2023金昌永昌县一中高二下学期第一次月考试题数学含解析

甘肃省永昌县第一高级中学2022-2023学年第二学期第一次月考试卷

高二数学

一. 单项选择题(每小题5分， 共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1. 抛物线焦点到准线的距离为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可.

【详解】由，焦点到准线的距离是，

故选：D.

2. 下列式子错误的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据排列和组合数的公式即可求出答案.

【详解】对于A，B，由组合数公式：知，，，所以A、B正确；

对于C，因为 得，所以，所以C正确.

对于D，，，，所以D不正确.

故选：D.

3. 若成等差数列；成等比数列，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出，，求出.

【详解】由题意得：，

设的公比为，则，，

解得：，

.

故选：B

4. 开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A，B，C三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有（     ）

A. 6种 B. 12种 C. 15种 D. 18种

【答案】B

【解析】

【分析】由题意被安排到A中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可.

【详解】①若甲单独安排到A中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，

共有：种方式，

②若甲和另一名防疫专家被安排到A中学，则有：种方式，

则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，

由分步乘法原理有：种方式，

又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A中学，则不同的安排方式有：种方式，

故选：B.

5. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．

【详解】对A，，当时，，所以A错误；

对B，，在上恒成立，所以B正确；

对C，，，所以C错误；

对D，，，因为，所以D错误．

故选：B．

6. 函数的图像大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由函数有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数的单调性与极值情况即可判断作答．

【详解】由得，或，选项A，C不满足，即可排除A，C

由求导得，

当或时，，

当时，，

于是得在和上都单调递增，在上单调递减，

所以在处取极大值，在处取极小值，D不满足，B满足．

故选：B

7. 抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，则（    ）

A. 3 B. 6 C. 4 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】表达出B点坐标，代入双曲线方程，即可求解

【详解】由题意得：，，因为△ABF为等边三角形，所以，

所以，

将代入方程得：.

故选：B

8. 已知函数，，若至少存在一个，使得成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，构造函数，求导判断出单调性，代入最值可得实数的范围．

【详解】由题意知至少存在一个，使得成立，即在上有解，满足即可，

设，，∵，∴，

∴在上恒为增函数，∴，∴，

故选：B.

二.多项选择题(每小题5分， 共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（    ）

A. 是函数的极值点

B. 是函数的最小值点

C. 在区间上单调递增

D. 在处切线的斜率小于零

【答案】AC

【解析】

【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.

【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，

∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；

则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；

∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；

∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；

故选：AC

10. 下列说法正确的有（    ）

A. 直线过定点

B. 过点作圆的切线，则的方程为

C. 若圆与圆有唯一公切线，则

D. 圆上存在两个点到直线的距离为2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据当时，，得到直线过定点，即可判断A选项；过点作圆的切线，考虑斜率存在和不存在两种情况，当斜率不存在时切线方程为，即可判断B选项；根据圆和圆有唯一公切线得到两圆内切，然后根据内切列方程求解即可判断C选项；根据圆心到直线的距离得到直线与圆的位置关系，再结合圆上点到直线距离的最大值和最小值即可判断圆上有几个点到直线的距离为2，即可判断D选项.

【详解】直线，当时，，所以直线过定点，故A正确；

当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为2，所以时圆的切线，故B错；

因为圆和圆有唯一公切线，所以圆和圆内切，圆：，圆：，

所以，即，解得，故C错；

圆上的圆心到直线的距离，

所以圆上点到直线的距离的最大值为，最小值为，则直线与圆的位置关系如下图，

又因为，，所以圆上存在两个点到直线的距离为2，故D正确.

故选AD

11. 若，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用赋值法和二项式项的系数性质依次判断选项即可.

【详解】对选项A， ，

令，得，令，得，

所以，故A错误.

对选B，因为，

所以表示的各项系数之和，

令，则，故B正确.

对选项C，，所以，故C错误.

对选项D，因为，，

令，则，

则，故D正确.

故选：BD

12. 设函数，，则下列说法正确的有（    ）

A. 不等式的解集为；

B. 函数在单调递增，在单调递减；

C. 当时，总有恒成立；

D. 若函数有两个极值点，则实数

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，解不等式即可；B选项，求导，利用导函数研究其单调性；C选项，构造函数，二次求导结合函数单调性和极值，最值进行证明；D选项，转化为在有两个根，求导后结合单调性，极值等求出的取值范围.

