2022-2023学年重庆市第八中学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年重庆市第八中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；

B，C，，不能作为平面内的所有向量的基底；

D，与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.

【详解】A：由于为零向量，不能作为平面内的所有向量的基底；

B：因为，则，不能作为平面内的所有向量的基底；

C：因为，则，不能作为平面内的所有向量的基底；

D：因为，即与不共线，可以作为平面内的所有向量的基底.

故选：D

2．复数在复平面内对应的点不可能在（        ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【答案】A

【分析】先求出复数的代数形式，进而可得其在复平面内对应的点，观察可得点的位置.

【详解】，

复数在复平面内对应的点为，

又，

不可能成立，

即复数在复平面内对应的点不可能在第四象限.

故选：A.

3．已知平面向量，满足，，，则（        ）

A．2 B．5 C．10 D．

【答案】B

【分析】先求出，再通过计算可得的值.

【详解】，

，

，

.

故选：B.

4．若函数满足，且当时，，则（        ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】先利用求出函数的周期，利用周期性转化代入即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，所以函数的周期为，

所以.

又因为，所以，

当时，，所以，

所以，即.

故选：D.

5．在中，，，，为边上的高，若，则（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用三角形面积结合余弦定理可求得，可得，再利用向量的线性运算表示出和比较，即可求得答案.

【详解】由题意可知,

为边上的高，故,

由余弦定理得，

故，所以,

则，结合，

可得，

故选：C

6．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，取，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（        ）cm．（精确到0.1cm）

A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7

【答案】B

【分析】根据题意得到函数的最小正周期为，结合余弦型函数的性质，列出方程，即可求解.

【详解】因为线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是， ，且取，

又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，

所以函数的最小正周期为，即，解得，

即线长约为cm.

故选：B.

7．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性以及当时，，判断函数单调性，作出其大致图像，数形结合，结合对数函数性质，解不等式，即可求得答案.

【详解】由题意是定义在R上的奇函数，故，

当时，，此时在上单调递增，且过点，

则当时，在上单调递增，且过点，

作出函数的大致图像如图：

则由可得或，

解得或，即的解集为，

故选：D

8．如图，在等腰梯形ABCD中，下底BC长为2，底角C为，腰AB长为，为线段上的动点，设的最小值为，若关于a的方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量加法的几何意义以及向量数量积的运算律，可得出，推出.代入整理可得题意可转化为，即方程在上有两个不相等的实根.设，根据根的分布情况得出不等式组，求解不等式组，即可得出答案.

【详解】因为，

由题意，，，，

设，，

则，，

所以，.

当时，有最小值，

所以.

由题意知，，

即方程在上有两个不相等的实根，设，

所以有，即，解得.

故选：C.

二、多选题

9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．则（        ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据正弦定理得到，A正确，，，B错误，根据余弦定理得到，C错误，计算面积得到D正确，得到答案.

【详解】对选项A：，则，

即，，

，，故，，故，正确；

对选项B：根据正弦定理：，即，，

，故，则，错误；

对选项C：根据余弦定理：，即，

解得，或（舍去），错误；

对选项D：，正确.

故选：AD

10．主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声，设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（        ）

A．

B．

C．曲线的对称轴为，

D．将图象向左平移个单位后得到的图象

【答案】ABC

【分析】根据题意得到A正确，根据周期得到，根据得到，根据得到，B正确，计算对称轴得到C正确，根据平移法则得到D错误，得到答案.

【详解】对选项A：，正确；

对选项B：，故，，

且 在的单调递减区间上，，

则，，故，

又，故，，正确；

对选项C：，由，解得，，正确；

对选项D：图像向左平移个单位得到：

，错误.

故选：ABC

11．设，为复数，则下列结论中正确的是（        ）

A．若，则 B．若，则的最大值为

C． D．

【答案】ACD

【分析】设，根据复数代数形式的除法运算及复数的概念判断A，根据复数的几何意义判断B，根据复数代数形式的乘法运算及复数的模判断C，根据复数的向量表示及向量的不等式，即可判断D.

【详解】对于A：设，，、不同时为零，

则，

因为，所以，则，所以，故A正确；

对于B，设，，由，则，

即，在复平面内点表示以为圆心，为半径的圆，则，故B错误；

对于C：设，，，

则，

所以

，

，

所以

，

所以，故C正确；

对于D：由确定向量，确定向量，

结合向量不等式可得，即恒成立，所以D正确．

故选：ACD

12．已知函数在上单调，且满足，．若在有且仅有7个零点，则下列说法正确的是（        ）

A．

B．

C．与在上有且仅有4个公共点

D．在上单调递增

【答案】AC

【分析】确定的对称中心为，对称轴为，得到，根据零点个数得到，，A正确，B错误，确定得到C正确，计算单调区间得到D错误，得到答案.

【详解】在区间上单调，，，

，故的对称中心为，

且，则，故，

且，故的对称轴为.

