2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第4章　必刷大题9　解三角形

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(1)求角C；
(2)若c＝6，△ABC的面积S＝6bsin B，求S.
解 (1)因为A＋B＋C＝π，所以cs(B＋C)＝－cs A，
所以2ccs C＝acs B＋bcs A，
由正弦定理得2sin Ccs C＝sin Acs B＋sin Bcs A＝sin(A＋B)．
因为sin(A＋B)＝sin C，所以2sin Ccs C＝sin C.
因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cs C＝eq \f(1,2)，则C＝eq \f(π,3).
(2)由S＝6bsin B，根据面积公式得6bsin B＝eq \f(1,2)acsin B＝3asin B，所以a＝2b.
由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，
整理得a2＋b2－ab＝36，即3b2＝36，
所以b＝2eq \r(3)，a＝4eq \r(3).
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
2.(2023·唐山模拟)如图，在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq \f(4\r(5),5)a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcs C)．
(1)求sin C的值；
(2)在BC的延长线上有一点D，使得∠DAC＝eq \f(π,4)，AD＝10，求AC，CD.
解 (1)在锐角△ABC中，eq \f(4\r(5),5)a＝bsin 2C＋2c(sin A－sin Bcs C)，
由正弦定理得eq \f(4\r(5),5)sin A＝2sin Bsin Ccs C＋2sin C(sin A－sin Bcs C)＝2sin Asin C，而sin A>0，
所以sin C＝eq \f(2\r(5),5).
(2)因为△ABC是锐角三角形，由(1)得cs∠ACB＝eq \r(1－sin2∠ACB)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq \f(\r(5),5)，
sin∠ADC＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠ACB－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)(sin∠ACB－cs∠ACB)＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)－\f(\r(5),5)))＝eq \f(\r(10),10)，
在△ACD中，由正弦定理得eq \f(CD,sin∠DAC)＝eq \f(AD,sinπ－∠ACB)＝eq \f(AC,sin∠ADC)，
即eq \f(CD,\f(\r(2),2))＝eq \f(AC,\f(\r(10),10))＝eq \f(10,\f(2\r(5),5))＝5eq \r(5)，解得CD＝eq \f(5\r(10),2)，AC＝eq \f(5\r(2),2)，
所以CD＝eq \f(5\r(10),2)，AC＝eq \f(5\r(2),2).
3．(2023·德州模拟)在①asin B＝bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))；②(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C；
③eq \r(3)bsin eq \f(B＋C,2)＝asin B三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足________．
(1)求角A；
(2)若A的角平分线AD长为1，且b＋c＝6，求sin Bsin C的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选①：由asin B＝bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))得，
sin Asin B＝sin Bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3))).
即sin A＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,3)))，
则A＝A－eq \f(π,3)(舍)或A＋A－eq \f(π,3)＝π，
所以A＝eq \f(2π,3).
选②：由(a＋b)(sin A－sin B)＝(b＋c)sin C得，
(a＋b)(a－b)＝(b＋c)c，
即b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3).
选③：由eq \r(3)bsin eq \f(B＋C,2)＝asin B得，eq \r(3)sin eq \f(B＋C,2)＝sin A，
即eq \r(3)cs eq \f(A,2)＝2sin eq \f(A,2)cs eq \f(A,2)，
因为cs eq \f(A,2)≠0，所以sin eq \f(A,2)＝eq \f(\r(3),2)，
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3).
(2)由S△ABD＋S△ADC＝S△ABC得，eq \f(\r(3),4)(b＋c)＝eq \f(\r(3),4)bc，
即bc＝b＋c＝6，
在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝(b＋c)2－bc＝36－6＝30，
解得a＝eq \r(30)，
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R＝2eq \r(10)，即R＝eq \r(10)，
所以sin Bsin C＝eq \f(bc,4R2)＝eq \f(6,40)＝eq \f(3,20).
所以sin Bsin C的值为eq \f(3,20).
4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足bcs C＋eq \r(3)bsin C－a－c＝0.
