2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第四章　必刷大题9　解三角形

必刷大题9　解三角形

1．(2023·郑州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2ccos C＝acos B－bcos(B＋C)．

(1)求角C；

(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsin B，求S.

解　(1)因为A＋B＋C＝π，所以cos(B＋C)＝－cos A，

所以2ccos C＝acos B＋bcos A，

由正弦定理得2sin Ccos C＝sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)．

因为sin(A＋B)＝sin C，所以2sin Ccos C＝sin C.

因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝，则C＝.

(2)由S＝6bsin B，根据面积公式得6bsin B＝acsin B＝3asin B，所以a＝2b.

由余弦定理得cos C＝＝，

整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36，

所以b＝2，a＝4.

所以△ABC的面积S＝absin C＝×4×2sin ＝6.

2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C)．

(1)求sin C的值；

(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝，AD＝10，求AC，CD.

解　(1)在锐角△ABC中，a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcos C)，

由正弦定理得sin A＝2sin Bsin Ccos C＋2sin C(sin A－sin Bcos C)＝2sin Asin C，而sin A>0，

所以sin C＝.

(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cos∠ACB＝＝＝，

sin∠ADC＝sin＝(sin∠ACB－cos∠ACB)＝×＝，

在△ACD中，由正弦定理得＝＝，

即＝＝＝5，解得CD＝，AC＝，

所以CD＝，AC＝.

3．(2023·德州模拟)在①asin B＝bsin；②(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C；

③bsin ＝asin B三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．

问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．

(1)求角A；

(2)若A的角平分线AD长为1，且b＋c＝6，求sin Bsin C的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解　(1)选①：由asin B＝bsin得，

sin Asin B＝sin Bsin.

即sin A＝sin，

则A＝A－(舍)或A＋A－＝π，

所以A＝.

选②：由(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C得，

(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，

即b2＋c2－a2＝－bc，

由余弦定理得cos A＝＝－，

又A∈(0，π)，所以A＝.

选③：由bsin ＝asin B得，sin ＝sin A，

即cos ＝2sin cos ，

因为cos ≠0，所以sin ＝，

又A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由S△ABD＋S△ADC＝S△ABC得，(b＋c)＝bc，

即bc＝b＋c＝6，

在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，

解得a＝，

由正弦定理得＝＝＝2R＝2，即R＝，

所以sin Bsin C＝＝＝.

所以sin Bsin C的值为.

4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足bcos C＋bsin C－a－c＝0.

(1)求B；

(2)若b＝2，求锐角△ABC的周长l的取值范围．

解　(1)由bcos C＋bsin C－a－c＝0，

可得sin Bcos C＋sin Bsin C－sin A－sin C＝0

⇒sin Bcos C＋sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0

⇒sin Bcos C＋sin Bsin C－sin Bcos C－cos Bsin C－sin C＝0

⇒sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0

⇒sin B－cos B＝1

⇒sin＝，

因为B∈，所以B＝.

(2)因为B＝，b＝2，

利用正弦定理得＝＝＝＝，

所以a＝sin A，c＝sin C，

所以l＝a＋b＋c＝2＋(sin A＋sin C)，

所以l＝2＋

＝2＋4sin，

因为△ABC是锐角三角形，所以0<A<，A＋B＝A＋>，

所以<A<，<A＋<，

所以sin∈，

所以2＋2<2＋4sin≤6，

所以△ABC的周长l的取值范围为(2＋2，6]．

5.(2022·沈阳模拟)如图，某水域的两条直线型岸边l1，l2的夹角为60°，某渔民准备安装一直线型隔离网BC(B，C分别在l1，l2上)，围出养殖区△ABC.

(1)若BC＝6 km，求养殖区△ABC的面积(单位：km2)的最大值；

(2)若△ABC是锐角三角形，且AB＝4 km，求养殖区△ABC面积(单位：km2)的取值范围．

解　(1)由题意可知∠BAC＝60°，BC＝6.

在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC，

即AB2＋AC2－AB·AC＝36.

因为AB2＋AC2≥2AB·AC，

当且仅当AB＝AC＝6时等号成立，

所以AB2＋AC2－AB·AC≥AB·AC，即AB·AC≤36.

故△ABC的面积S＝AB·ACsin∠BAC≤×36×＝9.

即养殖区△ABC面积的最大值为9 km2.

(2)因为AB＝4，∠BAC＝60°，所以△ABC的面积S＝AB·ACsin∠BAC＝AC.

在△ABC中，由正弦定理可得＝，

则AC＝＝＝＋2.

因为△ABC是锐角三角形，所以

所以30°<∠ACB<90°，

所以tan∠ACB>，所以0<<，

则2<＋2<8，即2<AC<8.

故S＝AC∈(2，8)，即△ABC面积的取值范围是(2，8)．

6．(2023·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1时b＋λc存在最大值，求正数λ的取值范围．

解　(1)已知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2－a2＝－bc.

由余弦定理得cos A＝＝＝－.

又A∈(0，π)，所以A＝.

(2)由正弦定理＝＝＝，

得b＋λc＝(sin B＋λsin C)＝[sin(A＋C)＋λsin C]

＝

＝sin(C＋φ)，φ∈，其中tan φ＝＝.

因为C∈，要使b＋λc存在最大值，即C＋φ＝有解，

所以φ∈，从而>，即0<2λ－1<3，

所以正数λ的取值范围为.