2022-2023学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年河南省洛阳市高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算，化简复数，即可根据复数的几何意义，得出答案.

【详解】因为，

所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D.

2．已知直线，平面，若，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即可得答案.

【详解】由题意可知，若，

当时，若，则可能平行，也可能相交；

当时，一定有成立，

故是的必要不充分条件，

故选：B

3．2022年4月16日，神舟十三号三名航天员成功返回降落点，返回舱外形呈钟形钝头体，若将其近似地看作圆台，其高为2.5m，下底面圆的直径为2.8m，上底面圆的直径为1m，则估算其体积约为（    ）（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆台的体积公式，即可求得答案.

【详解】由题意知圆台高为2.5m，下底面圆的半径为1.4m，上底面圆的半径为0.5m，

则估算其体积约为

（），

故选：B

4．在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（    ）

A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形

【答案】D

【分析】取的中点E，的中点F，连接，证明在同一平面内，且四边形为等腰梯形，证明平面平面，即可确定答案.

【详解】根据题意，取的中点E，的中点F，连接，

则，所以，且,

故在同一平面内，

连接，因为分别为的中点，

所以，且，

所以四边形是平行四边形，

所以，又因为平面，平面，

所以平面，

同理平面，

因为平面，

所以平面平面，

即平面截该正方体所得截面为梯形；

又由梯形中， ，

即平面截该正方体所得截面为等腰梯形,

故选：D

5．如图，用斜二侧画法得到的直观图为等腰，其中，则的面积为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可求得答案.

【详解】由于的直观图为等腰，其中，故,

故,

根据直观图面积和原图面积之间的关系式,

故，

故选：C

6．已知△ABC中，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可知，且O是边的中点，结合可得是等边三角形，从而推出，利用投影向量的定义即可求得答案.

【详解】由,知，且O是边的中点，

则,而，所以，

所以是等边三角形，所以,

因此向量在向量上的投影向量为，

故选：A

7．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】法一：构建以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x、y即可求值；

法二：过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，利用向量加法的平行四边形法则可得求x、y，进而求值；

法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、及已知条件构建方程求x、y即可.

【详解】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设，则，由，，则且，

又，，即，

∴，

由，有，解得，故.

法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，

∴.

由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.

由，，得，易知，，

∴，则，故，于是，又，

∴，即.

法三：设，由，，得，，

由，得，又，则.

又，

，

∴，于是，故.

故选：B.

8．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接交于点，连接，根据线面平行得性质证明，再根据可得，进而可得出答案.

【详解】连接交于点，连接，则平面即为平面，

因为，平面，平面，

所以，

因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，

所以，，

所以且，

所以，

又，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到是解决本题得关键.

二、多选题

9．已知直线a，b，平面，则下列说法错误的是（    ）

A．，，则

B．，，则

C．a，b异面，且，，，，则

D．，，则

【答案】ABD

【分析】以正方体为例，举例即可说明A、B、D错误；根据线面平行的性质定理以及面面平行的判定定理，即可得出C项.

【详解】

对于A项，如图1，，平面，但是平面，故A错误；

对于B项，如图1，平面，但是平面，但是，故B错误；

对于C项，如图2，因为，根据线面平行的性质定理可知，过直线，，，且，有.

因为，，所以.

因为，，，，，所以，故C项正确；

对于D项，如图1，平面，平面，但是平面平面，故D项错误.

故选：ABD.

10．在中，内角 所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ）

A．若,则

B．若的三角形有两解，则a的取值范围为

C．若点O为内一点，且，则

D．若是锐角三角形，，则边长c的取值范围是

【答案】AD

【分析】根据正弦定理可判断A；利用正弦定理解三角形可判断B；根据向量的线性运算结合三角形面积公式可判断C；根据三角形为锐角三角形，利用余弦定理列出不等式，可判断D.

【详解】由，可得，根据正弦定理得，即选项A正确；

在中，，∴由正弦定理得,

∵，∴，

要使三角形有两解，得到，且，,

即，解得，故B错误；

如图，取中点D，连接，

则，∴，∴三点共线,

所以，

则，

∴，故C错误；

对选项D，因为是锐角三角形，

所以，整理可得，

解得，故D正确，

故选：AD

11．一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向上，下面结论正确的有（    ）

A．海里 B．海里

C．或 D．灯塔C在D的南偏西方向上

【答案】ABD

【分析】画出示意图，由题意确定相应角大小、边长度，利用正余弦定理求、，进而判断各项的正误.

【详解】由题设，，，则，

所以，则海里，A正确；

所以海里，B正确；

由，则，故，灯塔C在D的南偏西方向上，C错误，D正确；

故选：ABD

12．根据《周髀算经》记载，满足勾股定理的正整数组（a，b，c）称为勾股数组，任意一组勾股数组（a，b，c）都可以表示为如下的形式：，其中，，均为正整数，如图，中，，三边对应的勾股数中，点M在线段EF上，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】先通过勾股数确定三角形的边长，再结合向量的数量积的定义及运算律即可求解.

