2022-2023学年甘肃省定西市临洮县临洮中学高一下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年甘肃省定西市临洮县临洮中学高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知在中，角A，B的对边分别为a，b，若，则b的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据正弦定理可得，结合的值可求b的值.

【详解】由正弦定理可得，所以，

因为，所以.

故选：C.

2．已知向量，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量坐标运算直接求解即可.

【详解】.

故选：A

3．对于非零向量、，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

【详解】对于非零向量、，

若，则，∴由向量共线定理可知，

若，则，不一定成立，

∴是的充分不必要条件，

故选：A

4．设是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】D

【分析】利用向量共线定理逐一判断即可.

【详解】对于A：，和共线，A错误；

对于B：，和共线，B错误；

对于C：，和共线，C错误；

对于D：不存在实数使，和不共线，D正确.

故选：D.

5．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据余弦定理可得，再根据面积公式可得，从而可求出角．

【详解】解：由余弦定理得，

又根据三角形面积公式得，

∴，

又角为的内角，

∴，

故选：B．

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题．

6．已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意向量的坐标运算求，再由投影向量的定义运算求解.

【详解】由题意可得，则，

故向量在方向上的投影向量为.

故选：B.

7．在一个边长为2的等边三角形中，若点P是平面(包括边界)中的任意一点，则的最小值是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，利用坐标法进行求解.

【详解】如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立直角坐标系，则A(－1，0)，C(1，0)，

设P(x，y)，则，，

∴，当且仅当P在原点时，取等号﹒

故选：C.

8．我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转后的正方形组合而成，已知向量，，则向量（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解.

【详解】根据题意可得，

由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转后与原正方形组合而成，如图

由对称性可得,

由对称性可得点共线，点共线.

所以 ，

所以

故选：D

二、多选题

9．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．则b可以为（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】AB

【分析】由正弦定理可得，由得，结合选项即可求解.

【详解】在△ABC中，，，

由正弦定理可得，即，所以，

因为，所以，

所以b可以为7，8，

故选：AB.

10．对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据平面向量的线性运算和数量积的定义与运算逐项分析判断.

【详解】对A：根据数量积的运算律可得：恒成立，A正确；

对B：根据，可得恒成立，B正确；

对C：，其中为的夹角，

∵，可得，

∴恒成立，C正确；

对D：根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，

故不恒成立，D错误；

故选：ABC.

11．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．函数的单调增区间为

C．函数的图象关于中心对称

D．函数的图象可由图象向右平移个单位长度得到

【答案】AC

【分析】由图象求出函数的解析式，然后逐一去解答各选项的问题而得解.

【详解】

由图象可知，所以，所以，故A选项正确

函数的解析式为，

令得：，

故的单调增区间为，故B选项错误

因为，故C选项正确

因为图象可由图象向左平移个单位长度得到，故D选项错误

故选：AC

【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象求其解析式时，关键是求待定系数ω和φ，一般是由周期求出ω；由图象上的最高(低)点或者零点确定 φ值.

12．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（    ）

A．△ABC的最短边长为4 B．△ABC的三个内角满足

C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为

【答案】AB

【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：．

【详解】因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确；

因为，所以，，故B正确；

因为，所以，由正弦定理得，，C错误；

，所以，故，D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．__________．

【答案】/

【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算即可.

【详解】.

故答案为：.

14．写出一个与向量的夹角为75°的向量___________.（答案不唯一，写出一个即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】先算出，设，利用向量的夹角公式即可得到答案

【详解】解：，

设，所以，

令，解得，

故答案为：

15．已知三条线段的长度分别为、3、4，且，若这三条线段能构成锐角三角形，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】由最大角的余弦值大于零，结合题中已给条件，即可得到的范围.

【详解】设该锐角三角形的最大边4对应的角度为，

故由题可得，解得，即可得

又因为，故可得.

故答案为：.

【点睛】本题考查余弦定理的推论，需要注意的是，若要构成锐角三角形，只需最大角为锐角即可.

16．如图，在平面四边形中，若，，则__________．

【答案】5

【分析】根据，将问题转化为，结合数量积的运算律求解.

【详解】由题意可得：，

故，则，即.

故答案为：5.

四、解答题

17．已知是第三象限角，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用同角三角函数关系求出，再利用两角和的正弦公式求；

（2）直接利用两角差的余弦公式求.

【详解】（1），

，又是第三象限角

，

；

（2）.

18．已知向量，，，．

(1)若，求的值；

(2)若与垂直，求的值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先由向量的坐标运算公式，在于向量的模的坐标表示列方程求的值；

（2）利用向量垂直的坐标表示列方程求的值．

【详解】（1）因为，，

所以，又，

所以，

即，           

解得或．

（2）因为，，

所以，                  

又与垂直，，

所以，               

解得．

19．如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以的速度追缉．

（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？

（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？

【答案】（1）缉私艇应该往东偏北方向追缉；（2）缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获.

【分析】（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获，则可得，然后在中利用正弦定理可求得答案；

（2）中利用余弦定理列方程可求出的值，从而可求出的长，再与比较大小即可得答案

【详解】解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获．

在中，，解得，

则，即缉私艇应该往东偏北方向追缉．

（2）在中，根据余弦定理得，

所以

化简得，

解得或（舍去），

此时走私船前进了．

所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获．

20．已知函数．

(1)求的单调递增区间及对称中心坐标；

(2)将的图象上的各点__________得到的图象，当时，方程有解，求实数的取值范围．

在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．

①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半.

②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．

【答案】(1)单调递增区间为，对称中心为；

(2)选①，的取值范围为；选②，的取值范围为.

【分析】（1）由辅助角公式化简函数解析式得，然后利用整体法分别计算函数的单调递增区间和对称中心；

（2）选择条件①或②，结合三角函数图象的变换公式得到函数的解析式，然后根据的取值范围求得函数的值域，从而确定的取值范围.

【详解】（1），

，

化简得，

所以函数的单调递增区间为，

令，得，

所以函数的对称中心为

（2）选①，将函数向左平移个单位得

，

再将函数横坐标缩短到原来的一半得.

当时，，则，

得，所以函数的值域为，

因为有解，所以，

所以的取值范围为；

选②，将函数横坐标伸长到原来的2倍，

得，再向右平移个单位得

，

当时，，

得，所以函数的值域为，

因为有解，所以，

所以的取值范围为.

21．在中，，，分别是角，，的对边，，.

(1)求角的大小及外接圆的半径的值；

(2)若是的内角平分线，当面积最大时，求的长.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，最后由正弦定理求出外接圆的半径；

（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得到面积最大值，从而求出与，再由正弦定理计算可得；

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理可得，

由余弦定理得，

又，所以，

由正弦定理得，所以.

（2）解：在中，由余弦定理得，

则，即.

，，，

当且仅当时，，

所以.

此时，.

在中，，

由正弦定理得.

22．设为的重心，过作直线分别交线段(不与端点重合)于．若．

（1）求的值；

（2）求的取值范围．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，设，根据， 用 表示，，再由三点共线求解；

（２）由（1）得到，进而得到，利用二次函数的性质求解.

【详解】（1）如图所示：

连结AG并延长交BC于M，则M是BC的中点，

设，

则， ①

又，      ②

，，

三点共线，故存在实数，使，

，则，

消得：，即.

（２） ，

，

 ，即，

，

其中时，有最大值，时，有最小值2，

所以的取值范围是