2024年高考数学一轮复习（新高考方案）课时跟踪检测(十六) 函数的模型及其应用

课时跟踪检测(十六) 函数的模型及其应用

1．溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在1×10－7.45～1×10－7.35之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是(　 )

A．[7.25,7.55]  B．[7.25,7.45]

C．[7.25,7.35]  D.[7.35,7.45]

解析：选D　依题意，令pH1＝－lg[1×10－7.45]＝7.45，pH2＝－lg[1×10－7.35]＝7.35，因此，正常人体血液的pH值的范围是[7.35,7.45]．

2．国内首个百万千瓦级海上风电场——三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：F(x)＝1－，其中k为形状参数，x为风速．已知风速为1 m/s时，F≈0.221，则风速为4 m/s时，F≈(　 )

A．0.920  B．0.964  C．0.975  D.0.982

解析：选D　因为F(1)≈0.221，所以e－≈0.779，≈－ln 0.779,2k≈4，得k≈2，所以F(x)＝1－e－2，所以F(4)＝1－e－22≈1－e－4≈0.982.故选D.

3.如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是(　 )

解析：选B　由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B.

4．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减(称为衰减率)，C与死亡年数t之间的函数关系式为C＝0.5(k为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于(　 )

参考数据：log20.85≈－0.23；参考时间轴：

A．战国  B．汉  C．唐  D.宋

5．上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平方步之间的换算关系，只记得一亩约在200～250平方步之间，则这块田地的亩数是(　 )

A.  B．1  C.  D.2

解析：选B　总的面积为15×16＝240(平方步)．因为一亩约在200～250平方步之间，所以转化为亩数为之间，即之间，对照四个选项，只有B正确．

6．已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范围是(　 )

A．1<x<2  B．1<x≤2

C．8<x<9  D.8≤x<9

解析：选C　由题意得，x小时后的电量为(3 000－300x)毫安，此时转为B模式，可得10小时后的电量为(3 000－300x)·，则由题意可得(3 000－300x)·>3 000×0.05，化简得(10－x)·>0.5，即10－x>29－x，令m＝10－x，则m>2m－1，由题意得0<x<10，则0<m<10，m分别为1,2时，这个不等式左右两边大小相等，由函数y＝x和y＝2x－1的图象可知，该不等式的解集为1<m<2，所以1<10－x<2，得8<x<9，故选C.

7.如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60 m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x应为________ m.

解析：设每个花圃的面积为y，则y＝x·＝－x2＋30x＝－(x－10)2＋150(0<x<20)，所以当x＝10时，y最大．

答案：10

8．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.

某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为________元．

解析：由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，

y＝

∵y＝30＞25，∴x＞1 100，

∴0.1(x－1 100)＋25＝30，解得，x＝1 150,1 150－30＝1 120，故此人购物实际所付金额为1 120元．

答案：1 120

9．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·(N0表示碳14原有的质量)，经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约________年．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)

解析：由题意，N＝N0·，由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，∴N0·＝N0，即＝，两边同时取以2为底的对数，得＝log23－log27＝－≈－＝－1.2，∴T＝1.2×5 730＝6 876年．∴推测良渚古城存在的时期距今约6 876年．

答案：6 876

10.迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中AB＝AE＝，∠A＝∠B＝∠E＝90°，曲线段CD是圆心角为90°的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为S，周长为L，则的最大值为________．(本题中取π＝3进行计算)

解析：设圆弧的半径为x，根据题意可得，BC＝DE＝AB－x＝－x，S＝AE·DE＋(AB－DE)·(AE－x)＋π·x2＝×＋×x＋πx2＝－x2＋x2，L＝2AB＋BC＋DE＋＝6－2x＋x，∵π＝3，∴S＝，L＝6－x，∴＝，令t＝24－2x(21≤t<24)，则x＝，∴＝＝－＋12，根据基本不等式，＋≥2＝3，当且仅当 ＝，即t＝6时取等号.6∈[21,24), ∴t＝6时，max＝12－3.

答案：12－3

11．某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款智能手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本200万元，每生产x千部手机，需另投入成本P(x)万元，且P(x)＝由市场调研知，每部手机售价5 000元，且全年内生产的手机若不超过100千部，则当年能全部销售完．

(1)求出2023年的利润y(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；

(2)2023年年产量x(千部)为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

解：(1)当0<x<50时，y＝0.5×1 000x－(5x2＋100x)－200＝－5x2＋400x－200；

当50≤x≤100时，y＝0.5×1 000x－－200＝－＋10 180，

∴y＝

(2)若0<x<50，y＝－5x2＋400x－200＝－5(x－40)2＋7 800，

当x＝40时，ymax＝7 800万元．

若50≤x≤100，y＝－＋10 180≤10 180－2＝10 000，

当且仅当x＝，即x＝90时，ymax＝10 000万元，

∴2023年年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是10 000万元．

12．用水清洗果蔬上残留的农药．对用一定量的水清洗一次的效果做如下假定：用1个单位量的水可以洗掉果蔬上残留农药的一半，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的水清洗一次以后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量的比值为函数φ(x)．

(1)试规定φ(0)的值，并解释其实际意义；

(2)设φ(x)＝，现有m(m>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问：用那种方案清洗后果蔬上残留的农药比较少？说明理由．

解： (1)φ(0)＝1表示没有用水清洗时，果蔬上的农药量没有变化．

(2)设清洗前果蔬上的农药量为1，那么用m单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1＝1×φ(m)＝，

又如果用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为1×φ＝，

此后再用单位量的水清洗1次后，

残留的农药量为W2＝·φ＝2＝，由于W1－W2＝－＝，

当m>2时，W1>W2，此时，把 m单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；

当m＝2时，W1＝W2，此时，两种清洗方式效果相同；

当0<m<2时，W1<W2，此时，用 m单位量的水清洗一次，残留的农药量较少．