2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第四章　必刷小题7　三角函数

必刷小题7　三角函数

一、单项选择题

1．(2023·杭州模拟)设α是第三象限角，且＝－cos ，则的终边所在的象限是(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　B

解析　因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，则是第二或第四象限角，又＝－cos ，即cos <0，所以是第二象限角．

2．(2022·天津模拟)已知扇形的周长为15 cm，圆心角为3 rad，则此扇形的弧长为(　　)

A．3 cm  B．6 cm  C．9 cm  D．12 cm

答案　C

解析　设扇形弧长为l cm，半径为r cm，则＝3，即l＝3r且l＋2r＝15，解得l＝9，故此扇形的弧长为9 cm.

3．(2023·合肥模拟)已知角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－，则tan α等于(　　)

A．±  B.  C．－  D.

答案　B

解析　因为角α的终边经过点(－1，m)，且sin α＝－，

所以＝－，所以＝，且m<0，

解得m＝－，

所以tan α＝＝－m＝.

4．(2023·济南模拟)已知α∈，且cos2α＋sin 2α＝，则等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　cos2α＋sin 2α＝，

即＝，

即＝，所以7tan2α－20tan α－3＝0，

即(7tan α＋1)(tan α－3)＝0，

所以tan α＝－或tan α＝3，又α∈，

所以tan α＝－，

所以＝＝＝＝.

5．(2023·沈阳模拟)函数f(x)＝|sin x＋cos x|的最小正周期是(　　)

A.  B.  C．π  D．2π

答案　C

解析　f(x)＝|sin x＋cos x|＝，

函数图象是将g(x)＝sin的图象在x轴下方的部分向上翻折形成的，如图所示，

根据图象知函数f(x)的最小正周期为π.

6．(2022·扬州模拟)已知sin＋sin＝1，则cos 2α等于(　　)

A．－  B.  C.  D.

答案　B

解析　由题意可知，sin α＋cos α＋＝1，

即2sin α＝1，解得sin α＝，

所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.

7．(2023·吉林质检)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象．若x1≠x2，且g(x1)g(x2)＝2，则|x1－x2|的最小值为(　　)

A.  B．π  C．2π  D．4π

答案　B

解析　由题设知f(x)＝sin，故y＝g(x)＝sin，

要使x1≠x2且g(x1)g(x2)＝2，则g(x1)＝g(x2)＝或g(x1)＝g(x2)＝－，

∴|x1－x2|的最小值为1个周期长度，则|x1－x2|min＝＝π.

8．(2023·玉林模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，其图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离分别为和，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数g(x)为奇函数，则φ的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　B

解析　由f(x)的图象与直线y＝1的相邻两个交点的距离分别为和，即可知其周期为π，

所以＝π，即ω＝2，

所以函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到的函数g(x)＝2sin，

又g(x)为奇函数，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，又|φ|<，则φ＝－.

二、多项选择题

9. (2023·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－2cos2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是周期为π的奇函数

B．f(x)的图象关于点对称

C．f(x)在上单调递增

D．f(x)的值域是[－3,1]

答案　CD

解析　由题意可得f(x)＝sin 2x－cos 2x－1＝2sin－1.

因为f(－x)＝2sin－1＝－2sin－1≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，故A错误；

因为f ＝2sin－1＝－1，所以f(x)的图象不关于点对称，故B错误；

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝1时，≤x≤，故C正确；

因为－1≤sin≤1，所以－2≤2sin≤2，所以－3≤2sin－1≤1，即f(x)的值域是[－3,1]，故D正确．

10．(2022·武汉模拟)先将函数f(x)＝2sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，得到函数g(x)的图象，则关于函数g(x)，下列说法正确的是(　　)

A．在上单调递增

B．当x∈时，函数g(x)的值域是[－2,1]

C．其图象关于直线x＝对称

D．最小正周期为π，其图象关于点对称

答案　BC

解析　由题可得g(x)＝2sin，

当x∈时，2x－∈，故函数g(x)在上不单调，故A错误；

当x∈时，2x－∈，sin∈，g(x)＝2sin∈[－2,1]，故B正确；

当x＝时，2x－＝，故函数g(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；

由g(x)＝2sin可知，最小正周期为π，又x＝，2x－＝，故函数g(x)的图象不关于点对称，故D错误．

11．(2023·九江模拟)将函数y＝sin的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到的图象关于直线x＝对称(φ>0向左移动，φ<0向右移动)，φ可取的值为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　CD

解析　由题意，将函数y＝sin的图象沿水平方向平移|φ|个单位长度后得到y＝sin＝sin，

则y＝sin的图象关于直线x＝对称．

所以2×＋2φ＋＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－，k∈Z，

当k＝0时，φ＝－，

当k＝1时，φ＝.

