2023-2024学年安徽省宿州市省、市示范高中高一上学期期中教学质量检测数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省宿州市省、市示范高中高一上学期期中教学质量检测数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={x∈N|-1≤x≤3}，集合A满足∁UA={0,1}，则A=( )
A. {0,1}B. {2,3}C. {-1,2,3}D. {1,2,3}
2.命题“∃x∈(0,1)，x2-x<0”的否定是
( )
A. ∃x∉(0,1)，x2-x≥0B. ∃x∈(0,1)，x2-x≥0
C. ∀x∉(0,1)，x2-x<0D. ∀x∈(0,1)，x2-x≥0
3.若幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)单调递减，则f(2)=( )
A. 12B. 3C. 1D. 8
4.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,-4]上是减函数，则实数a的取值范围是
( )
A. [-3,+∞)B. (-∞,-3]C. (-∞,5]D. [3,+∞)
5.函数y=x-2x-1的图象是( )
A. B.
C. D.
6.“a>b”是“a>|b|”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)=(1-2m)x+3m,x<1x2,x≥1的值域为R，则m的取值范围是( )
A. [0,12)B. [-1,12)C. (0,12)D. (-∞,12)
8.已知函数f(x)=x+1x⩾0-2x-1x<0，若a[f(a)-f(-a)]>0，则实数a的取值范围是( )
A. (2,+∞)B. (0,2]∪[-2,0)
C. (2,+∞)∪(∞,-2]D. (0,2)∪(-2,0)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知集合A={x|x2-9=0}，则下列式子表示正确的有( )
A. 3∈AB. {-3}∈AC. ⌀⊆AD. {3,-3}⊆A
10.对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A. 若abc2，则a>b
C. 若a>0>b，则aba>b，则ac-a11.已知正数a，b满足a+b=1，则( )
A. ab的最大值为14B. 1a+1b的最小值为4
C. a+ b的最小值为 2D. a-1b的最大值为-1
12.设函数f(x)=x2+bx+c满足f(0)=1,f(-3-x)=f(x)，则下列结论正确的是
( )
A. 1-b+c<0B. ∀x∈R,f(x)≥-x-3
C. 若a≥1，则∀x∈R,f(x)≥axD. 若∀x>0,kf(x)≥x，则k≥15
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=-x2+2，则f(-1)= ．
14.函数fx=1 2x-x2的定义域为 ．
15.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，若A∪B=A，则a= ．
16.最早发现勾股定理的人是我国西周时期的数学家商高。《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“⋯故折矩，勾广三，股修四，径隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3(勾)和4(股)时，径隅(弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，后来人们还把它推广到一般情况，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理。据此，如果想用一段钢管加工一个面积为2平方米的直角三角形的框架，则这段钢管长度的最小值是 米.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知集合A={x|0≤x<4}，B={x|0(1)求A∩B;
(2)若集合M={x|x+a>0}，满足M⊆(∁RB)，求实数a的取值范围。
18.(本小题12分)
已知a，b，c均为正实数。
(1)若a>b，试比较a2-b2a2+b2与a-ba+b的大小;
(2)求证：b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc≥3.
19.(本小题12分)
已知命题“∀x∈R，都有x2+(a-2)x+a4>0成立”为真命题。
(1)求实数a的取值集合A;
(2)设不等式x2-(2m+1)x+m(m+1)>0的解集为B，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围。
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=xx2-1，x∈(-1,1)
(1)判断f(x)的奇偶性，并证明;
(2)求证：f(x)在(-1,1)上是减函数;
(3)解不等式：f(x-1)+f(x)<0．
21.(本小题12分)
某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表所示．
(1)求用户每月缴纳水费y(单位：元)与每月用水量x(单位：m3)的函数关系式;
(2)随着生活水平的提高，人们对生活的品质有了更高的要求，经验表明，当居民用水量在一定范围内时，若随性用水，用水量增加，生活越方便;若时刻想着节约用水，生活也会麻烦.数据表明，人们的“幸福感指数”K与缴纳水费y及“生活麻烦系数”M存在以下关系：K=My(其中M(x)=1x2)，当某居民用水量在(12,18]时，求该居民“幸福感指数”K的最大值及此时的用水量．
22.(本小题12分)