【详解】由题意得，则

对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；

对于B：，令，解得x=1，

所以当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，故B错误；

对于C：当时，若，则，

所以，即，

令，

则，

，

当时，，函数为增函数，

又，所以在是恒成立，

所以为减函数，

又，所以在是恒成立，

所以当时，总有恒成立，故C正确；

对于D：若函数有两个极值点，

则有两个根，即在有两个根，

令，则，

所以当时，，函数为增函数，

当时，，函数减函数，

又当时，，当时，，，

所以，解得，故D正确.

故选：ACD

【点睛】导函数在研究函数单调性和函数图象上非常重要，很多问题看似与函数单调性无关，不过通过转化或构造新函数，通过求导，结合函数单调性及极值，最值，就变的迎刃而解.

三. 填空题(每小题5分， 共20分)

13. 江湖传说，蜀中唐门配制的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由3种藏红花，2种南海蛇毒添加炼制而成，其中藏红花的添加顺序不能相邻，同时南海蛇毒的添加顺序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行_____次试验．

【答案】

【解析】

【详解】分析：先考虑2种南海蛇毒，在考虑3种藏红花可得到结果．

详解：先考虑2种南海蛇毒,再将3种藏红花插空

故总共要进行次试验．

故答案为12

点睛：本题主要考查排列组合的实际应用，不相邻问题用插空法，属于基础题．

14. 已知在数列中，，，则等于____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．

【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列，

则，故，所以．

故答案为：．

15. 设椭圆C：的左､右焦点分别为，，P是C上的点，，，则C的离心率为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据等腰直角三角形性质及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可.

【详解】在中，设，

因为，所以，，

所以

故 .

故答案为：.

16. 若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________.

【答案】(4，5)

【解析】

【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围.

【详解】解：函数，，

若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，

由得，

令，，，

在递减，在递增，而，，，

所以.

故答案为：.

四. 解答题(17题10分， 其余每小题12分， 共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17. 已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．

（1）求的值；

（2）若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.

（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．

【小问1详解】

由题设，，整理得，解得（舍）或；

【小问2详解】

由（1）知：二项式展开式通项为，

当时为含的项，故，解得.

18. 已知数列为等差数列，，，数列满足，

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的前n项的和．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设数列的公差为，根据等差数列通项公式化简条件求，由此可求数列的通项公式，再由等比数列定义证明数列为等比数列；

（2）利用组合求和法求数列的前n项的和.

【小问1详解】

设数列的公差为，

因为，，

所以，

所以，所以，

所以，

所以，

所以数列为等比数列；

小问2详解】

由(1) ，

所以，

，

，

，

19. 已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求在上的最值.

【答案】（1）   

（2）最小值为，最大值为16.

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可得切线方程；

（2）求出函数在上的所有极值和，通过比较即可得最值.

【小问1详解】

因为，所以.

因为，，

所以所求切线方程为，即.

【小问2详解】

，令，得或.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，当时，取极大值；当时，取极小值，

又因为，，

所以在上的最小值为，最大值为16.

20. 已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上.

（1）求圆C的标准方程；

（2）设P为圆C上的一个动点，O为坐标原点，求OP的中点M的轨迹方程.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）设圆心C的坐标为，可得，结合条件可得，进而求得圆心的坐标，半径，即得；

（2）设，，进而可得，然后代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.

【小问1详解】

设圆心C的坐标为，半径为r，

∵圆心C在直线上，

∴，

∵圆C经过，两点，

∴，

即，

化简得：，又，

所以，

∴圆心C坐标为，，

所以圆C的标准方程为：；

【小问2详解】

设，，

∵M为OP的中点，

∴，

∴，

∵P在圆C上，

∴，即，

∴OP的中点M的轨迹方程为.

21. 已知双曲线C的渐近线为，且过点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．

【答案】（1）   

（2），

【解析】

【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入可求得，整理可得结果；

（2）联立直线与双曲线的方程，设，，故可得，，利用列等式可求得，然后利用弦长公式求即可

【小问1详解】

由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：，

又双曲线过点，

双曲线的方程为：

【小问2详解】

设，，联立，化为．

∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为．

∴，（*）

∵，∴．∴，

又，，∴，

把（*）代入上式得，化为．满足．∴．

由弦长公式可得

22. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求a的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，求解单调性；

（2）参变分离，得到，构造，求导，得到其单调性，求出最大值，得到.

【小问1详解】

.

当时，，所以在上单调递增；

当时，令，解得，

当时，；

当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减；

【小问2详解】

的定义域为，

若恒成立，则恒成立，即恒成立，

令，只需，又，

令得，

时，，则单调递增；

时，，则单调递减；

故在时取得极大值，也时最大值.

所以，解得：，

故a的取值范围是.