2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与角终边相同的最小正角为（    ）

A．23° B．137° C．223° D．337°

【答案】C

【分析】运用终边相同的角的定义求解即可.

【详解】因为，

所以与角终边相同的最小正角为.

故选：C.

2．已知向量，，则的值为（    ）

A．12 B．10 C．8 D．6

【答案】B

【分析】现根据平面向量坐标的线性运算求得，进而根据向量的模长公式求解即可.

【详解】由，，

可得，

所以.

故选：B.

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．－

【答案】C

【分析】运用诱导公式化简即可.

【详解】.

故选：C.

4．已知G是△ABC的重心，若）则（    ）

A．－1 B．1 C． D．－

【答案】D

【分析】根据三角形重心的定义和向量的线性运算进行解决.

【详解】由题意，画图如下：

由重心的定义，可知：

，

则.

故选：D.

5．函数且的图象是下列图象中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的自变量，将函数变形为结合正弦函数的性质与图象，根据选项即可求解.

【详解】依题意，

由此判断出正确的选项为C.

故选：C.

6．已知平行四边形ABCD中，，点P在线段CD上（不包含端点），则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的数量积的定义，由可得，再以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，设，进而根据向量坐标的线性运算即数量积的坐标表示可得，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】∵，，，

∴，

即，即，

以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，

∴，，，，

设，

∴，

∴，

设，∴在上单调递减，在上单调递增，

∴，，

则的取值范围是.

故选：A.

7．已知函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后恰好为奇函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】根据题意求得的最小正周期为，得到，结合三角函数的图象变换，得到，由为奇函数，求得，进而求得的值.

【详解】因为函数与x轴交于A，B两点，且线段AB长度的最小值为，

可得函数的最小正周期为，所以，所以，

将函数的图象向左平移个单位长度，得到，

又因为为奇函数，可得，即，

因为，当时，可得；当时，可得，

所以的值为或.

故选：D.

8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】B

【分析】在中，设，根据题意利用正弦定理可得，然后利用余弦定理即可求解.

【详解】在中，，设，则，

由正弦定理可知，，即，则，

在中，，

，又，则，故，

故选：B.

二、多选题

9．已知函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为 B．是偶函数

C．在上单调递增 D．当时，的取值范围为

【答案】ABD

【分析】运用图象平移变换求得的解析式，运用公式可判断A项，运用偶函数的定义可判断B项，求的单调递减区间，判断是否包含于的单调递减区间即可判断C项，运用在上单调递减求的值域即可判断D项.

【详解】由题意知，，

对于A项，，故A项正确；

对于B项，的定义域为，，所以为偶函数，故B项正确；

对于C项，因为，，解得：，，

所以单调递减区间为，，

又因为，，

所以在上单调递减，故C项错误；

对于D项，由C项知，在上单调递减，，，

所以的值域为，故D项正确.

故选：ABD.

10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂密，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．在上的投影向量为 D．

【答案】BCD

【分析】可得与为相反向量可判断A；利用数量积公式计算可判断B；由投影向量的定义可判断 C；由图得直线平分，且与的交点为中点，利用均为含的直角三角形，可判断D.

【详解】对于A，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；

对于B， ，，所以， 故B正确；

对于C，因为，则在上的投影向量为，故C正确；

对于D，由图易得，直线平分，且与的交点为中点，

且为正三角形，根据平行四边形法则有与共线且同方向，

，故，

则，而，故，故，故D正确.

故选：BCD.

11．已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列四个命题中正确的命题是（    ）

A．若，则一定是等边三角形

B．若，则一定是等腰三角形

C．若，则一定是锐角三角形

D．若，则一定是钝角三角形

【答案】AD

【分析】利用正弦定理以及正切函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理结合二倍角公式可得出、的关系，可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；分析可知、、中一定有一个小于成立，可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，

则，

因为至少有两个锐角，从而可得，

故为锐角三角形，

因为正切函数在上为增函数，故，

所以，为等边三角形，A对；

对于B选项，因为，由正弦定理可得，即，

因为、，所以，，,

又因为、中至少有一个为锐角，则，则、均为锐角，

所以，、，所以，或，即或，

为等腰三角形或直角三角形，B错；

对于C选项，时，由余弦定理可得，

即为锐角，但、是否都是锐角，不能保证，

因此不一定是锐角三角形，C错；

对于D选项，因为、、，由，

因为、、至少有两个锐角，则、、中至少有两个正数，

可得、、中一定有一个小于成立，

不妨设，可得，

所以为钝角三角形，所以D正确．

故选：AD．

12．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，的面积S满足．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】结合题意和余弦定理得出，判断选项A；利用三角形面积公式判断选项B；利用平面向量的数量积运算判断选项C；利用平面向量的基本定理即可求解D

【详解】由，得

，即

得，又，故，

∴，即所以A正确；

，所以B错误；

，所以C正确；

由，可知

得解得：，故，所以D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．已知向量满足，则与的夹角为___．

【答案】/

【分析】根据平面向量数量积的性质求解即可.