已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1，且f(x)的图象经过点A(-2,4)．
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=af(x)+(2a-1)x+1，试判断是否存在整数a，使得函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为3.若存在，求出a的值;若不存在，请说明理由;
(3)设函数h(x)=f(x)+1f(x)-mx+mx+2，若不等式h(x)≥0对任意的x∈(1,3]恒成立求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查补集运算，属于基础题．
化简U，由补集定义即可求解．
【解答】
解：U={x∈N|-1≤x≤3}={0,1,2,3}，
因为∁UA={0,1}，
则A={2,3}
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为存在量词命题，
则命题“∃x∈(0,1)，x2-x<0”的否定∀x∈(0,1)，x2-x≥0．
故答案选：D．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了幂函数的定义及其单调性，考查分析与计算能力，属于基础题．
函数f(x)=(m2-2m-2)xm是幂函数，且当x∈(0,+∞)时f(x)单调递减，可得m2-2m-2=1，m<0，解出m，代入即可．
【解答】
解：∵函数f(x)=(m2-2m-2)xm是幂函数，且当x∈(0,+∞)时f(x)单调递减．
∴m2-2m-2=1，且m<0，
解得m=3(不合题意舍去)或m=-1．
即f(x)=x-1，
∴f(2)=12，
故选A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的单调性，研究的基本思路是：先明确开口方向，对称轴，然后研究对称轴与区间的相对位置．
先由f(x)=x2+2(a-1)x+2得到其对称，再由f(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，则对称轴在区间的右侧，所以有1-a≥-4，计算得到结果．
【解答】
解：∵f(x)=x2+2(a-1)x+2的对称轴为x=1-a，
∵f(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，开口向上，
则只需1-a≥-4，
即a≤5．
故选：C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别，属于基础题．
方法一，由函数图象过定点，代入选项验证即可；方法二，将函数化为y=-1x-1+1，利用函数图象的变换可得．
【解答】
解：方法一：代入选项验证即可，x=2时，y=0，故此函数的图像过点2,0，
结合图像可知B项符合．
方法二：y=x-2x-1=-1x-1+1，此函数图像由函数y=-1x的图像向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，
结合选项可知B项符合．
故选B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的判断充要条件的方法，可根据充要条件的定义进行判断．属于基础题．
在本题解决中用到了不等式的基本性质，及举特例的方法．
【解答】
解：若a>b，取a=2，b=-3，推不出a>|b|，若a>|b|，则必有a>b．
所以a>b是a>|b|的必要非充分条件．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查分段函数的值域问题，属基础题．
由于 x≥1时， x2⩾1，得不等式组，解不等式组即可．
【解答】
解：由于 x≥1时， x2⩾1，
所以 1-2m >01-2m+3m⩾1，解得 0⩽m<12．
故m的范围是[0,12)
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了分段函数和不等式的解法，关键是分类讨论．
结合已知的函数的解析式，分别求出a>0和a<0时的情况下不等式的解集，即可得到答案．
【解答】解：a>0时，a[f(a)-f(-a)]>0可化为：a(a-2)<0，解得：0a<0时，a[f(a)-f(-a)]>0可化为：a(a+2)<0，解得：-2故a的取值范围是(-2,0)∪(0,2)，
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查元素与集合，集合与集合间关系的判定，是基础题．
由元素与集合，集合与集合间关系的判定逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：A={x|x2-9=0}={-3,3}．
对于A，3是集合A中的元素，3∈A，故A正确；
对于B，{-3}是集合，{-3}⊆A，故B错误；
对于C，⌀⊆A，故C正确；
对于D，{3,-3}⊆A，故D正确．
故选：ACD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，属于基础题．
利用作差法以及不等式的性质逐一判定即可求解．
【解答】
解;A.若a0，故 1a>1b，故不正确；
B.若ac2>bc2，则c2>0，则 a>b，故正确;
C.若a>0>b，则ab<0， ab D.若c>a>b，则c-b>c-a>0，a-b>0，得 ac-a-bc-b=c(a-b)(c-a)(c-b)，
当c>0时 ac-a>bc-b，故错误．
故选BC．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题主要考查基本不等式及相关结论的应用，属于中档题．
由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断，需注意等号成立时的条件．
【解答】