(1)求B；
(2)若b＝2，求锐角△ABC的周长l的取值范围．
解 (1)由bcs C＋eq \r(3)bsin C－a－c＝0，
可得sin Bcs C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin A－sin C＝0
⇒sin Bcs C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin(B＋C)－sin C＝0
⇒sin Bcs C＋eq \r(3)sin Bsin C－sin Bcs C－cs Bsin C－sin C＝0
⇒eq \r(3)sin Bsin C－cs Bsin C－sin C＝0
⇒eq \r(3)sin B－cs B＝1
⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,6)))＝eq \f(1,2)，
因为B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以B＝eq \f(π,3).
(2)因为B＝eq \f(π,3)，b＝2，
利用正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(2,sin \f(π,3))＝eq \f(4\r(3),3)，
所以a＝eq \f(4\r(3),3)sin A，c＝eq \f(4\r(3),3)sin C，
所以l＝a＋b＋c＝2＋eq \f(4\r(3),3)(sin A＋sin C)，
所以l＝2＋eq \f(4\r(3),3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin A＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))))
＝2＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))，
因为△ABC是锐角三角形，所以0eq \f(π,2)，
所以eq \f(π,6)所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，
所以2＋2eq \r(3)<2＋4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))≤6，
所以△ABC的周长l的取值范围为(2＋2eq \r(3)，6]．
5.(2022·沈阳模拟)如图，某水域的两条直线型岸边l1，l2的夹角为60°，某渔民准备安装一直线型隔离网BC(B，C分别在l1，l2上)，围出养殖区△ABC.
(1)若BC＝6 km，求养殖区△ABC的面积(单位：km2)的最大值；
(2)若△ABC是锐角三角形，且AB＝4 km，求养殖区△ABC面积(单位：km2)的取值范围．
解 (1)由题意可知∠BAC＝60°，BC＝6.
在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs∠BAC，
即AB2＋AC2－AB·AC＝36.
因为AB2＋AC2≥2AB·AC，
当且仅当AB＝AC＝6时等号成立，
所以AB2＋AC2－AB·AC≥AB·AC，即AB·AC≤36.
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)AB·ACsin∠BAC≤eq \f(1,2)×36×eq \f(\r(3),2)＝9eq \r(3).
即养殖区△ABC面积的最大值为9eq \r(3) km2.
(2)因为AB＝4，∠BAC＝60°，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)AB·ACsin∠BAC＝eq \r(3)AC.
在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
则AC＝eq \f(ABsin∠ABC,sin∠ACB)＝eq \f(4sin120°－∠ACB,sin∠ACB)＝eq \f(2\r(3),tan∠ACB)＋2.
因为△ABC是锐角三角形，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0°<120°－∠ACB<90°，,0°<∠ACB<90°，))
所以30°<∠ACB<90°，
所以tan∠ACB>eq \f(\r(3),3)，所以0则2故S＝eq \r(3)AC∈(2eq \r(3)，8eq \r(3))，即△ABC面积的取值范围是(2eq \r(3)，8eq \r(3))．
6．(2023·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1时b＋λc存在最大值，求正数λ的取值范围．
解 (1)已知sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋c2－a2＝－bc.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－bc,2bc)＝－eq \f(1,2).
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3).
(2)由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(2\r(3),3)，
得b＋λc＝eq \f(2\r(3),3)(sin B＋λsin C)＝eq \f(2\r(3),3)[sin(A＋C)＋λsin C]
＝eq \f(2\r(3),3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs C＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))sin C))
＝eq \f(2\r(3),3)eq \r(\f(3,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))2)sin(C＋φ)，φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，其中tan φ＝eq \f(\f(\r(3),2),λ－\f(1,2))＝eq \f(\r(3),2λ－1).
因为C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，要使b＋λc存在最大值，即C＋φ＝eq \f(π,2)有解，
所以φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，从而eq \f(\r(3),2λ－1)>eq \f(\r(3),3)，即0<2λ－1<3，
所以正数λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).