方程组，解方程组得到小长方形的长和宽，再求出小长方形的面积即可．

【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为，由题意，得

，

解得：．

∴小长方形的长为，宽为，

∴小长方形的面积．

【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找到等量关系是解题的关键．

4.如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为（　　）

A．40cm2           B．128cm2       C．280cm2           D．140cm2

【答案】C

【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意，得：，

解得：，

∴2x•（x+y）＝280．

故选：C．

【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找到等量关系是解题的关键．

5.在长为20m、宽为16m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积．

【答案】每个小长方形花圃的面积为32m2．

【解答】解：设小长方形的长为xm，宽为ym，

依题意，得：，

解得：，

∴xy＝32．

答：每个小长方形花圃的面积为32m2．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．

6.如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则阴影部分的面积为（　　）

A．140 cm2 B．96cm2 C．44 cm2 D．16 cm2

【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据长方形的性质，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．

【解析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

依题意得：，

解得：，

∴阴影部分的面积＝14（x+y）﹣6xy＝14×（8+2）﹣6×8×2＝44（cm2）．

故选：C．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找到等量关系是解题关键.

7.小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（　　）cm．

A．150cm B．56cm C．57cm D．81cm

【分析】设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，根据“把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入[x+（50﹣1）y]中即可求出结论．

【解析】设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，

依题意，得：，

解得：，

∴x+（50﹣1）y＝56．

故选：B．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，  3个纸杯叠在一起高度是9cm，8个纸杯叠在一起高度是14cm.得出方程.

8.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是　  　．

【分析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．

【解析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意得

，

两式相加得：2a＝152，

解得a＝76．

故答案为：76cm．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形找到等量关系是解题关键.

四、图文信息问题

9.如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是　　g．

【答案】20

【解答】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克．

由题意列方程组得：，

解方程组得：．

答：每块巧克力的质量是20克．

故答案为：20．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据天平上质量找到等量关系是解题关键.

10.疫情期间，某人要将一批抗疫物资从海口运往东方，准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车、已知过去两次租用这两种货车（均装满货物）的情况如表：

问甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？

【答案】每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨

【分析】设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货车能装货y吨，根据第一次及第二次租用两种货车的运货情况，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【详解】解：设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货车能装货y吨，

依题意，得：，

解得：．

答：每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．

11.某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：

试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？

【答案】每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；

【解答】解：设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，

根据题意，得，

∴，

∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据表中数据找到等量关系是解题关键.

12.在下面的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等．

(1)如图1，则________，________

(2)如图2，则________（用含b的代数式表示）

(3)如图3，则________，________

【答案】(1)，

(2)；

(3)1，

【分析】（1）根据每行，对角线上的和都相等，可得m、n的值；

（2）设中间的数为x，根据对角线上与第三列的和相等，可得a与b的关系；

（3）设中间的数为x，根据第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值．

【详解】（1）解：由题意，得，，

解得：；

，

解得：；

故答案为：，；

（2）解：设中间的数为x，则右上角的数为，如图所示：

由题意得：，

解得：；

故答案为：；

（3）解：设中间的数为x，如图所示：

由题意得：，

整理得：，

解得：．

故答案为：1，．

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等”，得出等式求解，难度一般．

13.某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．

(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？

(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元

(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克

【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可

（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．

【详解】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得

4×2a－5×a＝60，

解得a＝20，

则2a＝40．

答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；

（2）设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，

由题意，得

解得

【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．

五、能力提升

14..如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒露出水面的长度之和为14cm，求两根铁棒露出水面的长度各是多少？

【答案】较长铁棒露出水面的长度为8cm，较短铁棒露出水面的长度为6cm．

【解答】解：设较长铁棒露出水面的长度为xcm，较短铁棒露出水面的长度为ycm，

依题意，得：，

解得：．

答：较长铁棒露出水面的长度为8cm，较短铁棒露出水面的长度为6cm．

15．如图是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，求每块墙砖的截面面积．

【答案】每块墙砖的截面积是525cm2．

【解答】解：设每块墙砖截面的长为x cm，宽为y cm．根据题意，得

，

解得，

∴每块墙砖的截面面积是35×15＝525（cm2）．

答：每块墙砖的截面积是525cm2．

16．在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收．

下面是小明爸爸、妈妈的一段对话．请你用学过的知识帮助小明算出他家今年种植菠萝的投资和收入（收入﹣投资＝净赚）

【答案】小明家今年种植菠萝的投资4400元，收入16200元．

【解答】解：设小明家去年种植菠萝的投资x元，收入y元，则小明家今年种植菠萝的投资（1+10%）x元，收入（1+35%）y元，

依题意，得：，

解得：，

∴（1+10%）x＝4400，（1+35%）y＝16200．

答：小明家今年种植菠萝的投资4400元，收入16200元

17.把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为　24　cm2．

【分析】设小长方形的宽为xcm，大长方形的宽为ycm，则小长方形的长为2xcm，大长方形的长为2ycm，根据图形列出方程组求得两个正方形的长和宽，从而求得答案．

【解析】设小长方形的宽为xcm，大长方形的宽为ycm，则小长方形的长为2xcm，大长方形的长为2ycm，

根据题意得：，

解得：，

∴小长方形的长为2cm，大长方形的长为8cm，

∴图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为：4×8﹣4×1×2＝24cm2．

故答案为：24．

18.小明是一个乐思好问的学生，在解答七年级下册教材中一道拓广探索题时遇到了困难．这道题是这样的：

一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？

（1）如图，设长方形的长、宽各是xcm，ycm，小明绞尽脑汁列出了三个不同的方程组：

①，②，③

以上三个方程组中，能正确反映题意的有　①②③　．（请直接填写序号）

（2）小明列出的方程，根据目前知识不易求解，便请教老师，老师提示这个问题可以列二元一次方程组来解答，并适时点拨，小明终于明白了．请你写出小明列出的二元一次方程组，并写出解题过程．

【分析】根据长﹣5＝宽+2，就成为一个正方形，及两图形的面积相等，可得出方程组①②③．

【解析】（1）解：由题意得：．

故答案为：①②③

（2）设长方形的长、宽各是x cm，y cm，由题意列方程组，

得

解这个方程组，得

答：长方形的长、宽分别是cm、cm．

19.某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲所示，（单位：cm）．

（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．

（2）在试生产阶段，若将25张标准板材用裁法一裁剪，将5张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材分别做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？

【分析】（1）观察图形，根据标准板材的长度为200cm，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设可以做竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，根据裁剪的两种型号的板材正好做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解析】（1）依题意得：，

解得：．

答：图中的a＝50，b＝40．

（2）设可以做竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，

依题意得：，

解得：．

答：可以做竖式无盖礼品盒8个，横式无盖礼品盒16个．

20.某纸制品厂要制作如图所示的甲，乙两种无盖的长方体盒子，该厂利用边角余料裁出了长方形，正方形两种纸片，其中长方形的宽与正方形的边长相等，现将105张正方形纸片和270张长方形纸片用来制作这两种盒子（不计连接部分）．求可以恰好制作这两种盒子多少个？

【分析】设可以恰好制作x个甲种盒子，y个乙种盒子，根据正方形纸片及长方形纸片的张数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解析】设可以恰好制作x个甲种盒子，y个乙种盒子，

依题意，得：，

解得：．

答：可以恰好制作45个甲种盒子，30个乙种盒子．