2022-2023学年四川省仁寿第一中学校南校区高二下学期3月月考数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省仁寿第一中学校南校区高二下学期3月月考数学（文）试题

一、单选题

1．下列与二进制数相等的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先将化为十进制数,再将各选项也化为十进制，从而得出答案.

【详解】将化为十进制数：,

所以1001101 (2) ＝115 (8) .

故选：A.

2．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设回归直线方程为，根据回归直线必过样本中心，求.

【详解】由回归直线的斜率的估计值为1.23，

设回归直线方程为，代入 ，

，解得： ，

回归直线方程是.

故选：C

【点睛】本题考查回归直线方程，意在考查基本公式和计算，属于简单题型.

3．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品任意取出3件，设表示事件“3件产品全不是次品”，表示事件“3件产品全是次品”，表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（    ）

A．与互斥

B．与互斥

C．、、任意两个事件均互斥

D．、、任意两个事件均不互斥

【答案】B

【分析】根据题意，分别写出事件、、的可能情况，再结合互斥事件的概念判断即可.

【详解】解：根据题意，选出的三件产品的可能情况为：3件全是次品；2件次品，1件正品；1件次品，2件正品；3件全是正品.

其中，事件为：3件全是正品；事件为：3件全是次品；

事件为：3件全是次品；2件次品，1件正品；1件次品，2件正品.

所以，事件与事件不可能同时发生，是互斥事件；

事件与事件不可能同时发生，是互斥事件；

当事件发生时，事件一定发生，所以事件与事件不是互斥事件，

故选：B.

4．某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用平均数和方差的公式即可求解.

【详解】设这个班有n个同学，分数分别是，，，…，，

第i个同学的成绩没录入，

第一次计算时，总分是，

方差；

第二次计算时，，

方差，

故.

故选：C.

5．某校有高三学生1200名，现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测，用电脑对这1200名学生随机编号1，2，3，…，1200，已知随机抽取的一个学生编号为10，则抽取的学生最大编号为（     ）

A．2004 B．1198 C．1192 D．1086

【答案】B

【分析】首先求出分段间隔，再根据系统抽样规则计算可得.

【详解】根据系统抽样法可知，分段间隔为，编号共分为段，编号属于第段，

所以最大编号在第段，号码为．

故选：B

6．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是（计算平均值时同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（    ）

A．63、64、66 B．65、65、67 C．65、64、66 D．64、65、64

【答案】B

【分析】根据频率分布直方图估计众数、中位数、平均数.

【详解】由图可知：各组的频率依次为，

可得的频率最大，故众数的估计值为65，

∵，故中位数位于内，

设中位数为，则，解得，

平均数，

故选：B.

7．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】依题意得圆的圆心为，半径为.

要使直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得.

由几何概型的概率公式，得在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为.

故选A.

点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；

（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；

（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.

8．从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，

基本事件总数n=5×5=25，

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），

共有m=10个基本事件，

∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=

故答案为D．

9．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(　　)

A．15 B．105 C．245 D．945

【答案】B

【详解】试题分析：采用列举法列出运算各步结果结束算法，输出，故选B．

【解析】算法与程序框图．

10．将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（    ）

A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8

【答案】C

【分析】列举出所有可能的结果，找到2个1不相邻的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.

【详解】2个1和3个0随机排成一行，基本事件有：，，，，，，，，，，共种；

其中2个1不相邻的有：，，，，，，共种，

所以所求概率.

故选：C.

11．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（ 　  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意，求得两面涂有油漆的小正方体个数，根据古典概型概率公式，即可得答案.

【详解】一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，

其中满足两面漆有油漆的小正方体有12×8=96个

所以从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率

故选：D

12．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．

【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，

对应区域为边长为的正方形，其面积为，

若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，

其面积；则有，解得

故选：．

【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

二、填空题

13．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有______人．

【答案】8100

【解析】先设出北乡人，再根据分层抽样的方法列出式子，即可求解.

【详解】解：设北乡有人，

根据题意得：，

解得：，

故北乡共有人.

故答案为：.

14．用秦九韶算法求，当时=_____．

【答案】75

【分析】把所给的多项式用秦九韶算法表示出来，写出要求的表达式，代入计算即可得出.

【详解】因为，

所以当时，，，，.

故答案为：75

15．如图的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次体育测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则______．

【答案】2

【分析】根据茎叶图和题中所说的平均数和中位数计算未知量即可.