【详解】设与的夹角为，

由，可得，

即，

即，

即，

即，又，

所以

故答案为：.

14．已知定义在上的函数不是常数函数，且同时具有下列两个性质：①；②．请你写出符合上述条件的一个函数＝___．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据偶函数和周期性直接写出一个符合题意的函数即可.

【详解】由题意可知，为偶函数，且周期为，

所以可以取.

故答案为：（答案不唯一）

15．已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___．

【答案】

【分析】利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为，的角平分线交于点，且，

因为，即，

即，即，所以，，

所以，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

故答案为：.

16．已知函数），若方程在 上恰有5个实数解，则实数的取值范围为___．

【答案】

【分析】由可得，运用换元法令，将问题转化为在上恰有5条对称轴，画图象运用数形结合列式即可求得结果.

【详解】当时，，

因为函数在区间上恰好有5个x，使得，

故在上恰有5条对称轴．令，

则在上恰有5条对称轴，如图：

所以，解得．

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量．

(1)若，且，求的坐标；

(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及垂直求解即可；

（2）由题意可得且与不共线，进而根据平面向量数量积和共线的坐标表示求解即可.

【详解】（1）由，

所以，

设，

因为，

所以，

因为，所以，

解得，或，

所以的坐标为或.

（2）由，

所以，

因为与的夹角为锐角，

所以且与不共线，

，

解得且，

即实数的取值范围为.

18．函数的部分图像如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)求在上的单调递减区间及对称轴．

【答案】(1)；

(2)单调减区间为；对称轴方程为和

【分析】（1）由函数图像得，计算得周期，从而得，再代入最大值计算可得值，从而可得函数解析式；（2）由整体法计算函数的单调递减区间和对称轴方程，然后结合的范围，可得答案.

【详解】（1）由图可得，周期为，所以，

因为，所以；

根据图像可得，解得，

因为，所以，所以

（2）令，

解得，

令，

解得对称轴方程为：；

所以单调递减区间为；

对称轴方程为：

所以在上的单调减区间为；

在上的对称轴方程为和

19．已知，且函数．

(1)化简；

(2)若函数，试求其最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由可得，结合同角三角函数关系化简即可；

（2）根据题意可得的定义域为，化简可得，进而求解.

【详解】（1），

.

（2），

，

的定义域为，

由，

，

当sin时，取最大值.

20．如图，在菱形ABCD中，，E，F分别是边AB，BC上的点，且，，连接ED、AF，交点为G．

(1)设，求t的值；

(2)求的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1），由三点共线得，，结合平面向量基本定理可求得；

（2）取作为平面的一组基底，用基底表示出向量，求出，，，由向量夹角公式即可求得答案.

【详解】（1），

又D，G，E三点共线，则，

则，

因为，不共线，由平面向量基本定理，得且，

解得.

（2）取，作为平面的一组基底，

则，

则，

.

，

，

．

21．已知函数．

(1)若，且，求的值；

(2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）化简解析式，由得到，从而求得，进而求得.

（2）由求得，利用正弦定理化简，通过的取值范围，求得的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以，

又，则，

所以，

又，

故.

（2）由，又，

所以，即．

由正弦定理，可得，

因为是锐角三角形，

所以，即．

所以，

所以．

即的取值范围为.

22．某公园有一块矩形空地ABCD，其中，百米，百米．为迎接“五一”观光游，欲从边界AD上的中点P处开始修建观赏小径PM，PN，MN，其中M，N分别在边界AB，CD上，小径PM与PN相互垂直，区域PMA和区域PND内种植绣球花，区域PMN内种植玫瑰花，区域BMNC内种植杜鹃花．设．

(1)设种植绣球花的区域的面积为S，试将S表示为关于的函数，并求其取值范围；

(2)为了节省建造成本，公园负责人要求观赏小径的长度之和（即的周长l）最小．试分析当为何值时，的周长l最小，并求出其最小值，

【答案】(1)；

(2)当时，的周长l取得最小值，最小值为百米

【分析】（1）结合题意可得，进而可得，再结合对勾函数的性质即可求解；

（2）在直角中，，在直角中，，由勾股定理得，，可得，令，进而求解即可.

【详解】（1）由题意，当点M位于点B时，角取最大值，此时，

因为，所以，

当点N位于点C时，由对称性知取最大值，角取最小值，

所以角的取值范围是，

在直角中，；

在直角中，，

所以种植绣球花的区域的面积

，

令，

则由知，，

所以，

由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，

，

所以S的取值范围为.

（2）在直角中，，

在直角中，且，

所以，

在直角中，由勾股定理得，，

因为，所以，

所以，

所以，，

令，

因为，所以，

又由，

可得，且在上单调递减，

当时，，

此时，即，

综上，当时，的周长l取得最小值，最小值为百米