2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章第9节　直线与圆锥曲线中的最值与范围问题

第9节　直线与圆锥曲线中的最值与范围问题

 [选题明细表]

1.(2022·江苏盐城三模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)过点(2,1),渐近线方程为y=±x,直线l是双曲线C右支的一条切线,且与C的渐近线交于A,B两点.

(1)求双曲线C的方程;

(2)设点A,B的中点为M,求点M到y轴的距离的最小值.

解:(1)由题意可知解得

所以双曲线C的方程为-y2=1.

(2)当直线l斜率不存在时,易知点M到y轴的距离为2;

当直线l斜率存在时,设l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立

消去y,得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,

依题意Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0,且4k2-1≠0,整理得m2=4k2-1

(k≠±),且-=->0,则km<0.

联立得

则x1+x2=-==-,

则xM==-,==4+>4,

则此时点M到y轴的距离大于2.

综上所述,点M到y轴的最小距离为2.

2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),直线x+y=1与双曲线-=1(a>0,b>0,a≠b)交于M,N两点,且以MN为直径的圆过原点,若双曲线的离心率不大于,求双曲线实轴长的取值

范围.

解:由消去y并整理,

得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0(a≠b),

则Δ=4a4+4(b2-a2)(a2+a2b2)=4a2b2(b2+1-a2)>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=,

因为以MN为直径的圆过原点,

所以·=x1x2+y1y2=0,

于是x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1=-+1=+1=0,

从而有b2=,0<a2<,而离心率e≤,即e2==1+≤3,

整理得0<a2≤,此时Δ>0,因此0<a≤,

则0<2a≤1.

所以双曲线实轴长的取值范围为(0,1].

3.(2022·青海西宁一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e=,点(-,1)在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过椭圆内一点P(0,t)的直线l的斜率为k,且与椭圆C交于M,N两点,设直线OM,ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,若对任意k,存在实数λ,使得k1+k2=λk,求实数λ的取值范围.

解:(1)椭圆C的离心率e==,

所以a=b,

又点(-,1)在椭圆上,所以+=1,

解得a=2,b=,

所以椭圆C的方程为+=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+t.

由

消去y,得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=,

而k1+k2=+=+=2k+=.

由k1+k2=λk,得=λk,因为此等式对任意的k都成立,所以=λ,即t2=2-.

由题意得点P(0,t)在椭圆内,故0≤t2<2,

即0≤2-<2,解得λ≥2,

所以实数λ的取值范围为[2,+∞).

4.(2021·全国乙卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求抛物线C的方程;

(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.

解:(1)由抛物线的定义可知,焦点F到准线的距离为p,故p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)由(1)知F(1,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2),

因为=9,所以

可得

又点P在抛物线C上,

所以=4x1,即(10y2)2=4(10x2-9),

化简得=x2-,

则点Q的轨迹方程为y2=x-.

设直线OQ的方程为y=kx,

易知当直线OQ与曲线y2=x-相切时,斜率可以取最大,联立y=kx与y2=x-并化简,

得k2x2-x+=0,

令Δ=(-) 2-4k2·=0,解得k=±,

所以直线OQ斜率的最大值为.

5.已知双曲线C的两焦点在坐标轴上,且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2,焦距为2,且点P(0,-1)到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程;

(2)若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A,B,交双曲线C的两条渐近线于点D,E(D在y轴左侧).记△ODE和△OAB的面积分别为S1,S2,求的取值范围.

解:(1)由2a=2,2c=2知a2=1,c2=3,

所以b2=2,

故双曲线C的方程为x2-=1或y2-=1.

由点P(0,-1)到渐近线的距离为,

知双曲线方程为x2-=1.

(2)由题意,得直线l的斜率存在,

所以设l:y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2).

由可得xD=.

由可得xE=.

|DE|==,

由

消去y,得(2-k2)x2+2kx-3=0,

所以x1+x2=-,x1x2=-,

所以|AB|=·=.

由△ODE和△OAB的高相等,

可得==,

由

得-<k<,所以3-k2∈(1,3],∈[,1).

6.(2022·山东潍坊三模)已知O为坐标原点,定点F(1,0),M是圆O:x2+y2=4内一动点,圆O与以线段FM为直径的圆内切.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)若直线l与动点M的轨迹交于P,Q两点,以坐标原点O为圆心,1为半径的圆与直线l相切,求△POQ面积的最大值.

解:(1)设M(x,y),又F(1,0)在圆O:x2+y2=4内,且圆O与以线段FM为直径的圆内切,

所以以线段FM为直径的圆的圆心为(,),

则=2-,

即=4-,

则=4-,

所以+=1,

又M是圆O:x2+y2=4内一动点,故x≠±2,

故M的轨迹方程为+=1且x≠±2.

(2)由题意知O到直线l的距离为1,要使△POQ面积最大,只需|PQ|最大.

若直线l斜率不存在,直线l:x=±1,

此时yP=,yQ=-,

所以|PQ|=3,则△POQ面积为;

若直线l的斜率存在,令直线l:y=kx+b,

因为=1,所以b2=1+k2.

由

消去y,得(4k2+3)x2+8kbx+4b2-12=0,

则xP+xQ=-,xPxQ=,

所以|PQ|=·|xP-xQ|=·=

=,

令t=4k2+3≥3,则|PQ|=·=·,而0<≤,

所以|PQ|max=,此时△POQ面积最大,最大值为.综上,△POQ面积的最大值为.