【详解】由茎叶图得甲组数据为：9，12，，24，27，

因为甲组数据的平均数为18，所以，

解得;

由茎叶图可知乙组数据为：9，15，，18，24，

乙组数据的中位数为16，所以，解得，

所以．

故答案为：2

16．已知P，E，F,G都在球面C上，且P在所在平面外，， ，，，在球 C内任取一点，则该点落在三棱锥P﹣EFG内的概率为 _____ ．

【答案】

【分析】由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再分别求出三棱锥及其外接球的体积，由测度比为体积比得答案．

【详解】如图，

在中，由已知可得，，

可得，设的外接圆的半径为r，由，可得，

再设的外心为，过作底面EGF的垂线，且使，

连接OE，则，OE为三棱锥的外接球的半径，

则；，

由测度比为体积比，可得在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P﹣EFG内的概率为．

故答案为：．

【点精】本题考查球内接多面体及其体积、考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

三、解答题

17．某校早上8:10开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～8:00之间到校，且每人在该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.

【答案】

【分析】根据几何概型，利用面积的比值可求概率.

【详解】设小张和小王到校时刻分别为，且.

两人到校时刻相差10分钟等价于，且.

模型符合几何概型的定义，由图可知：所求事件的概率为.

18．为预防甲型H1N1病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33.

(1)求x的值；

(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？

(3)已知，求不能通过测试的概率．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】(1)根据概率与频率的关系求解；(2)根据分层抽样的抽取方法求解；(3)利用古典概率模型求解.

【详解】（1）因为在全体样本中随机抽取1个，

抽到B组疫苗有效的概率是，所以.

（2）组的样本个数为，

所以应在C组抽取.

（3）由（2）可知，，且，

所以样本空间包含的基本事件有：

共有11个，

若测试不能通过，则，解得，

所以包含的样本点由共2个，

所以不能通过测试的概率为.

19．设关于的一元二次方程为.

（1）若是从-2，1，2，3四个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

（2）若是从区间中任取的一个数，是从区间中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）首先根据方程有实根得到，再列出全部基本事件，找到的基本事件个数，根据古典概型公式即可求出答案.

（2）首先根据，画出图像并求出面积，再找到表示的区域并求出面积，根据几何概型公式即可求出答案.

【详解】设事件为“方程为有实数根”，

事件发生时，满足，即.

（1）基本事件共有个：

，，，，，，

，，，，，，

其中第一个数表示，第二个数表示的取值.

事件包含11个基本事件，

故事件发生的概率.

（2）由图知：

实验的全部结果构成的区域为，其面积为6，

构成事件的区域为且，其面积为4，

故事件发生的概率.

【点睛】本题第一问考查古典概型，第二问考查几何概型，根据题中所给的不等式找到相应的区域为解题的关键，属于中档题.

20．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.

(1)求商店日利润关于需求量的函数表达式；

(2)估计日利润在区间内的概率.

【答案】(1)

(2)0.54

【分析】（1）根据题意列出分段函数解析式，即得答案；

（2）判断的单调性，确定日利润在区间内的概率即为求海鲜需求量在区间的频率，结合频率分布直方图可得答案.

【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：,

化简得：.

（2）由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

由于时，,

故在区间上单调递增，

令，得；令，得；

故求日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率，

即为；

21．2020年是具有里程碑意义的一年我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年．截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的下降至2018年的；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．

(1)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，请根据频率分布直方图，估计该地区2018年家庭人均年纯收入的平均数；

(2)2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：

由散点图及相关性分析发现:家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，试根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程.

参考公式和数据:线性回归方程中，；.

【答案】(1)5.16

(2)

【分析】（1）结合频率分布直方图根据平均数的计算方法，即可求得答案；

（2）求出，利用最小二乘法的公式求出回归直线方程的系数，可得答案.

【详解】（1）人均年纯收入在区间的频率是；

人均年纯收入在区间的频率是；

人均年纯收入在区间的频率是；

人均年纯收入在区间的频率是；

人均年纯收入在区间的频率是；

人均年纯收入在区间的频率是；

所以该地区2018年家庭人均年纯收入的平均数为：

（2）由题意得：，，

，

所以：，

，所以回归直线方程为：

22．（1）已知函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围；

（2）已知函数，集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可知问题转化为，进而解不等式可得答案；

（2）将问题转化为函数，，满足，进而分类讨论，确定函数的最值，解不等式，可得答案.

【详解】（1）由题意可知，

由于在上单调递减，故；

在上单调递增，故，

所以，

可得实数的取值范围是．

（2）由题意可知函数，，需满足，

函数图象开口向上，对称轴为直线．

①当时，函数在上为增函数，

则，，

故，此时；

②当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，，

故，此时；

③当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，，

故，此时；

④当时，在上减函数，

∴，，

故，此时．

综上所述，实数a的取值范围是．