2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中联考试题数学试题含答案

  武汉市部分重点中学2022-2023学年度下学期期中联考

高一数学试卷

命题学校：武汉一中    命题教师：     审题教师：

考试时间：2023年4月19日下午14：00-16：00    试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足，为虚数单位，则（    ）

A． B. C． D．

2.已知向量，，．若与垂直，则实数的值为（    ）

A．  B. C．3 D．

3.下列说法正确的是（　 　）

A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段

C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台

4.如图所示，点E为的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则=（）

1. B. C. D.

5.如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（    ）

A.                                  B.C．四边形ABCD的周长为D．四边形ABCD的面积为6

6.已知角α满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7.如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转一周后所得如图的一开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（  ）

    A.   B.     C.   D.

8. 已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（    ）

A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数是奇函数 B．函数的一个对称中心是

C．若，则 D．函数的一个对称中心是

10. 已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，下列说法中正确的是（    ）

A.若，则一定是锐角三角形

B. 若，则一定是等边三角形

C. 若，则一定是等腰三角形

D. 若，则一定是等腰三角形

11.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ）

A．对应的点位于第二象限 B．为纯虚数

C．的模长等于 D．的共轭复数为

12.假设，且.当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：分别为x轴，y轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么下列说法中正确的是（   ）

A.设，则

B.设，，若，则

C.设，，若，则

D.设，，若与的夹角为，则

三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量 ，，则向量在向量上的投影向量为________（用坐标表示）．

14.在中，，，，O为三角形ABC的外心，则为______.

15.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点.当底面ABC水平放置时，液面高为__________.

16. 若为一个三角形的三边长，则称函数在区间上为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”,请解决以下问题：

(1)在区间上的值域为________；

(2)实数的取值范围为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知.

(1)若为锐角，求的值；

(2)求的值.

18.（12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数在一个周期内的图象；

(2)将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，若的图象关于y轴对称，求的最小值.

19.(12分）如图，在中，点为边的中点，.

(1)若，求；

(2)若，求的值.

20. （12分）如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算:

(1)   求下部四棱台的侧面积；

(2)   求奖杯的体积（尺寸如图，单位：cm，取，取）

21.（12分）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且．

(1)求；

(2)若的面积为，为内角的角平分线，交边于点,求线段长的最大值．

22.（12分）如图，已知,,与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点），记与的夹角为.

(1)求外接圆的直径；

(2)试将表示为的函数；

(3)设点满足，若，其中,求的最大值.

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高一数学试卷参考答案与评分细则

13.    14.     15.    16.（第一空2分，第二空3分）

17.（1）解：由已知得，

又，且为锐角，

解得，，        -------------------------------------------------------2分

所以，.------5分

（2）解：由已知，可得， -----------------------------------------------6分

所以， -------------------------------------------------------8分

所以. -------------------------------------------------------10分

18（1）

--------------------------------------------------3分

由表中数据可得，，，所以，则，

当时，，则，所以

        -----------------------------------6分

（2）由题意可得，，-----------------8分

因为的图象关于y轴对称，则，，

解得，且，--------------------------------------------------10分

所以当时，.       --------------------------------------------------12分

19.（1）因为，          --------------------------------------------------2分

所以，------5分

故.                           --------------------------------------------------6分

（2）因为，所以，所以，  -----------------7分

设.--------------------------------------------------9分

因为，

所以，.             --------------------------------------------------12分

20. （1）奖杯底座的侧面上的斜高等于和．----3分

故.--------------------------------------------6分

(2)   

-----------------------------12分（上部、中部、下部的体积每部分2分）

21. （1）由正弦定理，得，即，--------------------------2分

故                          ----------------------------------4分

（2）由（1）知，

因为的面积为，所以，解得，----------------------------6分

又因为,

所以，.----7分

于是

那么.                      --------------------------9分

所以（当且仅当时等号成立）

故的最大值为.                   ---------------------------------------------------------12分

（其余解法酌情给分.）

22.（1）连，在中，由余弦定理

又由正弦定理,可得                               ----------------3分

（2）连接,在中，由正弦定理，,且为锐角.

所以.

故,所以----------5分

即------------7分

(3)   ;

故    ----------------------------------------------9分

---------------------------------10分

所以

故                ------------------------------------------------------------12分