2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年甘肃省永昌县第一高级中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，不共线，向量，(kR)，若，则（    ）

A．k＝1且与同向 B．k＝1且与反向

C．k＝－1且与同向 D．k＝－1且与反向

【答案】D

【分析】利用向量共线的充要条件列出方程组，求解即可.

【详解】因为，所以，所以，

又不共线，所以，解得，所以，

故选：D.

2．已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出，再根据条件，利用向量的坐标运算，列方程求出的值，然后只需要利用夹角公式即可求出与夹角的余弦值.

【详解】，，.

又，，解得，即，

故.

故选：D.

【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算以及向量夹角公式，是基础题.

3．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2=ac，则B的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理解答即可.

【详解】由b2=ac，

得，

因为0<B<π，

所以B∈.

故选：A.

4．一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6，则这个样本的平均数是（　　）

A．6.6 B．6 C．66 D．60

【答案】C

【分析】利用新老数据平均数的关系可求原来数据的平均数.

【详解】设原来的一组数据是，

则每一个数据都减去得到新数据且求得新数据的平均数是，

所以，即，

所以，故样本的平均数是.

故选：C

5．已知a、b、c分别为的内角A、B、C所对的边，若满足，则角C的大小为（    ）

A．60° B．90° C．120° D．150°

【答案】C

【分析】由条件可得，再由余弦定理可得答案.

【详解】由，则

所以，

则，又

所以.

故选：C

6．在钝角中，，，且面积是，则（       ）

A． B． C． D．或

【答案】C

【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式求得，也即.

【详解】依题意，三角形是钝角三角形，

，

解得，

，所以为锐角.

当为钝角时，，

，

此时，，不符合题意.

当为钝角时，，

，

故选：C

7．如图，在中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可.

【详解】

故选：B

8．已知锐角的外接圆的圆心为，半径为，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可分析,再利用数量积求得,进而由三角形性质求解即可.

【详解】由题,因为,

所以,所以,

所以,

故选:A

【点睛】本题考查利用数量积求向量夹角,考查三角形的性质的应用.

二、多选题

9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为

【答案】BD

【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C，由投影向量的求解公式可判断D.

【详解】，所以，故A错误；

，故B正确；

，

，，，故C错误；

向量在上的投影向量为，故D正确．

故选：BD

10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ）

A．

B．若，则A=B

C．若，则；若，则

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，利用正弦定理进行验证；

对于B，由，可得或，即可判断；

对于C，利用正弦定理以及三角形中大角对大边进行证明；

对于D，利用正弦定理以及比例的性质即可证明.

【详解】对于A，由正弦定理，可得，，故A正确.

对于B，由及两角为三角形内角 ，可得，或，即或，故B错误；

对于C，在中，由正弦定理可得，，因此是的充要条件，故C正确；

对于D，由正弦定理，可得右边左边，故D正确.

故选：ACD

11．在中，，，若是直角三角形，则k的值可能为（　　）

A． B． C．1 D．2

【答案】ABCD

【分析】若是直角三角形，分析三个内角都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.

【详解】若为直角，则即，

所以，解得；

若为直角，则即，

因为，所以，

解得；

若为直角，则，即

所以，

所以，解得或；

综合可得，的值可能为.

故选：ABCD.

12．在中，，则的面积可以是（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】AD

【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．

【详解】解：∵，

由余弦定理得，

∴，

∴，或，

∴由的面积公式得或，

故选：AD．

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．

三、填空题

13．设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则k的值为________．

【答案】

【解析】先求出，再由A，B，D三点共线，必存在一个实数，使得 ，由此可得，即可求出结果.

【详解】因为，，，

所以

，

由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得.

所以，

又因为与不共线，

所以解得.

故答案为： .

【点睛】本题考查平面向量共线定理和平面向量基本定理的应用，本题属于基础题.

