中考数学压轴题6

这是一份中考数学压轴题6，共10页。试卷主要包含了所以 P ， 所以 C、D等内容，欢迎下载使用。
9．（2014 年上海市杨浦区中考模拟第 24 题）已知抛物线 y＝ax2－2ax－4 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，△ABC 的面积为 12．（1）  求抛物线的对称轴及表达式；
（2）  若点 P 在 x 轴上方的抛物线上，且tan∠PAB＝ 12
，求点 P 的坐标； 1
（3）  在（2）的条件下，过 C 作射线交线段 AP 于点 E，使得 tan∠BCE＝2试问 BE 与 BC 是否垂直？请通过计算说明．
，联结 BE，
9．（1）由 y＝ax2－2ax－4，得 C(0,－4)，对称轴为直线 x＝1．所以 OC＝4．1
如图 1，由 S△ABC＝2
AB  OC ＝12，得 AB＝6．
由直线 x＝1 垂直平分 AB，得 A(－2, 0)，B(4,0)．将 B(4,0)代入 y＝ax2－2ax－4，得a  1 ．2所以抛物线的表达式为 y  1 (x  2)(x  4)  1 x2  x  4 ．2 21（2）如图 2，作 PH⊥x 轴于 H，设 P(x, (x  2)(x  4)) ．2
1 (x  2)(x  4)
由tan PAB AH
 1 ，得 227
 ．x  2 2
解得 x＝5．所以 P(5, ) ．2
第 9 题图 1 第 9 题图 21
（3）如图 3，由 tan∠PAB＝tan∠ACO＝tan∠ECB＝2由∠PAB＝∠ACO，可得∠PAC＝90°．由∠ACO＝∠ECB，可得∠ACE＝∠BCO＝45°． 所以△ACE 是等腰直角三角形．
，知∠PAB＝∠ACO＝∠ECB．
因此△EMA≌△ANC．所以 EM＝AN＝4，MA＝NC＝2．所以 E(2, 2)． 由 B(4,0)，C(0,－4)，E(2, 2)，可得 CE2＝40，BC2＝32，CE2＝8．因此 CE2＝BC2＋CE2．所以∠EBC＝90°．所以 BE⊥BC．【解法二】如图 4，由 A(－2, 0)，B(4,0)，C(0,－4)，E(2, 2)， 可得CA  2 5 ， CO  4 ， CE  2 10 ， CB  4 2 ．
由 CA   ， CECO 4 2 CB
  ，得2
CA CE．CO CB
又因为∠ACO＝∠ECB，所以△ACO∽△ECB． 因此∠AOC＝∠EBC＝90°．所以 BE⊥BC．
  第 9 题图 3 第 9 题图 4【解法三】由△ACE 和△OCB 都是等腰直角三角形，CA CE可得  ．又因为∠ACO＝∠ECB，所以△ACO∽△ECB．CO CB因此∠AOC＝∠EBC＝90°．所以 BE⊥BC．【解法四】如图 5，设 CE 的中点为 Q．由 C(0,－4)，E(2, 2)，可得 Q(1,－1)， CE  2 10 ． 
由 B(4,0)，Q(1,－1)，可得QB 
10 ．
 因此 QC＝QE＝QB．由此可得∠EBC＝90°．【解法六】如图 6，由∠EAB＝∠ECB，可知 A、C、B、E 四点共圆． 所以∠EBA＝∠ECA＝45°（如图 7）．所以∠EBC＝∠EBA＋∠CBA＝90°．
【解法七】由 C(0,－4)、B(4,0)、E(2, 2)，可知∠EBO＝45°，∠CBO＝45°． 所以∠EBC＝∠EBO＋∠CBO＝90°．第 9 题图 5 第 9 题图 6 第 9 题图 7
10．（2014 年上海市静安区中考模拟第 25 题）如图 1，反比例函数的图像经过点 A(－2, 5)和点 B(－5, p)，平行四边形 ABCD 的顶点 C、 D 分别在 y 轴的负半轴、x 轴的正半轴上，二次函数的图像经过点 A、C、D．（1）  求直线 AB 的表达式；（2）  求点 C、D 的坐标；（3）  如果点 E 在第四象限内的二次函数的图像上，且∠DCE＝∠BDO，求点 E 的坐标．