解：因为正实数a，b满足a+b=1，
对于A，由基本不等式得，ab≤(a+b2)2=14，
当且仅当a=b=12时取等号，
即ab的最大值为14，故A正确；
对于B，1a+1b=a+ba+a+bb
=2+ba+ab≥2+2 ab⋅ba=4，
当且仅当a=b=12时取等号，
即1a+1b的最小值为4，故B正确；
对于C，( a+ b)2=a+b+2 ab
=1+2 ab≤1+a+b=2，
当且仅当a=b=12时取等号，
所以 a+ b≤ 2，
即 a+ b的最大值为 2，故C错误；
对于D，a-1b=1-b-1b=1-(b+1b)≤1-2 b·1b=-1，
当且仅当b=1b，即b=1时，等号成立，
但a，b均为正数且a+b=1，
所以b≠1，
所以a-1b=1-b-1b=-1不可能成立，故D错误．
故选AB．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查一元二次函数的图象与性质，一元二次不等式存在性或恒成立问题
根据f(0)=1,f(-3-x)=f(x)求出b、c，继而判断A；
对于B.根据(x+2)2≥0化简得解；
对于C.根据判别式小于等于0计算即可；
对于D．∀x>0,kf(x)≥x等价于k≥1x+1x+3，借助基本不等式计算得解．
【解答】
解：f(0)=c=1，∵-b2=-32∴b=3，所以f(x)=x2+3x+1
对于A．1-b+c<0，所以 A正确；
对于B．(x+2)2=x2+4x+4=x2+3x+1+x+3≥0，所以对于∀x∈R,f(x)≥-x-3，所以 B正确；
对于C．∀x∈R,f(x)≥ax等价于x2+3-ax+1≥0恒成立，
所以(3-a)2-4⩽0,∴1⩽a⩽5，所以 C错误；．
对于D．∀x>0,kf(x)≥x等价于
k(x2+3x+1)≥x,∴k≥xx2+3x+1=1x+1x+3
∵x+1x+3≥5,∴k≥15
当且仅当x=1x即x=1时，等号成立
故选：ABD．
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的求值，属于基础题．
根据题意，由函数的解析式求出f(1)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，当x>0时，f(x)=-x2+2，则f(1)=-1+2=1，
又由f(x)是定义在R上的偶函数，则f(1)=f(-1)=1，
故答案为：1
14.【答案】0,2
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题．
解不等式2x-x2>0即可得出函数fx的定义域．
【解答】
解：由2x-x2>0，解得0故函数fx的定义域为0,2．
故答案为0,2．
15.【答案】2或3
【解析】【分析】
本题考查集合的运算、一元二次方程的解法、分类讨论的数学思想方法，是中档题．
利用A∪B=A⇔B⊆A，先化简集合A，再分类讨论化简集合B，求出满足B⊆A的a的值．
【解答】
解：∵A={x|x2-3x+2=0}={1,2}，B={x|x2-ax+a-1=0}={x|[x-(a-1)](x-1)=0}≠⌀
又A∪B=A，则B⊆A
若B中方程仅有一解则有B={1}，即a-1=1，解得a=2，符合题意，
若B中方程有两解，则有B={1,2}，即：1+2=a1×2=a-1△>0，解得a=3
综上可知：a的值为2或3．
故答案为：2或3．
16.【答案】4+2 2
【解析】【分析】
本题考查基本不等式的实际应用，属于基础题．
设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，由三角形的面积求得ab=4，再利用基本不等式即可求解．
【解答】
解：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，
则12ab=2，即ab=4，
∴l=a+b+ a2+b2≥2 ab+ 2ab=4+2 2
当且仅当a=b=2时等号成立
故这段钢管长度的最小值是4+2 2米
17.【答案】解：(1)∵A={x|0≤x<4}，B={x|0∴A∩B={x|0(2)集合M={x|x>-a}，∵B={x|0∴CRB={x|x≤0或x>2}
又∵M⊆(CRB)
∴-a≥2，∴a≤-2，
所以实数a的取值范围是(-∞,-2]
【解析】【分析】本题考查集合的混合运算，集合的关系，属于基础题．
(1)由交集定义即可解题；
(2)由M⊆(CRB)，列出不等式-a≥2，即可解题．
18.【答案】解：(1)a2-b2a2+b2-a-ba+b=(a+b)(a2-b2)-(a2+b2)(a-b)(a2+b2)(a+b)
=(a-b)[(a+b)2-(a2+b2)](a2+b2)(a+b)=2ab(a-b)(a2+b2)(a+b)，
因a>b>0，则a+b>0，a-b>0，2ab>0，a2+b2>0，即2ab(a-b)(a2+b2)(a+b)>0
所以a2-b2a2+b2>a-ba+b．
(2)证明：b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc=(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)-3
∴a>0，b>0，c>0∴ba+ab≥2，ca+ac≥2，cb+bc≥2，
∴b+c-aa+c+a-bb+a+b-cc-3≥3，当且仅当“a=b=c”时等号成立。
【解析】本题主要考查不等式的证明，以及基本不等式的应用，属于中档题．
(1)根据已知条件，结合作差法，即可求解．
(2)根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
19.【答案】解：
(1)∵∀x∈R，x2+(a-2)x+a4>0成立，
∴△=(a-2)2-a<0，即a2-5a+4<0，
解得：1(2)由题可得集合B={x|xm+1}
∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
∴A⊆B，∴m+1≤1或m≥4，即m≤0或m≥4.
