2021届四川省仁寿第一中学校南校区高三第二次月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2021届四川省仁寿第一中学校南校区高三第二次月考数学（文）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届四川省仁寿第一中学校南校区高三第二次月考数学（文）试题


一、单选题
1．设，则=（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【解析】先化简，即得解.
【详解】
由题得，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查复数的除法运算和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．设常数，集合，.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
依题意，集合，，
由于，所以.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.
3．若平面上单位向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】通过已知条件，利用向量的数量积，结合夹角公式求解即可．
【详解】
解：由已知平面上单位向量，满足，
可得，所以．可得，
设向量，的夹角为，
则，
故．
故选：B．
【点睛】
本题考查向量夹角的求法，向量的数量积的应用，属于基础题.
4．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据图象求得，由此求得.
【详解】
由图象可知，所以，
所以.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象与性质，属于基础题.
5．执行如图所示的程序框图，输出的s值为

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，
详解：初始化数值
循环结果执行如下：
第一次：不成立；
第二次：成立，
循环结束，输出，
故选B.
点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.
6．下列说法正确的是（ ）
A．命题“若，则”的否命题是“若，则.”
B．是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件
C．
D．若命题则
【答案】D
【解析】根据否命题、命题的真假、全称命题的否定是特称命题、充分不必要条件的判断逐项排除可得答案.
【详解】
对于A，命题“若，则.”的否命题是“若 ，则”，故命题错误；
对于B，当时，函数在定义域上是单调递增函数，当时，函数在定义域上是单调递减函数，故命题错误；
对于C， 时，，故命题错误；
对于D，若命题则，显然正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查了命题的否定、否命题、命题真假的判断，考查了充分不必要条件.
7．函数是上的奇函数，，且对任意，有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据已知条件判断的单调性，结合的奇偶性化简不等式，由此求得不等式的解集.
【详解】
由于对任意，有，所以在上递增，
由于是定义在上的奇函数，所以，
故由得，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，属于中档题.
8．定义运算:.若不等式的解集是空集，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据定义可得的解集是空集，即恒成立，再对分类讨论可得结果.
【详解】
由题意得的解集是空集，
即恒成立.
当时，不等式即为，不等式恒成立；
当时，若不等式恒成立，则即解得.
综上可知:.
故选：B
【点睛】
本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于基础题.
9．已知()，函数为幂函数且过点，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先利用待定系数法求出函数的解析式，结合奇偶函数的定义即可判断函数，的奇偶性，进一步可判断出函数的奇偶性，结合当时，函数值的变化即可判断.
【详解】
因为函数为幂函数，所以设，则，所以函数.由已知()，，故为奇函数，且函数为奇函数，则函数为偶函数，排除B，D.又时，，，故选A.
故选：A
【点睛】
本题主要考查利用函数的性质辨析函数的图象，属于基础题.
10．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B．. C．. D．.
【答案】A
【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果
【详解】
因为，
，

所以，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用
11．已知若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】利用基本不等式求得的值域，结合指数函数的单调性以及恒成立、存在性，求得实数的取值范围.
【详解】
，
由于，所以，
当且仅当时等号成立，
所以.
对于函数，在上递增，
依题意，使得，
则.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查函数值域，考查恒成立、存在性问题的求解，属于中档题.
12．已知函数，若，，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出图象，根据图象确定，的取值范围，得出的取值范围．
【详解】
根据图象有两个交点，，，

，，
时，，令，，故，所以；
时，，令，，故，根据题意，所以
所以，．
故选：B
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.


二、填空题
13．若等比数列满足，则＝_____
【答案】
【解析】根据等比数列的性质求得结果.
【详解】
依题意，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.
14．若满足，则的最大值为__________．
【答案】4
【解析】当直线z＝2x＋y经过直线2x－y＝0与直线x＋y＝3的交点(1，2)时，z取最大值2×1＋2＝4.
15．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图所示).其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.