从而，且，故，，

在上有且仅有7个零点，故，即 ，故，

，又，所以，

对选项A：，正确；

对选项B：，错误；

对选项C：，则，，有4个解，正确；

对选项D：由得，，

即在，上单调递增，故在上单调递增，在单调递减，错误.

故选：AC

三、填空题

13．已知的共轭复数为，则____________．

【答案】/

【分析】直接代入复数计算即可.

【详解】由已知得

.

故答案为：.

14．在平面直角坐标系中，角α以为始边，角α的终边过点，且，则____________．

【答案】

【分析】根据三角函数定义求得，再根据两角差的正切公式即可求得答案.

【详解】由题意得角α的终边过点，故，

故，

故答案为：

15．已知，，，则的最大值为____________．

【答案】/

【分析】将化为，继而将变形为，展开后利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由已知，，，

则，

而，当且仅当时等号成立，

故的最大值为.

故答案为： .

16．已知正六边形的边长为4，P为正六边形所在平面内一点，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示求得的表达式，配方后即可求得答案.

【详解】如图，以正六边形的中心为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

则,设点，

则,

故

，

故当，即P点坐标为时，

取到最小值为，

故答案为：

【点睛】方法点睛：建立恰当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，求得的表达式即可求解最值.

四、解答题

17．已知函数

(1)求的最小正周期；

(2)若在区间上的最小值为2，求在该区间上的最大值．

【答案】(1)

(2)5

【分析】（1）先将函数变形为的形式，进而可得周期；

（2）先利用正弦函数的性质，通过函数的最小值可得，进而可求最大值.

【详解】（1）由已知得，

的最小正周期为；

（2）当时，，

的最小值为

，

在该区间上的最大值为,

当，即时可以取到.

18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．

(1)求A；

(2)若的面积，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的正弦和余弦公式化简可得，进而求解；

（2）结合题意和三角形面积公式得到，然后利用余弦定理得到，最后结合正弦定理即可求解.

【详解】（1）因为，由二倍角公式可得，

，又因为，所以，

则，所以.

（2）由，得，

则①，又，所以，②

由①②可得：，将其代入②式可得：，

由正弦定理可得：，则.

19．如图，平行四边形的两条对角线相交于点C，点满足，，设，，且．

(1)用，表示；

(2)若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案；

（2）根据得，结合，可推出，利用向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】（1）由题意得

；

（2）因为，所以，

即，

结合，可得，

故，

因为，故.

20．如图，在平面四边形中，，，．

(1)若，求的面积；

(2)若，求．

【答案】(1)6

(2)

【分析】（1）利用余弦定理求得，结合诱导公式即可求得，根据三角形面积公式即得答案.

（2）设，利用正弦定理推出，结合二倍角公式求出，即可求得答案.

【详解】（1）在中，，,,

由余弦定理可得,

又，即，

故，

所以.

（2）设，则, ,

在中，由正弦定理可得,

即，即，

于是，解得或（舍去），

 由于，所以，

故.

21．已知是奇函数．

(1)设，求不等式的解集．

(2)函数在区间上的最小值为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据奇函数得到，再确定为奇函数，，题目转化为，根据函数得到单调性得到答案.

（2）设，根据单调性得到，，考虑，两种情况，结合对称轴分类讨论，根据函数的单调性计算最值得到答案.

【详解】（1）函数的定义域为，为奇函数，，故，

当时，，，函数为奇函数，满足.

故，故为奇函数，

，，

所以等价于，即，

单调递增，故，即，故解集为.

（2），设，

在是增函数，当时，，且，

则，

当时，，在上单调递减，；

当时，函数的对称轴为，

当时，即时，在上单调递减，；

当时，即，在上单调递减，在上单调递增，；

当时，即，在上单调递减，，

综上所述：.

22．已知向量，其中，．

(1)若，且，求向量在向量上的投影向量；

(2)设、、是坐标平面内三点，，其，，．若为等边三角形，求θ的所有可能值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出的坐标，根据平面向量共线的坐标表示结合同角三角函数的基本关系求出、的值，可得出向量的坐标，再利用投影向量的定义可求得向量在向量上的投影向量的坐标；

（2）求出向量、的坐标，进而可求得向量、的坐标，根据为等边三角形可得出，，利用三角恒等变换可得出，结合角的取值范围可求得角的值，求出的取值范围，结合可求得角的取值.

【详解】（1）解：因为，，所以，，

又因为，其中，，所以，，

因为，则，由，解得，

所以，，则，，

所以，在方向上的投影向量为.

（2）解：

，

，

所以，，

，

因为为等边三角形，所以，，

所以，，

所以，

，

，，，所以，，

因为，所以，，

因为，所以，，解得或.

【点睛】关键点点睛：解本题第二问的关键在于计算出、的坐标，抓住为等边三角形这个条件，从边和角这两个层面进行分析，利用向量数量积这一工具，结合三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的取值范围得出答案.