12．(2023·长沙模拟)将函数f(x)的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)的图象(g(x)的部分图象如图所示)．对于∀x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2若g(x1)＝g(x2)，都有g(x1＋x2)＝成立，则下列结论正确的是(　　)

A．g(x)＝sin

B．f(x)＝sin

C．g(x)在上单调递增

D．函数f(x)在上的零点为x1，x2，…，xn，则x1＋2x2＋2x3＋…＋2xn－1＋xn＝

答案　ABD

解析　对于A，由题意可知函数g(x)＝sin(2x＋φ)的图象在区间[a，b]上的对称轴为直线x＝，又g(x1＋x2)＝，所以g(0)＝g(x1＋x2)＝，所以sin φ＝，又因为0<φ<，所以φ＝，故g(x)＝sin，故A正确；

对于B，g(x)＝sin向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，再将其横坐标缩短为原来的得到f(x)＝sin的图象，故B正确；

对于C，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝1时，≤x≤，所以g(x)在上单调递增，而⊈，故C错误；

对于D，令t＝4x－，则t∈，函数y＝sin t在上有6个零点t1，t2，…，t6，则t1＋t2＝π，t2＋t3＝3π，t3＋t4＝5π，t4＋t5＝7π，t5＋t6＝9π，

故t1＋2t2＋2t3＋2t4＋2t5＋t6＝4(x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6)－10×＝25π，

所以x1＋2x2＋2x3＋2x4＋2x5＋x6＝，故D正确．

三、填空题

13．若f(x)＝2sin(x＋φ)－sin x为偶函数，则φ＝________.(填写符合要求的一个值)

答案　(填写符合φ＝2kπ±，k∈Z的一个值即可)

解析　f(x)＝2sin(x＋φ)－sin x

＝2sin xcos φ＋2cos x·sin φ－sin x

＝2sin φcos x＋(2cos φ－1)sin x，

当2cos φ－1＝0时，f(x)为偶函数，

此时cos φ＝，

则φ＝2kπ±，k∈Z，填写符合φ＝2kπ±，k∈Z的一个值即可．

14．(2023·焦作模拟)计算：2cos 50°－＝________.

答案　

解析　2cos 50°－＝2sin 40°－

＝＝

＝＝

＝＝.

15．(2022·北京)若函数f(x)＝Asin x－cos x的一个零点为，则A＝________；f ＝________.

答案　1　－

解析　依题意得f ＝A×－×＝0，解得A＝1，

所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin，

所以f ＝2sin＝2sin＝－.

16．(2023·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a＋bcos x)sin x，在①②中任选一个作为已知条件，再从③④⑤中选出在这个条件下成立的所有结论，则你所选的编号为________．(写出一组符合要求的答案即可)

①a＝1，b＝1；②a＝1，b＝－1；③f(x)在上为单调函数；④f(x)的图象关于点(π，0)对称；⑤f(x)在x＝处取得最小值－.

答案　①④⑤或②③④

解析　若选①，f(x)＝(1＋cos x)sin x，

则f′(x)＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)，

令f′(x)>0，解得cos x>；

令f′(x)<0，解得cos x<，

所以f(x)在，k∈Z上单调递增，

在，k∈Z上单调递减，显然f(x)在上不单调，③不正确；显然f(x)的一个周期是2π，

所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝－，⑤正确；

因为f(2π－x)＝[1＋cos(2π－x)]sin(2π－x)＝－(1＋cos x)sin x＝－f(x)，

所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确，可知选①④⑤.

若选②，f(x)＝(1－cos x)sin x，

则f′(x)＝－2cos2x＋cos x＋1＝(2cos x＋1)(1－cos x)，

令f′(x)>0，解得cos x>－；

令f′(x)<0，解得cos x<－，

所以f(x)在，k∈Z上单调递增，

在，k∈Z上单调递减，显然f(x)在上单调递增，③正确；因为f(2π－x)＝[1－cos(2π－x)]sin(2π－x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，

所以f(x)的图象关于点(π，0)对称，④正确；

显然f(x)的一个周期是2π，

所以当x＝时，f(x)取得最小值f ＝－，⑤不正确，可知选②③④.