【答案】
【解析】根据三角函数周期求得大圆直径，然后根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
依题意，大圆的直径为y＝3sinx的最小正周期,
∴大圆的面积S＝.又一个小圆的面积.
故所求事件的概率P＝＝.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查三角函数周期性，考查几何概型概率计算.
16．已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由有两个零点可得有两个零点，即与的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求的范围
【详解】
有两个零点，
有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或
①当时，函数的图象如图所示，此时存在，满足题意，故满足题意

②当时，由于函数在定义域上单调递增，故不符合题意
③当时，函数单调递增，故不符合题意

④时，单调递增，故不符合题意
⑤当时，函数的图象如图所示，此时存在使得，与有两个交点

综上可得，或
故答案为：
【点睛】
本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．

三、解答题
17．设函数.
（1）已知函数是偶函数，求的值；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值；
(2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可.
【详解】
(1)由题意结合函数的解析式可得：，
函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.
(2)由函数的解析式可得：




.
据此可得函数的值域为：.
【点睛】
本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18．已知等差数列，其公差为，等比数列，其公比为，且.
（1）求及；
（2）令，求数列的前项和．
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）利用已知条件求得，由此求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【详解】
由题有，
于是，而，
（2）由题有：，由错位相减法，得：
，
，
两式相减，得：




于是：.
【点睛】
本小题主要考查等差、等比数列通项公式的基本量计算，考查错位相减求和法，属于中档题.
19．年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分.根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在的居民有人.
满意度评分




满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意


（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数；
（2）定义满意指数满意程度的平均分/100，若，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？
（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在、）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在内的概率.
【答案】（1），所调查的总人数为人；（2）不需要；（3）.
【解析】（1）根据频率分布直方图的面积和为1，即可求得；再结合评分在的居民有人，用频率除以总数即为频率的公式计算，即可求得结果；
（2）根据频率分布直方图求得平均数，再求得，即可判断；
（3）先求得在，的人数，列举出所有抽取2人的可能性；再找出满足题意的可能性，用古典概型的概率计算公式即可求得结果.
【详解】
（1）由频率分布直方图得：，
解得，
设总共调查了人，则，即调查的总人数为人；
（2）由频率分布直方图知，满意程度的平均分为
，
所以，满意指数，
因此，该区防疫工作不需要大的调整；
（3）由题意可知，评分在在、的频率之比为，
所以，所抽取的6人中评分在的人数为，分别记为，
评分在的人数为，分别记为、、、，
抽取2人的基本事件为：、、、
共15个，
而仅有一人来自的基本事件有：共个，
因此，所抽取的2人中仅有一人对防疫工作的评分在内的概率为.
【点睛】
本题考查利用频率分布直方图求平均数、参数值，涉及古典概型的概率计算，属综合中档题.
20．在中，角所对的边分别为，且.
（1）证明：成等比数列；
（2）若，且，求的周长.
【答案】（1）证明见解析；（2）9.
【解析】（1）由正弦定理将中的边化为角，再结合正弦的两角和公式可推出，即，然后将角化为边，有，故得证；
（2）由（1）知，利用余弦定理，可求出的值，从而得解．
【详解】
解：（1）证明：由正弦定理得：
，
所以成等比数列
（2）由余弦定理得：，
又，所以
于是得：
所以的周长为.
【点睛】
本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的综合应用，涉及边角互化的思想，灵活选择正弦、余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．已知函数
（1）试讨论在区间上的单调性；
（2）当时，曲线总存在相异两点，使得曲线在处的切线互相平行，求证：.
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.
【解析】（1）求导得，讨论和的大小下结论即可；
（2）由题意可得，整理可得，整理得，求右边最值即可.
【详解】
(1)由已知
，
由，得，
,且，所以在区间上；
在区间上，，
故在上单调递减，在上单调递增.
(2) 由题意可得，当时，
且，即，
所以，
因为，且，所以恒成立，
所以，又，
整理得.令，
在单调递减，
所以在上的最大值为.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.
（Ⅰ）写出曲线，的普通方程；
（Ⅱ）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.
【答案】（1）,（2）
【解析】分析：（Ⅰ）消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线，的普通方程；
（Ⅱ）直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线整理可得：，利用参数的几何运用求．
详解:（Ⅰ）
即曲线的普通方程为
∵，，
曲线的方程可化为
即.
（Ⅱ）曲线左焦点为直线的倾斜角为，
所以直线的参数方程为（参数）将其代入曲线整理可得，所以.设对应的参数分别为则所以，.
所以.
点睛: 本题考查参数方程的运用，考查参数方程、极坐标方程、普通方程的转化，考查学生的计算能力，属于中档题．
23．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）当时，利用零点分段法求得不等式的解集.
（2）利用绝对值三角不等式化简，结合存在性以及绝对值不等式的解法，求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，，
①当时，不等式等价于，解得，即；
②当时，不等式等价于，解得，即；
③当时，不等式等价于，解得，即，
综上所述，原不等式的解集为或.
（2）由，即，得，
又，∴，即，解得.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查存在性问题的求解，属于中档题.