【详解】由题意可得，显然，，

所以在直角中，，

若，则，即，

此时，与矛盾，不符合题意；

若，则，即，

此时，符合.

综上所述，，故A错误，B正确；

由，，，，，

所以，

所以，故C错误；

，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．若与共线，则 ___．

【答案】

【分析】根据向量共线的坐标表示，列式即可求得答案.

【详解】因为与共线，

故，

故答案为：

14．若，则___．

【答案】

【分析】求出，利用复数的模长公式可求得.

【详解】，，

因此.

故答案为：.

15．已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.

【答案】/

【分析】根据题意可转化为正方体内切球的内接正方体，利用直径与体对角线的关系求解即可.

【详解】设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，

则，解得.

设所求的小正方体的棱长为a，

则，

所以，

所以小正方体体积的最大值为.

故答案为:

16．在△ABC中，点D是边AC上一点，，则△ABC面积的最小值是___．

【答案】/

【分析】由已知求得、，应用差角正弦公式求得，令，结合得到，注意范围，最后利用三角形面积公式、二次函数性质求△ABC面积的最小值.

【详解】由，则，且，

又D是边AC上一点，，则，

所以

，

设，且，则，

所以，则，

故，而，

所以，即时，△ABC面积的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知复数z与均为纯虚数．

(1)求z；

(2)若是关于x的方程的一个根，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，化简，根据其为纯虚数可得，即可求得答案；

（2）利用（1）的结论可得为方程的一个根，代入化简结合复数相等，可列出方程组，求得答案.

【详解】（1）设，则由题意得，

由为纯虚数，得

解得 ，

所以.

（2）由（1）可知为方程的一个根，

∴，

整理得，

∴，得.

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．

已知是的三个内角的对边，且___．

(1)求B；

(2)若，且的面积为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，由正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得答案；

选②，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得答案；

选③，由正弦定理边化角，结合三角恒等变换以及同角的三角函数关系即可求得答案；

（2）由三角形面积可求得，结合余弦定理即可求得答案.

【详解】（1）选①, ,

∵，

∴,

由正弦定理，得，

整理得，则，

因为，所以.

选②,,

则，即，

∵，∴ ，

故，即.

选③，，

由正弦定理得，

即，

即，

整理得，

而，∴，即

因为，所以.

（2）由,

得,

由余弦定理得，

整理得，

所以,结合，

得.

19．如图所示，在三棱柱中， 分别是，，的中点，求证：

(1)平面；

(2)平面平面．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）先证明平面，再证明平面,根据面面平行的判定定理即可证明结论.

【详解】（1）证明：∵分别是的中点，

∴,

又在三棱柱中，，

所以．

又平面， 平面，

所以平面.

（2）证明：由（1）知，平面，平面，

∴平面，

又∵分别为中点，

 故，,

又∵，∴,

∴四边形为平行四边形，

∴,

又∵平面，平面，

∴平面,

又∵平面,

∴平面平面．

20．已知平行四边形中，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M，，设，且．

(1)用表示；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算即可求得答案；

（2）求得，,根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】（1）由题意得，，

故；

（2）为向量和的夹角，且,

而，所以,

同理,，

 ,而，

所以.

21．已知a，b，c是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且．

(1)求B；

(2)若，求△ABC面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用正弦边角关系、三角形内角性质及和角正弦公式得，进而求B的大小；

（2）应用余弦定理及基本不等式求得，注意等号成立条件，再应用三角形面积公式求面积最值.

【详解】（1）由结合正弦定理可得，

则，

而，

所以，而，故，

所以，则，

由，所以即.

（2）由，则，仅当时等号成立，

所以，即△ABC面积的最大值为.

22．定义函数的“伴随向量”为；向量的“伴随函数”为．

(1)写出函数的“伴随向量”，并求；

(2)记向量的伴随函数为，若当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先将函数化简，再根据“伴随向量”的定义即可得，再根据向量的模得坐标公式即可得解；

（2）先根据“伴随函数”的定义求出，再分，，三种情况讨论，利用分离参数法即可得解.

【详解】（1），

所以函数的“伴随向量”，

所以；

（2）因为向量的伴随函数为，

所以，

则不等式恒成立，

即为恒成立，

即为在上恒成立，

由，得，

当，即时，，

则不等式即为成立，此时；

当，即时，，

则不等式等价于恒成立，

此时，

所以；

当，即时，，

则不等式等价于恒成立，

此时，

所以，

综上所述实数k的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：理解“伴随向量”和“伴随函数”的定义是解决本题的关键.