∴实数m的取值范围是：(-∞,0]∪[4,+∞)
【解析】本题考查了一元二次不等式恒成立，以及充分必要条件的理解转化，集合的基本关系等，属于中档题．
(1)利用一元二次不等式恒成立条件，求解即可；
(2)由x∈A是x∈B的充分不必要条件，得A是B的子集，进而求出m的范围．
20.【答案】解：(1)函数f(x)是奇函数.证明如下：
∵x∈(-1,1)关于原点对称，且f(-x)=-xx2-1=-f(x)，
∴f(x)为奇函数；
(2)证明：任意-1则f(x1)-f(x2)=x1x12-1-x2x22-1
=x1(x22-1)-x2(x12-1)(x12-1)(x22-1)=x1x2(x2-x1)+(x2-x1)(x12-1)(x22-1)
=(x1x2+1)(x2-x1)(x12-1)(x22-1)，
∵-10，x1x2+1>0，x12-1<0，x22-1<0，
∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
故函数f(x)在(-1,1)上是减函数。
(3)由(1)(2)可知不等式f(x-1)+f(x)<0⇔f(x-1)<-f(x)=f(-x)，
∴-1-x，即012，解得12∴不等式的解集为{x|12【解析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，考查不等式求解，利用定义法是解决本题的关键，属中档题．
(1)根据函数奇偶性的定义即可判断函数f(x)的奇偶性；
(2)根据定义法证明函数f(x)在(-1,1)上是减函数；
(3)根据奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可．
21.【答案】解：(1)当0≤x≤12时，y=2.5x;
当12当x>18时，y=66+(x-18)×9=9x-96;
可知y与x的函数关系式为y=2.5x,0⩽x⩽12,6x-42,1218.
(2)由题意可知：当x∈(12,18]时，K=6x-42x2=-42x2+6x，
令t=1x，则t∈[118,112)，
于是K=-42t2+6t=-42(t-114)2+314，
所以当t=114，即x=14时，Kmax=314，
故居民“幸福感指数”K的最大值为314，此时用水量为14m3．
【解析】本题考查函数模型的应用，分段函数以及二次函数求最值，属于中档题．
(1)根据图表可得分段函数的解析式；
(2)由题意可知：当x∈(12,18]时，K=6x-42x2=-42x2+6x，利用换元法结合二次函数求最值即可求解．
22.【答案】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
则f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x+1，
∴2a=2a+b=1，∴a=1b=0，
∴f(x)=x2+c，
又图像过点A(-2,4)，∴f(-2)=4+c=4，
∴c=0．∴f(x)=x2；
(2)由(1)可知g(x)=ax2+(2a-1)x+1，x∈[0,1]，
当a=0时，g(x)=-x-1在[0,1]上单调递减，g(x)max=g(0)=1不成立;
当a<0时，函数g(x)的对称轴为x=1-2a2a=12a-1<0，图像开口向下，
函数g(x)在[0,1]上单调递减，
g(x)max=g(0)=1，不成立;
当a>0时，函数g(x)的图像开口向上，对称轴为x=12a-1，g(x)的最大值在x=0或x=1处取得，
∵g(0)=1≠3，∴当g(x)max=g(1)=3a=3，∴a=1成立．
综上所述，存在整数a=1，使得函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为3；
(3)由(1)可知函数h(x)=x2+1x2-mx+mx+2=(x-1x)2-m(x-1x)+4，
令t=x-1x，∵x∈(1,3]，∴t∈(0,83];
不等式h(x)≥0对任意的x∈(1,3]恒成立，等价于t2-mt+4≥0对任意的t∈(0,83|恒成立，
转化为：m≤t+4t，t∈(0,83]恒成立，只需m≤(t+4t)min即可，
∵t+4t≥2 t×4t=4，当且仅当t=4t即t=2时等号成立，∴m≤4，
即实数m的取值范围是(-∞,4]．
【解析】本题考查了二次函数性质、利用函数的单调性求最值、一元二次不等式恒成立问题和基本不等式，是中档题．
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，结合条件求解可得f(x)的解析式;
(2)分a=0、a<0和a>0三种情况结合二次函数性质可得函数最大值，可得结果；
(3)由(1)可知函数h(x)=(x-1x)2-m(x-1x)+4，令t=x-1x，不等式h(x)≥0对任意的x∈(1,3]恒成立，等价于t2-mt+4≥0对任意的t∈(0,83|恒成立，转化为：m≤t+4t，t∈(0,83]恒成立，只需m≤(t+4t)min即可，由基本不等式求解即可．每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
2.5元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3