10．（1）因为反比例函数的图像经过点 A(－2, 5)，所以 y   10 ．x代入点 B(－5, p)，得 p＝2．所以 B(－5, 2)．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，代入 A(－2, 5)和 B(－5, 2)，得
2k  b  5,5k  b  2.
k  1,解得b  7.
所以直线 AB 的表达式为 y＝－x＋7．
（2）  如图 1，由 A(－2, 5)、B(－5, 2)，可知 A、B 两点间的水平距离、垂直距离都是 3，直线 AB 与坐标轴的夹角为 45°．因为 CD＝AB，CD//AB，所以 C、D 两点间的水平距离、垂直距离也都是 3． 所以 C(0,－3)、D(3, 0)．（3）  设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，代入 A(－2, 5)、C(0,－3)、D(3, 0)，得
4a  2b  c  5,c  3,9a  3b  c  0.
a  1,解得b  2,c  3.
所以物线的解析式为 y＝x2－2x－3．
  第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3如图 2，延长 CE 交 x 轴于 F．由 B(－5, 2)，C(0,－3)、可知 B、C 两点间的水平距离、垂直距离都是 5，直线 BC 与坐标轴的夹角也为 45°．设 BC 与 x 轴交于点 G．因此∠BGD＝∠FDC＝135°．当∠DCE＝∠BDO 时，△BGD∽△FDC． 所以 GB  DF ．因此 2 2  DF ．解得 DF＝2．GD DC 6如图 3，过点 E 作 EH⊥x 轴，垂足为 H．设点 E 的坐标为(x, x2－2x－3)．
由 EH  CO ，可得 
(x2  2x  3) 3． 
FH FO
5  x 5
解得 x  13 ．所以点 E 的坐标为 13 ,  36) ．5 5 25【解法二】如图 4，延长 CE 交 x 轴于 F，过点 C 作 BD 的平行线交 x 轴于 M．由tan OMC  tan BDO  1 ，OC＝3，可得 OM＝12．4当∠BDO＝∠FMC＝∠DCE 时，△FDC∽△FCM．因此 FD  FC ，即 FC2  FD  FM ．FC FM
设 FD＝m，那么 32＋(3＋m)2＝m(m＋15)．解得 FD＝m＝2．【解法三】如图 5，△FDC∽△CGM． 
所以 DF  GCDC GM
．因此 DF  3 2 ．解得 FD＝2．9
  第 10 题图 4 第 10 题图 5【解法四】如图 6，过 F 作 CD 的垂线与 CD 的延长线交于点 N，那么△DFN 是等腰直角三角形．
设 NF＝ND＝m，由tan NCF  1 ，可得 m4
 1 ．解得m  ．所以 DF＝2．4
  第 10 题图 6  9．（2014 年上海市浦东新区中考模拟第 24 题）如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  1 x2  bx  c 与 x 轴交于点 A、B（点4A 在点 B 右侧），与 y 轴交于点 C(0,－3)，且 OA＝2OC．（1）                    求这条抛物线的表达式及顶点 M 的坐标；（2）  求 tan∠MAC 的值；（3）  如果点 D 在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点 D 的坐标．

9．（1）如图 1，由 C(0,－3)，OA＝2OC，得 OC＝3，OA＝6．所以 A(6, 0)．
将 A (6, 0)、C(0,－3)代入 y  1 x2  bx  c ，得9  6b  c  0,
4解得 b＝－1，c＝－3．
c  3.
所以抛物线的解析式为 y  1 x2  x  3  1 (x  2)2  4 ．4 4
顶点 M 的坐标为(2,－4)．第 9 题图 1 第 9 题图 2（2）  由 A (6, 0)、M (2,－4)，得 A、M 两点间的水平距离、垂直距离都为 4． 所以直线 AM 与坐标轴的夹角为 45°．如图 2，设直线 AM 与 y 轴交于点 N，那么 ON＝OA＝6． 作 CH⊥AM 于 H，作 HG⊥y 轴于 G，那么△CHN、△NGH 都是等腰直角三角形．由 ON＝6，OC＝3，得 CN＝3．因此 NG＝1.5，GO＝4.5．所以 tan∠MAC＝ CH  NH  NG  1.5  1 ．HA HA GO 4.5 3（3）  如图 3，设抛物线的对称轴直线 x＝2 与 x 轴的交点为 E．①当点 D 在 AC 上方时，因为∠CAD＝∠NAO＝45°， 所以∠DAE＝∠CAN．在 Rt△ADE 中，AE＝4，tan∠DAE＝ 1 ．3所以 DE＝ 4 ．此时点 D 的坐标为 4  ．3 3②当点 D′在 AC 下方时，因为∠CAD＝∠CAD′＝45°， 所以∠DAD′＝90°．因此∠AD′D＝∠DAE．在 Rt△AD′E 中，AE＝4，tan∠AD′E＝ 1 ．3所以 D′E＝12．此时点 D′的坐标为(2,－12)． 第 9 题图 3
10．（2014 年上海市闵行区中考模拟第 25 题）如图 1，△ABC 中，AI、BI 分别平分∠BAC、∠ABC，CE 是△ABC 的外角∠ACB 的平分线，交 BI 的延长线于 E，联结 CI．（1）  设∠BAC＝2 ．如果用 表示∠BIC 和∠E，那么∠BIC＝    ，∠E＝    ；（2）  如果 AB＝1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段 AC 的长；（3）  如图 2，延长 AI 交 EC 的延长线于 F，如果∠ ＝30°，sin∠F＝ 3 ，设 BC＝m，5试用 m 的代数式表示 BE．
 图 1 图 2
10．（1）如图 1，∠BIC＝1800  (1 ABC  1 ACB)2 2＝1800  1 (1800  BAC) ＝ 900  ．2如图 2，∠ACE＝   E   ，如图 3，∠ACD＝ 2  2  2 ，所以得∠E＝ ．
第 10 题图 1 第 10 题图 2 第 10 题图 3（2）  由于 CI 和 CE 分别是∠ACB 及其外角的平分线，所以∠ICE＝90°． 如果△ABC 与△ICE 相似，那么△ABC 是直角三角形，有三种情况：①如图 4，如果∠BAC＝90°，那么 ＝45°，此时△ICE 与△ABC 是等腰直角三角形．所以 AC＝AB＝1．②如图 5，如果∠ABC＝90°，那么∠BCA＝∠E＝ ．
在 Rt△ABC 中，3 ＝90°，所以 ＝30°．因此 AC ③如图 6，如果∠ACB＝90°，那么∠ABC＝∠E＝ ． 同样的， ＝30°．因此 AC  1 AB  1 ．2 2
3AB  ．
  第 10 题图 4 第 10 题图 5 第 10 题图 6（3）  如图 7，作 CH⊥BE，垂足为 H．由∠ACE＝     F ，∠ACD＝ 2  2  2 ，得∠F＝  ．在 Rt△BCH 中，sin  ＝sin∠F＝ 3 ，BC＝m，所以CH  3 m ， BH  4 m ．
5 在 Rt△ECH 中，∠E＝30°，所以 EH 
5 5 3CH  3 3 m ．5
因此 BE＝BH＋EH＝ 4 m  3 3 m  4  3 3 m ．5 5 5
第 10 题图 7