14．已知向量，，向量与向量的夹角是锐角，则实数m的取值范围是______．

【答案】且

【分析】由题意可得，去掉向量同向的情形即可.

【详解】因为向量与向量的夹角是锐角，

所以，解得，

当向量与向量共线时，，解得，

由已知，当时，向量与向量同向，不满足题意，

所以m的取值范围为：且.

故答案为：且.

15．已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为______．

【答案】17.5##

【分析】根据第三四分位数的计算方法计算即可.

【详解】由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个，

所以第三四分位数为.

故答案为：17.5.

16．是平面上一定点是平面上的三个顶点，分别是边的对角.以下命题正确的是_______.（写出所有正确命题的序号）

①动点满足，则的外心一定在满足条件点集合中；

②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；

③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；

④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中.

【答案】②③④

【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误。

【详解】对于①，由知，故点是的重心，故①错；对于②，由知，因为与分别表示与方向上的单位向量，故平分，因此的内心一定在满足条件的点集合中，故②正确；

对于③，由可知，在中，由于，均表示边上的高，故（其中为的中点），即在边的中线所在的直线上，因此的重心一定在满足条件的点集合中，故③正确；

对于④，由已知可得，，

则，

所以，即，因此的垂心一定在满足条件的点集合中，

故④正确.

综上所述，故填：②③④。

【点睛】本题考查三角形中重心、内心、外心、垂心的向量表达形式，考查向量的线性运算和数量积运算，对逻辑推理能力和运算求解能力要求较高。

四、解答题

17．已知，，.

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接展开，代入即可求解；

（2）先分别求出，再直接代入向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）依题意，

因为，

所以，

因为|，所以，

所以.

（2）因为，

，

所以.

令与的夹角为θ，

则，

所以向量与夹角的余弦值是.

18．在中，，，，，求和c的值．

【答案】105°；

【分析】利用正弦定理求出，结合大边对大角定理可求得角的值，利用三角形内角和为求出，进一步使用正弦定理求出c.

【详解】由正弦定理可得，

所以，

因为，则，故，

所以，

由得，.

19．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．

（1）用分别表示向量，；

（2）若，求实数t的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；

（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.

【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．

∵，

∴，

∴

（2）∵，

∴

∵，，共线，

由平面向量共线基本定理可知满足，

解得．

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.

20．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】详见解析

【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.

【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理

由可得：，不妨设，

则：，即.

若选择条件①：

据此可得：，，此时.

若选择条件②：

据此可得：，

则：，此时：，则：.

若选择条件③：

可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.

［方法二］：正弦定理

由，得．

由，得，即，

得．由于，得．所以．

若选择条件①：

由，得，得．

解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．

若选择条件②：

由，得，解得，则．

由，得，得．

所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．

若选择条件③：

由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．

【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；

方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角，可求出角，从而可得，再根据选择条件即可解出．

21．某省为了确定合理的阶梯电价分档方案，对全省居民用量进行了一次抽样调查，得到居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图（如图所示），求：

（1）若要求80%的居民能按基本档的电量收费，则基本档的月用电量应定为多少度？

（2）由频率分布直方图可估计，居民月用电量的众数、中位数和平均数分别是多少？

【答案】（1）160度；（2）150，145，144.

【分析】（1）计算频率达到时的电量．

（1）频率分布直方图中估计众数用最高矩形的中点值，中位数左右两侧的频率相等，平均数为每组的组中值与对应的频率之积的和；

【详解】解：（1）∵

∴基本档的月用电量应定为160度．

（2）①由图可知，居民用电量的众数为．

②设居民月用电量的中位数为，解

③平均数

【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，利用频率分布直方图求频率、平均数、中位数及众数，属于基础题．

22．在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地和，测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且，，，，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.

【答案】

【分析】在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出．

【详解】，

，

在中，由正弦定理得，即，

解得．

，，

是等边三角形，．

在中，由余弦定理得，

．

蓝方这两支精锐部队的距离为．

【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．